28.2.2 第3课时 利用方向角、坡度解直角三角形课件

第3课时利用方向角、坡度解直角三角形28.2.2应用举例28.2解直角三角形及其应用第二十八章锐角三角函数 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方向角.如图：30°45°BOA东西北南45°45°西南O东北东西北南西北东南北偏东30°南偏西45°复习引入 解与方向角有关的问题典例精析例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01nmile）？65°34°PBCA 解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°－65°)=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66nmile.65°34°PBCA 例2如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC上所有点中的最短距离.北东ACB60°30°DEF ∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°．∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12海里．∴AF=AC·cos30°=6≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．北东ACB60°30°DEF 如图，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)？练一练200km 200km解：过点P作PC⊥AB于点C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°．∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．C 解与坡度有关的问题如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，哪条路比较陡？ABC观察与思考如何用数量来刻画哪条路更陡呢？ αlhi=h∶l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角α.2.坡度(或坡比)坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i=h∶l.坡面水平面 3.坡度与坡角的关系即坡度等于坡角的正切值. 1.斜坡的坡度是，则坡角α=____度.2.斜坡的坡角是45°，则坡比是_____.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.αlh301:1练一练 例3如图，一山坡的坡度为i=1∶2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2典例精析 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A≈26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m.从而BC≈240sin26.57°≈107.3(m)．因此 例4如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：斜坡CD的坡度i=tanα=1∶2.5=0.4，由计算器可求得α≈22°.故斜坡CD的坡角α约为22°. 解：分别过点B，C作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F.由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3 =69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1:2，走　　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．练一练ACBD30°答案：点B和点C的水平距离为米. 1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是()A.9mB.6mC.mD.mACBB 2.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于°．90 3.如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上．航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是.15分钟 4.如图，海上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A，B两岛之间的距离为．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93)33.5海里 解：如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F．由题意知DE＝CF＝4(米)，CD＝EF＝12(米)．45°30°4米12米ABCD5.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基左右两边坡面的坡角分别是45°和30°，求路基下底的宽(精确到0.01米，，).在Rt△ADE中，EF 在Rt△BCF中，同理可得∴AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93=22.93(米)．答：路基下底的宽约为22.93米．(米).(米). 6.如图，有一个古建筑A，它周围800米内有古建筑群，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑群会不会遭到破坏？E解：过点A作AE⊥BD，垂足为E.∵点A在点B的北偏东60°方向上，在点D的北偏东30°方向上，∴∠ABE=30°，∠ADE=60°. ∴∠BAD=∠ADE-∠ABE=30°=∠ABE.∴AD=BD=1200米.∴AE=AD·sin60°=1200×≈1039.2＞800（米）.∴不会遭到破坏. 解直角三角形的应用坡度问题方向角问题坡角坡度(或坡比)