北师大版数学八年级下册 4.1 因式分解 课件

4.1因式分解第四章因式分解 复习引入问题1：21能被哪些数整除？1，3，7，21.问题2：你是怎样想到的？因为21=1×21=3×7.思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？可以. 问题：993-99能被100整除吗？所以，993-99能被100整除.想一想：993-99还能被哪些整数整除?探究引入因式分解的概念 问题探究如图，一块草坪被分成三部分，你能用不同的方式表示草坪的总面积吗？abcm方法一：m(a+b+c)方法二：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc整式乘法? 完成下列题目：x(x-2)=_______(x+y)(x-y)=_______(x+1)2=__________x2-2xx2-y2x2+2x+1根据左空，解决下列问题：x2-2x=()()x2-y2=()()x2+2x+1=()2xx-2x+yx-yx+1做一做 联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？ 总结归纳把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式.其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩A.x(a﹣b)=ax﹣bxB.x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2C.y2﹣1=(y+1)(y﹣1)D.ax+by+c=x(a+b)+cE.2a3b=a2•2abF.(x+3)(x﹣3)=x2﹣9√×××××提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式. 做一做根据左边的算式填空:(1)3x2-3x=_________(2)ma+mb+mc=_________(3)m2-16=__________(4)x2-6x+9=________(5)a3-a=___________计算下列各式:(1)3x(x-1)=__(2)m(a+b+c)=_______(3)(m+4)(m-4)=_____(4)(x-3)2=_____(5)a(a+1)(a-1)=__3x2-3xma+mb+mcm2-16x2-6x+9a3-a3x(x-1)m(a+b+c)(m+4)(m-4)(x-3)2a(a+1)(a-1) 想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.因式分解与整式乘法的关系 x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是互为相反的变形，即 例若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，求a，b的值.解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)=ax2+ax-6a，∴a=1，b=﹣6a=﹣6.典例精析方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的是（　　）A．x2﹣y2B．﹣x2+y2C．x2+y2D．﹣x2﹣y2B练一练 ③⑥1.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是()A.a(a+b-1)=a2+ab-aB.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)D.2x+1=x(2+)2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有______.①24x2y=4x·6xy②(x+5)(x﹣5)=x2﹣25③x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1)④9x2﹣6x+1=3x(x﹣2)+1⑤x2+1=x(x+)⑥3xn+2+27xn=3xn(x2+9)C 3.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n的值为．解析：由题意可得x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n.∴5n=5，4m=n+5.解得n=1，m=.∴m+n=1+=. 4.20242+2024能被2025整除吗?解：∵20242+2024=2024(2024+1)=2024×2025，∴20242+2024能被2025整除. 5.若多项式x4+mx3+nx-16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值.解：∵x4+mx3+nx-16的最高次数是4，∴可设x4+mx3+nx-16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b比较系数得2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n，解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.∴mn=-5×20=-100． 6.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，求a+b的值.解：甲分解因式看错了b，但a是正确的，其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，∴a=6.同理，乙看错了a，但b是正确的，分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，∴b=9.∴a+b=15． 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________其中，每个整式叫做这个多项式的______与多项式乘法运算的关系的变形过程前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_______积分解因式因式相反多项式乘积乘积