湘教版选修2-2课件5.4 复数的几何表示

5．4　复数的几何表示 [学习目标]1．理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系，掌握复数的几何意义．2．了解复数的模的意义，理解共轭复数概念． [知识链接]1．下列命题中不正确的有________．(1)实数可以判定相等或不相等；(2)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数能进行开偶次方根运算；答案(5) 2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型． [预习导引]1．复数的几何意义直角坐标系与全体复数建立了一一对应关系的平面叫作，x轴叫作，实轴上的点都表示；y轴叫作，除原点外，虚轴上的点都表示．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)(或平面向量)之间建立了关系，这是复数的几何表示．复平面实轴实数虚轴纯虚数一一对应 z共轭复数a－bi 要点一　复数的几何意义例1设复数z＝a＋bi(a，b∈R)和复平面上的点Z(a，b)对应，a、b必须满足什么条件，才能使点Z位于：(1)实轴上；(2)虚轴上(不含原点)；(3)上半平面(含实轴)；(4)左半平面(不含虚轴及原点)；(5)直线y＝x上．解(1)b＝0；(2)a＝0且b≠0；(3)b≥0；(4)a<0；(5)a＝b. 规律方法复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)建立一一对应的关系． 跟踪演练1实数k为何值时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于：(1)x轴正半轴上；(2)y轴负半轴上；(3)第四象限角平分线上．解∵k为实数，∴k2－3k－4，k2－5k－6为实数，∴复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点Z为(k2－3k－4，k2－5k－6)． 规律方法根据共轭复数的定义及复数相等的定义，可列出关于x的两个方程，其公共根便为所求，对于a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时，a＋bi与a－bi叫做互为共轭虚数，显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 要点三　复数的模及其几何意义例3设全集I＝C，A＝{z|||z|－1|＝1－|z|，z∈C}，B＝{z||z|<1，z∈C}，若z∈A∩(∁IB)，求复数z在复平面内对应点的轨迹．解∵z∈C，∴|z|∈R，设|z|－1＝x，∴x＝|z|－1∈R.由||z|－1|＝1－|z|，即|x|＝－x，知x≤0，即|z|－1≤0，|z|≤1，∴A＝{z∈C||z|≤1}．又B＝{z∈C||z|<1}，∴∁IB＝{z||z|≥1，z∈C} 规律方法对于复数的模，可以从以下两个方面来理解：一是任何复数的模都是非负实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．所以复数的模是绝对值概念由实数的直线坐标系(一维空间)向平面直角坐标系(二维空间)的一种推广． (2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，包括边界. 再见