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吉林省实验中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)

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吉林省实验中学2022-2023学年度上学期高二年级期末考试(一卷)数学本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第I卷1至3页,第Ⅱ卷4至5页.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项,在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题,写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.4.考试结束后,答题卡要交回,试卷由考生自行保存.第I卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若,,且,为共线向量,则值为()A.2B.C.6D.8【答案】A【解析】【分析】由,为共线向量,建立等式,解出即可.【详解】解:由题知,,为共线向量,因为,,所以有,解得,故. 故选:A2.已知数列为等差数列,其前项和为,若,,则公差等于()A.3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过已知条件得出,即可由等差数列通项得出答案.【详解】数列为等差数列,其前项和为,,,,,解得,故选:D.3.若函数的导函数的图象关于轴对称,则的解析式可能为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】A选项,求导后得到,为奇函数,A错误;B选项,求导后,为非奇非偶函数,错误;C选项,求导后,不是偶函数,舍去;D选项,求导后为偶函数,满足题意.【详解】A选项,定义域为R,且,故为奇函数,关于原点对称,A错误;B选项,,定义域为R,由于,故 不关于轴对称,B错误;C选项,,定义域为R,由于,故不关于轴对称,C错误;D选项,,定义域为R,则,故关于轴对称,D正确.故选:D4.圆与轴相切于,与轴正半轴交于两点,,且,则圆的标准方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】设圆心,则有,因此圆C的标准方程为,选A.5.已知,,则()A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】利用导数法则及基本初等函数的导数公式,结合函数导数值即可求解.【详解】由,得,又因为, 所以,解得.故选:B.6.在等比数列中,,,则等于()A.1B.C.1或D.或3【答案】A【解析】【分析】设公比为,而,由求出,再由求出,即可求出得解.【详解】设公比为,,当时,,当时,同号,故舍去.故选:A.7.如图所示,在三棱柱中,底面,,,点,分别是棱,的中点,则直线和所成的角是()A.45°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算,求异面直线所成角的余弦值即可求解.【详解】因为底面,底面,所以, 且,所以以为坐标原点,为轴建系如图,则所以,设直线和所成的角为,则,因为,所以,故选:B.8.设是椭圆上一点,,分别是两圆和上的点,则的最小值、最大值分别为()A.8,11B.8,12C.6,10D.6,11【答案】C【解析】【分析】求出两圆圆心和半径,得到圆心和刚好为椭圆的两个焦点,从而利用椭圆定义求出,可得的最大值为,的最小值为,求出答案.【详解】的圆心为,的圆心为,两圆半径 均为,由于,,所以椭圆的两个焦点分别为和,由椭圆定义可知:,所以的最大值为,的最小值为.故选:C二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某物体的运动方程为(位移单位:m,时间单位:s),若,则下列说法中错误的是()A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度C.18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度D.18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度【答案】ACD【解析】【分析】由瞬时速度定义可得答案.【详解】因表示秒这一时刻的瞬时速度,则表示在3s这一时刻的瞬时速度,故不选B,选ACD.故选:ACD10.给出下列命题,其中正确命题是()A.垂直于同一平面的两直线平行B.平行于同一平面的两直线平行C.平行于同一直线的两直线平行D.空间中不相交的两直线平行【答案】AC【解析】 【分析】根据线线、线面位置关系有关知识确定正确选项.【详解】A选项,垂直于同一平面的两直线平行,A正确,B选项,平行于同一平面的两直线可能相交、异面、平行,B错误.C选项,平行于同一直线两直线平行,C正确.D选项,空间中不相交的两直线可能是异面或平行,D错误.故选:AC11.已知抛物线:的焦点为,准线为,过点的直线与抛物线交于,两点,点在上的射影为,则下列说法正确的是()A.若,则B.以为直径的圆与轴相切C.设,则D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】AC【解析】【分析】已知抛物线的方程,利用抛物线的性质,焦点弦的性质,数形结合判断各选项.【详解】取的中点,在上的投影为,在的投影为,如图所示:对于选项A,因为,所以,故A正确;对于选项B,根据抛物线的性质,,为梯形的中位线,故,以为直径的圆与准线相切,故B不正确;对于选项C,因为,所以,故C正确; 对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线方程为,联立可得,令,解得,所以直线与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D错误.故选:AC.12.若数列满足,,,则称数列为斐波那契数列,斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由递推公式,利用累加法得到AB选项,计算出前6项,从而判断CD选项.【详解】当时,由可得,,…,.又由,,可得,即,累加可得,,故A正确;又,,,…,,累加可得,故B错误;∵,,,所以,,,,所以C正确;又,所以D正确; 故选:ACD.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线在点处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】求导后代入切点的值得出切线的斜率,即可由点斜式得出切线方程.【详解】,,当时,,又切点为,所求切线方程为,故答案为:.14.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是________.【答案】y=2x-3【解析】【分析】首先在直线上任取两个点,,分别求出两点关于的对称点,的坐标,再用两点式即可求出对称的直线方程.【详解】在直线上任取两个点,,则点关于点对称的点为,点关于点对称的点为. 由两点式求出对称直线的方程为,即.故答案为:【点睛】本题主要考查直线关于点的对称问题,同时考查了点关于点的对称问题,属于简单题.15.若曲线存在与直线平行的切线,则实数的最大值为________.【答案】3【解析】【分析】首先求导,根据题意得到在有解,再设,,根据求解即可.【详解】,因为曲线存在与直线平行的切线,所以在有解.即在有解.设,,则,当且仅当,即时等号成立,即.所以,即的最大值为.故答案为:316.已知点是双曲线的左右焦点,若双曲线左支上存在点与点关于直线对称,则该双曲线的离心率为___________ 【答案】【解析】【分析】结合已知条件,利用对称关系表示出点坐标,然后将其代入双曲线方程即可求解.【详解】过焦点且垂直渐近线的直线方程为,即联立渐近线方程与,可得,,故对称中心的点坐标为,由中点坐标公式可得对称点,将其代入双曲线的方程可得,即:,故,,故.故答案:.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设直线的方程为.(1)求直线所过定点的坐标;(2)若在两坐标轴上的截距相等,求的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)将方程变形为,解方程组,就可得到直线所过的定点坐标.(2)首先根据直线方程求出过原点时,满足题意的的值;再根据它在两坐标轴上的截距相 等(不过原点时),求出的值,进而分别得出直线的方程.【小问1详解】因直线的方程为,可得,,解得,即直线所过定点的坐标为.【小问2详解】直线过原点时,在轴和轴上的截距为零.符合题意,∴,方程即为.当直线不过原点时,由截距存在且均不为,∴,即.∴,方程即为.因此直线的方程为或.18.已知数列是等差数列,是等比数列,,,,.(1)求、的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)由可求得数列的公比,由等比数列通项公式可得,进而得到;由可求得数列的公差,由等差数列通项公式可得;(2)由(1)可得,采用分组求和法,结合等差、等比数列求和公式可得. 【小问1详解】设等比数列的公比为,则,;又,,设等差数列的公差为,则,.【小问2详解】由(1)得:;.19.已知圆经过,,圆心在直线上,过点且斜率为的直线与圆有公共点.(1)求圆的方程;(2)求直线的斜率的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设圆的方程为把,代入方程,圆心代入,列方程求解.(2)直线与圆相交满足圆心到直线的距离小于半径.【小问1详解】设圆的方程为,则依题意,得 解得,∴圆的方程为.【小问2详解】依题意可知,直线的方程为,圆心到直线的距离为,,解得20.如图,四棱锥中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,,E为PC中点.(1)求证:DE⊥平面PCB;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据条件先证BC⊥平面PCD,得到BC⊥DE,再由DEPC,即可证明DE⊥平面PCB.(2)以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面BDE,平面PDB的法向量,即可求得二面角的余弦值.【小问1详解】证明:PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC, 又∵正方形ABCD中,CDBC,PDCD=D,∴BC⊥平面PCD,又∵DE平面PCD,∴BC⊥DE,∵PD=CD,E是PC的中点,DEPC,PCBC=C,且面,面∴DE⊥平面PCB【小问2详解】以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意知:则,设平面BDE的法向量为,则,令,得到,又,则,且AC⊥平面PDB,∴平面PDB的一个法向量为,设二面角的平面角为, 则,所以二面角的余弦值为.21.已知数列的前项和,数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由,可得,后可得的通项公式;(2)由(1)可得,后可由错位相减法求数列的前项和.【小问1详解】当时,,当时,,又满足上式,∴,∴.【小问2详解】由(1)得,,,∴,∴,∴,①①×2得,②①②得, ∴.22.已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆交于,两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【详解】(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,所以,又椭圆的离心率为,即,所以,所以,.所以,椭圆的方程为.(Ⅱ)不妨设直线的方程.由消去得,设,,则有,.①因为以为直径的圆过点,所以.由,得. 将代入上式,得.将①代入上式,解得或(舍).所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个交点),所以.设,则.所以当时,取得最大值.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-04 14:40:01 页数:18
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文章作者:随遇而安

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