苏教版必修第二册课件12.4 复数的三角形式

第12章12.4*复数的三角形式 内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标 课标要求1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.理解复数的代数形式与三角形式之间的关系.3.理解复数乘、除运算的三角表示. 基础落实•必备知识全过关 知识点1复数的三角形式1.由复数的几何意义可以知道,复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间存在着一一对应的关系.如图,以x轴的非负半轴为始边、(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的.辐角 2.任一非零的复数z=a+bi的辐角有无限个值,这些值相差.我们把其中适合于的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值,记作argz,即0≤argz<2π.辐角有无限多个值,而辐角主值有且仅有一个例如,arg1=,argi=,arg(-1)=,arg(-i)=.3.两个非零复数相等,当且仅当它们的与分别相等.2π的整数倍0≤θ<2π0π模辐角主值 复数z的模a+bi 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)复数0的辐角一定是0.()(2)一个给定的复数,其辐角也是唯一确定的.()(3)复数i的辐角可以为-π.()××√ 3.将下列复数表示为三角形式:(1)-5i;(2)-10;(3)2-2i. 知识点2复数三角形式乘法法则与几何意义1.已知z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=.这就是说,两个复数相乘,积的模等于这两个复数的,积的辐角等于这两个复数的.2.复数乘法的几何意义r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]模的积辐角的和逆θ2顺|θ2|r2 知识点3复数三角形式除法这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于减去所得的差.[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]被除数的辐角除数的辐角 过关自诊 重难探究•能力素养全提升 探究点一复数的三角形式【例1】将下列复数表示成三角形式.(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i. 规律方法复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数三角形式的一般步骤是: 变式训练1将下列复数中的代数形式表示成三角形式,三角形式表示成代数形式. 探究点二复数三角形式的乘法运算 规律方法两个复数三角形式乘法的法则可简记为“模数相乘,辐角相加”,并且可以作以下推广:(1)有限个复数相乘,结论亦成立.即z1·z2·…·zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)·…·rn(cosθn+isinθn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z时,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即“模数乘方,辐角n倍”. 变式训练2 探究点三复数三角形式的除法运算【例3】计算下列各式:(2)9(cos270°+isin270°)÷[cos(-90°)+isin(-90°)]. 规律方法进行两个复数的三角形式除法运算时,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 变式训练3计算下列各式: 素养培优数形结合思想求复数的模及辐角范围【典例】若z∈C,|z-2|≤1,求|z|的最大、最小值和argz范围.分析结合条件及特点,本题可用数形结合思想求解.解由|z-2|≤1,知z的轨迹为复平面内以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),|z|表示圆面上任一点到原点的距离.显然1≤|z|≤3,∴|z|max=3,|z|min=1,设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点, 说明:本题在求解|z|的最大、最小值时,也可用代数形式,如下:设复数z=x+yi(x,y∈R),则由|z-2|≤1得(x-2)2+y2≤1,∴x2+y2≤4x-3.∵(x-2)2+y2≤1,∴(x-2)2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,∴1≤4x-3≤9,∴1≤|z|≤3.∴|z|max=3,|z|min=1. 学以致用•随堂检测全达标 答案D 2.复数z=-2+2i的三角形式是. 答案1解析原式=cos(-2π)+isin(-2π)=1. 本课结束