广东省惠州市2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

惠州市2022-2023学年度第一学期期末质量检测高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且平行于直线的直线方程为（）A.B.C.D.2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A.1B.C.2D.3.棱长为1的正四面体中，则等于（）A.0B.C.D.4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）A.B.C.D.6.直线与圆交于两点，则当弦最短时直线 的方程为（）A.B.C.D.7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，正确的是（）A.B.C.D.8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②不是等方差数列；③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确命题序号为（）A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）A.为等差数列B.C.最小值为D.为单调递增数列 10.已知空间中，则下列结论正确的有（）A.B.与共线的单位向量是C.D.平面的一个法向量是11.已知曲线，则下列判断正确的是（）A.若，则是圆，其半径为B.若，则是双曲线，其渐近线方程为C.若，则是椭圆，其焦点在轴上D.若，则是两条直线12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（）A.椭圆的长轴长为B.的周长为C.线段长度的取值范围是D.面积的最大值是三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为__________.14.已知双曲线经过点，则离心率为__________. 15.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值.19.（本小题满分12分）已知为平面内的一个动点，且满足.（1）求点的轨迹方程；（2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度.20.（本小题满分12分）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中 为原点.（1）求抛物线的方程；（2）若，求面积的最小值.21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为.（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号12345678答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得，所以所求的直线方程为.2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即，解得. 3.【解析】由题意以作为基底，，则4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，则，故椭圆方程为.5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.6.【解析】由，则令，解得故直线过定点，由，则圆心，半径，当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，故直线为，则.7.【解析】逐一判定即可.对于A，由的图象知，由的图象知，故A正确；对于B，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B错误；对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误；对于D，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公差为的等差数列；故①正确②数列中，，所以是等方差数列；故②不正确③数列中的项列举出来是数列中的项列举： ，即数列是等方差数列，故③正确；④数列是等差数列，数列是等方差数列，，当时，为常数列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.正确命题的是①③④，故A正确.二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号9101112全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A，当时，，时满足上式，所以，所以，所以为等差数列，故正确；对于B，由上述过程可知，故B错误；对于C，因为，对称轴为，又因为，所以当或3时，最小值为，故错误；对于D，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D正确.10.【解析】对于，故正确；对于不是单位向量，且与不共线，错误；对于正确； 对于，设，则，，所以，又，所以平面的一个法向量是正确.11.【解析】对于，若时，转化为，半径为，故错误；对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是的渐近线，B正确；对于，若转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误.12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则，故错误；对于，由定义知，的周长正确；对于，由性质知，所以正确；对于，设所在直线方程为，联立可得，联立可得，则显然，当增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D错误. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.16.14.（写出一个即可）【注】若答案形式为：，则系数必须满足：若答案形式为：，则系数必须满足：13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为14.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，，所以它的离心率为.15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求，设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，所以16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为，平面的法向量可取为，平面的法向量可取为，直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则，令，则，故设直线与平面所成的角为，则，故答案为：四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.）【解析】（1）当时，因为也满足上式，（2），则所以是以0为首项，为公差的等差数列故18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系所以因为 所以即（2）由（1）知，则所以所以与所成角的余弦值是【解法二】由题意得：在中有：，在中有：在正方形中，在中有：所以有：（2）连接，取的中点，连接，四边形为平行四边形 在Rt中有：，在Rt中有：，在中有：所以与所成角的余弦值为19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由得整理得点的轨迹方程为.（2）由（1）可知，曲线则圆心坐标为，半径为则圆心到直线的距离，所以弦的长度直线被曲线截得的线段长度为20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.）【解析】（1）由抛物线经过点知，解得，则抛物线的方程为；（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线， 由消去，得，，设，则，因为，所以即，所以解得（舍去）或，所以即，所以直线，所以直线过定点，当且仅当或时，等号成立，所以面积的最小值为4.【注：面积也可以用的方式来计算【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0不妨设直线方程为，代入由可得当且仅当时等号成立所以面积的最小值为4【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时， 当直线斜率存在时，设直线，由消去，得，则，因为，所以即，所以解得（舍去）或，所以直线，所以直线过定点，综上：面积的最小值为4.21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接交于，则是的中点，连接，是的中点，，平面，平面，平面；又，平面，平面，平面，又与相交于点，平面，所以平面平面.（2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以，又，，所以为等边三角形，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，设面的法向量为，依题意有，则，令，，，则，所以，所以直线与面成的角的正弦值是.【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，所以为等边三角形，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，在Rt中，，在Rt中，又在中，由等腰三角形易计算得设为点到平面的距离计算得： 设直线与平面所成的夹角为，则所以直线与面成的角的正弦值是.22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线的渐近线为，又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为则，即.又，得所以双曲线的方程是.（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入，得，即.设点，则.设点，则令，得，此时.当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点. 对于点.所以存在定点，使为定值.