河北省沧州市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

沧州市2022-2023学年第一学期期末教学质量监测高二数学班级__________姓名__________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题吋，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A．B．C．D．2．已知数列是等差数列，是其前n项和，，，则（）A．160B．170C．180D．1903．抛物线的焦点为F，点P（非原点）在抛物线上，且横坐标是纵坐标的倍，则（）A．B．8C．9D．4．若A为圆上的动点，B为圆上的动点，则的最大值是（）A．5B．6C．7D．85．在公比不为1的等比数列中，对任意，，，成等差数列，，则数列的前n项和（）A．B．C．D．6．双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率（）A．B．C．D． 7．直线与曲线交于A，B两点，若，则t的值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在长方体中，，则平面截长方体的外接球所得截面圆的面积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列的前项和，则下列结论正确的是（）A．B．数列是等比数列且公比C．数列是等差数列D．数列是等差数列10．在正四面体ABCD中，E，F是BC，AD的中点，平面ADE的法向量为，则下列结论正确的是（）A．B．C．是平面BCF的法向量D．11．已知F，分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且已知A，B是椭圆的顶点，过点A作轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．四边形的周长为16B．的最小值为C．面积的最大值为D．12．圆锥曲线的“外准圆”也叫“蒙日圆”，它是由法国数学家加斯帕尔·蒙日发现的．它说的是：圆锥曲线上任意两条互相垂直的切线的交点在同一个圆上，这个圆就叫外准圆．其中圆锥曲线的中心就是外准圆的圆心，而直线在高等数学中也称为半径为无穷大的圆．双曲线只有当时才有外准圆，则下列结论正确的是（）A．面积为S的圆的外准圆的面积是B．椭圆的外准圆方程为 C．抛物线的外准圆是D．双曲线的外准圆方程为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其焦距为__________．14．已知，圆C的圆心为，过点A到圆C的切线长是半径的2倍，则圆C截直线所得的弦长为__________．15．在所有棱长均相等的斜三棱柱，，M是的中点，则异面直线BM与所成角的余弦值为__________．16．在等差数列中，，，为数列的前n项和，，则的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知的顶点O（0，0），OA边上的中线所在直线方程为，OB边上的高线为．（1）求点A坐标；（2）求的外接圆方程．18．（本小题满分12分）已知等差数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：．19．（本小题满分12分）已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与曲线C交于M，N两点，O为原点，求面积的最大值．20．（本小题满分12分）已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形ABCD是梯形，，，，，E是AD的中点，．（1）证明：平面ABCD；（2）求平面APB与平面PBC的夹角的余弦值．22．（本小题满分12分）已知圆，，过点N的直线l与圆M交于A，B两点，过点N作MA的平行线交直线MB于点P．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若直线NP（不与x轴垂直）与轨迹E交于另一点Q，Q关于x轴的对称点为H，求证：直线PH过定点．沧州市2022-2023学年第一学期期末教学质量监测高二数学参考答案1．A解析：由已知，∴，解得，故选A．［命题意图］考查直线的方向向量、平面的法向量的定义以及用向量研究直线与平面的平行垂直问题，数学素养方面主要考查数学运算与知识的迁移．2．B解析：，，∴，又，，∴，故选B．［命题意图］考查等差数列及其前n项和的运算，数学素养方面主要考查基本技能与基本方法．3．C解析：由已知，代入中，得，，∴，故选C．［命题意图］考查抛物线的定义与性质的灵活应用，数学思想方法主要考查方程思想．4．D解析：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，∴．又A为圆上的动点，B为圆上的动 点，∴的最大值是，故选D．［命题意图］考查直线与圆的位置关系，数学素养方面考查动静转化和方程思想．5．B解析：由已知得，即，消去，解得，∴，故选B．［命题意图］考查等差中项、等比数列的性质与前n项和的计算与应用，数学素养方面主要考查综合能力与运算能力．6．B解析：双曲线上的点满足，点P到两条渐近线的距离之积为，∴，，故选B．［命题意图］考查双曲线的性质中的点在曲线上、渐近线、离心率、点到直线距离公式等知识，数学素养方面考查灵活变形和数学运算．7．C解析：曲线的图象如下图，直线l恒过点，图中，故t的值有3个，故选C．［命题意图］考查圆及其性质、圆方程的变形、直线过定点等，数学思想方法主要考查数形结合思想和分类讨论思想．8．C解析：以AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则外接球球心O为体对角线的中点，，，，，可求得平 面的法向量为，，则点O到平面的距离，又长方体外接球半径，设截面圆半径为r，所以，，故选C．［命题意图］考查长方体的外接球直径与体对角线的关系、空间向量中点到平面的距离以及截面圆的问题，数学素养方面考查空间想象能力以及综合能力等．9．ABC解析：，A正确；当时，，∴，也符合，B正确；根据等差数列的定义可知C正确，D不正确．故选ABC．［命题意图］考查等比数列的通项公式、前n项和、等差数列的定义、由前n项和求通项以及对数运算等，数学素养方面主要考查分析能力与辩证思维．10．ACD解析：，，A正确；B显然不正确；∵，，∴平面BCF，C正确；同理平面ADE，D正确．故选ACD．［命题意图］考查用向量证明平行与垂直问题，如何判定平面的法向量问题以及向量与普通方法结合使用的问题，数学思想方法考查数形结合思想和辩证统一思想．11．BCD解析：对于A，连接，，AF，BF，则四边形为平行四边形，∴，∴四边形的周长为8，A错误；，当且仅当时，等号成立，B正确；∵A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，∴设直线AB的方程为，由得，∴，∴的面积，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，设，，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，则，又点P和点A在椭圆C上，①，②，①②得，易知，则 ，得，∴，∴，D正确．故选BCD．［命题意图］考查椭圆的定义、直线与椭圆位置关系及与基本不等式结合求最值，数学素养方面主要考查灵活变形和数学运算．12．BCD解析：对于A，圆的两条互相垂直的切线交点到圆心的距离为，外准圆的面积为2S，A不正确；对于B，过椭圆的长轴与短轴的端点作切线是垂直的，其交点到原点的距离为，显然B正确；抛物线两条互相垂直的切线交点在准线上，故C正确；双曲线是关于y轴对称的，∴过y轴上一点作双曲线的两条互相垂直的切线，其斜率为，设切线方程为，代入双曲线方程使，解得，故D正确．故选BCD．［命题意图］考查数学文化、新定义的使用、圆锥曲线与圆的关系、直线与曲线的位置关系中的相切等，数学思想方法主要考查无穷思想、特值思想．13．6解析：由题意得，所以，，，故焦距．［命题意图］考查椭圆的方程及几何性质，数学素养方面主要考查运算能力和推理能力等．14．解析：，设半径为R，，解得，圆心到直线的距离，所以弦长为．［命题意图］考查圆的方程、圆的切线以及直线与圆的位置关系的应用，数学素养方面主要考查综合能力与运算能力．15．解析：如图，设棱长为2，则，不难发现四边形是矩形，∴．，∴． ［命题意图］考查空间向量的数量积、模、夹角以及立体几何中的垂直问题，数学素养方面主要考查数形结合思想、运算思想、抽象推理等．16．解析：由已知得∴．当时，．当时，．当时，，当时，．当时，，设．∵在上单调递减，上单调递增．又，∴当时，只需比较和，，．∵，∴．［命题意图］考查数列的绝对值求和及单调性比较大小，数学素养方面主要考查逻辑推理、数学运算．17．解：（1）设，则OA的中点在直线上，∴．（2分）点A在直线上，故，．∴点A的坐标为（4，1）．（5分）（2）由题得直线OB的斜率为，方程为，则，（7分）设圆的方程为，代入O，A，B三点得解得，，，∴△OAB的外接圆方程为．（10分）［命题意图］考查直线方程的点斜式、高线及中线的定义，综合坐标关系求解点的坐标及外 接圆方程，数学素养方面主要考查知识的迁移．18．解：（1）设数列的公差为d，∴，，则，（3分）∴，，解得，，∴数列的通项公式为．（6分）（2）∵，（8分）∴．（12分）［命题意图］考查等差数列通项公式的灵活应用以及裂项相消等知识，数学思想方法主要考查方程思想、恒等思想、化归思想等．19．解：（1）由已知，且，（2分）∴，，∴椭圆C的标准方程为．（4分）（2）设，，将代入曲线C中，整理得，其中，即，∴，，（6分）∴，（8分）点O到直线MN的距离，∴，（10分）当且仅当，即时，等号成立．（11分） ∴△OMN面积的最大值为．（12分）［命题意图］考查椭圆方程、弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式求最值等，数学思想方法主要考查特值思想和转化思想等．20．解：（1）由已知得，，…，，∴，（2分）∴，（4分）∵，∴数列是首项为3，公比为3的等比数列．（6分）（2），，∴，（10分）即．（12分）［命题意图］考查累加法求通项以及等比数列求和、等比数列的定义、错位相减求和等，数学思想方法主要考查运算思想和迭代思想．21．解：（1）由已知，，，∴，，（2分）又，，PB，平面PBE，∴平面PBE，．（4分）∵是正三角形，，∴．∵BC与AD相交，∴平面ABCD．（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系，得，，，． ∴，，，设平面PAB的法向量为，∴即令，∴．（8分）设平面PBC的法向量为：，∴即令，∴．（10分）∴，∴平面与平面的夹角的余弦值为．（12分）［命题意图］考查立体几何中线面垂直的证明、空间向量中平面与平面的夹角的求法、平面法向量的求法等，数学素养方面考查数形结合、整体思想等．22．解：（1）如图，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即，（3分）当A，B互换位置时，，（4分） ∴点P的轨迹E为双曲线，其方程为．（5分）（2）假设直线PH的斜率不存在，则不难发现点P与Q重合，不符合题意．设PH的方程为，，，则，将PH的方程代入曲线E，整理得，，∴，，（7分）∵直线PQ过，∴，即，（8分）∴，整理得，整理得，此时，解得，（10分）直线PH的方程为，故直线PH恒过定点．（12分）［命题意图］考查利用平面几何知识向双曲线定义转化、双曲线的方程、直线与圆锥曲线关系问题等，数学思想方法主要考查转化思想、特值思想、运算思想等．