浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高二数学上学期1月期末试题（Word版附解析）

2022学年第一学期期末杭州周边四校联考高二年级数学学科试题选择题部分（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据交集定义求解.【详解】因为，所以，故选:A.2.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，求出复数z及对应坐标即可作答.【详解】依题意，，复数z对应点的坐标是，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A3.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率是，则m的值是（）A.B.C.D.或【答案】C 【解析】【分析】根据焦点在y轴上的椭圆方程的特征，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】因为焦点在y轴上，故，该椭圆的离心率是，所以，显然满足，故选：C4.已知不同平面，不同直线和，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若则【答案】A【解析】【分析】根据线面、面面位置关系有关的知识对选项进行分析，即可得出答案.【详解】对于A，若，则，故A正确；对于B，若，则可能垂直，平行，故B不正确；对于C，若，则或，故C不正确；对于D，若，则可能平行，异面，相交，故D不正确；.5已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题中式子可知，再利用倍角公式即可解出答案．【详解】因为． 故选：B6.关于函数，下列选项错误的是（）A.是偶函数B.在区间上单调递增C.的最大值为2D.为的一个周期【答案】C【解析】【分析】求出，即可判断A项；求出可判断D项；求出时，，且在上单调递增，根据周期性即可判断B项；根据周期，只需求出在时的最大值，即可判断C项.【详解】由已知可得，，所以为的一个周期.当时，.因为，所以，所以的最大值为.对于A项，因为，所以是偶函数，故A项正确；对于B项，因为当时，，，所以在上单调递增.由为的周期可知，在区间上单调递增，故B项正确；对于C项，由的最大值为，知C项错误； 对于D项，因为，所以为的一个周期，故D项正确.故选：C.7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数性质确定a，，作商后由换底公式变形，利用均值不等式，再放缩可得，根据对数函数单调性再确定，即可得解.【详解】由题可知，，，易知a，．因为，所以．另一方面，，所以；故选：D．8.已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】先整理分段函数，求出的解.作出的图象，根据以及的图象，分类讨论，即可得出答案.【详解】由已知可得.解可得，或或. 作出以及的图象如下图，,，，.当与的图象在轴异侧时，.如图1，当，即在图中位置时.由图象可知，在内，有与的图象在轴异侧，即成立，有一个整数解；在内，有与的图象在轴异侧，即成立，显然此时没有整数解，即存在唯一的整数解；如图2，当时，在内，有与的图象在轴异侧，即 成立，有一个整数解；在内，有与的图象在轴异侧，即成立.要使不等式有唯一整数解，则应满足，所以有；当时，有，即是的整数解.显然当或时，存在其他整数解，不合题意，舍去；当时，在内有解，但是不存在整数解，满足题意；显然时，满足题意；如图3，当时，不等式在上有解.由题意知，应有，所以.综上所述，满足条件的的取值范围为或.所以，满足条件的整数有，，，，共有4个.故选：A．【点睛】方法点睛：作出以及的图象，根据与三个零点的位置关系，结合图像，即可得出答案.二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.以下说法正确的有（）A.“且”是“”的充要条件B.若，则C.命题“，使得”的否定是“，使得”D.当时，的最小值为【答案】BC【解析】【分析】分别判断充分条件和必要条件是否成立，即可判断A项；根据不等式的性质，即可判断B项；写出存在量词命题的否定，即可判断C项；换元，根据对勾函数的单调性，即可求出，即可判断D项.【详解】对于A，当且时，有；当时，或，得不出且.所以，“且”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，由可知，由不等式的性质，可得成立，故B正确；对于C，由存在量词命题的否定可知命题“，使得”的否定是“，使得”，故C正确；对于D，令，因为在上单调递减，所以，故D错误.故选：BC．10.某校有甲、乙、丙三名学生是新冠阳性患者的密切接触者，已知密切接触者新冠病毒检测呈阳性的概率为，记事件A为“三名学生都是阴性”，事件B为“三名学生都是阳性”，事件C为“三名学生至少有一名是阳性”，事件D为“三名学生不都是阴性”，则（）A.B.事件A与事件B互斥C.D.事件A与事件C对立【答案】ABD 【解析】【分析】三名学生新冠病毒检测呈阳性为独立事件，由此可计算出事件A的概率；不能同时发生的事件为互斥事件,由此判断B选项；根据事件C与事件D的描述可知两个事件为同一事件，概率相同；对立事件概率相加为1.【详解】对于A：，A正确；对于B：事件A与事件B不能同时发生，事件A与事件B互斥，B正确；对于C：事件C与事件D为同一事件，，C错误；对于D：为不可能事件，为必然事件，事件A与事件C对立，D正确．故选：ABD．11.已知圆，过点直线l与圆O交于P，Q两点．下列说法正确的是（）A.的最小值为B.C.的最大值为D.线段PQ中点的轨迹为圆【答案】BCD【解析】【分析】根据直线和圆相交所得弦长最值、向量数量积运算、动点轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A：当轴时，最小，的最小值为，A错误；对于B：设是的中点，连接，则，，的最小值为，最大值为4，，B正确；对于C：当直线l的斜率为0时，．当直线l的斜率不为0时，设，，． 联立，得，，，，的最大值为，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D：由于，则点N在以MO为直径的圆上，圆心为，半径为，点N的轨迹方程为，线段PQ中点的轨迹为圆，D正确．故选：BCD12.在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则（）A.翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大为B.翻折过程中，存在某个位置的，使得C.翻折过程中，四棱锥必存在外接球 D.当四棱椎的体积最大时，以为直径的球面被平面截得交线长为【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设的坐标，借助空间向量可以对选项A，B进行辨析；通过四边形不存在外接圆，可判断四棱锥不存在外接球，对选项C进行辨析；求出当四棱椎的体积最大时点的坐标，即可求出以为直径的球的球心坐标和直径，再求出球心到平面的距离，即可求出以为直径的球面被平面截得交线长.【详解】在矩形中，取中点，连接与交于点，∵，∴，∴，且，∴以为原点，，所在直线分别为轴，轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系如上图，则，，，∵为中点，∴，将沿直线翻折至的位置的过程中，在以为圆心，直径为的圆弧上，∴在平面内，设，且，，，即， ∴，，，，对于A，设直线与所成角为，则，易知，当时，单调递增，∴当时，，故选项A正确；对于选项B，翻折过程中，恒成立，∴不存在某个位置的，使得，故选项B错误；对于C，连接，直角有以为直径的唯一外接圆，又∵，∴不在的外接圆上，即四边形无外接圆，∴四棱锥不存在外接球，故选项C错误；对于D，当四棱椎的体积最大时，到平面距离最大，∴此时在轴上，平面即平面，∴以为直径的球的球心为中点， ∴球心到平面即平面的距离为，又∵该球的直径，∴半径，由球的几何性质，以为直径的球面被平面截得交线为圆，该圆的半径，∴该圆的周长为，故选项D正确.故选：AD.【点睛】根据折叠问题条件，思考点的轨迹，合理的建立空间直角坐标系，使位于平面内，动点的坐标更加简洁，可以大量减少各选项辨析过程中的计算量.非选择题部分（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.计算：________．【答案】7【解析】【分析】根据对数运算以及指数运算，可得答案.【详解】原式，故答案为：7.14.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.【答案】【解析】【分析】设圆柱底面半径为，由题意可知圆柱的高为，再根据圆柱的底面与外接球的 关系，可利用勾股定理即可求出圆柱外接球半径，由两几何体的体积公式求出各自的体积，由此即可求出比值.【详解】设圆柱的底面半径为，则圆柱的内切球的半径为，∴圆柱的高为，∴圆柱的体积为，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，∴圆柱的外接球半径，∴圆柱的外接球体积为，故.故答案为：.15.已知正数x，y满足，则的最小值为________．【答案】12【解析】【分析】将式子适当变形结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，，，，将代入，原式，当时，取到最小值12．故答案为：12． 16.已知、是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为________．【答案】4【解析】【分析】作图，易得是三角形的中位线，解出.进而在中，根据勾股定理求得，进而得出，根据的关系，即可得出结果.【详解】设双曲线渐近线的倾斜角为.如图，设关于渐近线的对称点为M，连接、.设线段交渐近线于点N，则，又与圆相切与点，所以，所以.因为点是的中点，所以是三角形的中位线，所以，．又，所以.因为，又在中，有， 所以.所以，即，所以，所以，所以．故答案为：4．四、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17.已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由三角恒等变换化简即可求解；（2）根据，转化为关于B的正弦型函数，利用正弦函数值域求解即可.【小问1详解】由题意可得．由正弦定理得，又，，则．因为，所以．又，所以．【小问2详解】． 因为锐角三角形，所以，且，所以．所以，即的取值范围是．18.已知圆C的方程为．（1）直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；（2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值是，最小值是．【解析】【分析】（1）由已知求出圆心、半径，根据弦长得出.先验证斜率是否存在，若存在，则设出直线方程，表示出圆心到直线的距离求解即可；（2）方法一，设，将其与圆的方程联立，根据方程有解，解即可得出答案；方法二：由基本不等式推出，开方即可得出结果；方法三，换元法：令，，.代入根据辅助角公式化简，即可得出范围.【小问1详解】圆C的圆心为坐标原点O，半径为.设圆心O到直线l的距离为d，则．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为，即，由题意可得，解得，此时直线l的方程为．综上所述，直线l的方程为或．【小问2详解】 方法一：设.联立可得，.因为直线与圆有交点，所以.又，所以，解得.所以的最大值是，最小值是；方法二：因为，当且仅当等号成立，所以．所以的最大值是，最小值是．方法三，换元：令，，.则，因为，所以，所以.所以的最大值是，最小值是．19.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这人的平均年龄；设第80百分位数为，计算从左到右频率和为或计算从右到左频率和为，即可求出；(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则（岁）.设第80百分位数为，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为 ，乙，对应的样本空间为：，共15个样本点.设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点.所以，.（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，则，，，，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.则，，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.20.如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．（1）证明：；（2）若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）找出AC的中点O，连接OP，OD，根据等边三角形性质和题意，先证明面POD，通过证明线面垂直最后证明出线线垂直．（2）根据（1）可知二面角就时，因此以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量与二面角关系求出答案．【小问1详解】取AC的中点O，连接OP，OD，因为是正三角形，所以，因为D是AB的中点，所以，因为，所以，又，PO，面POD，所以面POD，又因为面POD，所以．【小问2详解】以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴底面ABC，建立如图空间直角坐标系，则，，，，易得，又，则，由得直线BC的一个方向向量为， 设平面PAB的法向量为，，，则，令，则平面PAB的一个法向量为，记直线BC与平面PAB所成角为，那么．21.设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上的动点．当是等腰直角三角形时，其面积为2．（1）求C的方程；（2）延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是，，，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据是等腰直角三角形可判断，由此可推断出，代入抛物线方程即可解出方程．（2）设出A、B、M三点坐标，分别用三点坐标表示出线MF，MA，MB的斜率，再将抛物线方程和直线AB的方程联立，利用韦达定理代入化简式子，即可求出的值.【小问1详解】当是等腰直角三角形时，，点，，，抛物线方程为．【小问2详解】解析1：抛物线方程为，准线方程为，焦点，设，，， ①当直线AB的斜率不存在时，，，，，，，即，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：，联立方程，消去y得：，，于是，，，，．，所以．解析2：由（1）知，设直线AB的方程：代入得：，设，，所以，，设，则，，．，， ，．所以．22设函数，其中．（1）若，求在上的最大值；（2）已知满足对一切实数x均有，求函数的值域；（3）若，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数新定义的式子，得到的解析式，由分段函数解析式即可确定函数单调性，从而可得最大值；（2）由可得函数的对称性，即可得为偶函数，从而确定参数的值，由此得的值域，从而得的值域；（3）由可得，从而确定方程的根的取值情况，列不等式，即可得实数b的取值范围．【小问1详解】解：若，则函数，其中，所以，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以的最大值为；【小问2详解】解：，由题意关于直线对称，即为偶函数．所以，，又函数的定义域为，而与的值域相同，所以的值域是；【小问3详解】解：若，则，，即，即，即，与有相同的根，或无根，若与有相同的根，则且，∴，即，，则，∴；若无根，则中，∴ ，综上，实数的取值范围是．