28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形学案

第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第3课时利用方位角、坡度解直角三角形学习目标：1.正确理解方向角、坡度的概念.2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.重点：1.正确理解方向角、坡度的概念.2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.难点：能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解决问题的综合能力.自主学习一、知识链接1.什么叫方位角？什么叫坡角？什么叫坡度？2.坡度与坡角有什么关系？合作探究一、要点探究探究点1：解与方位角有关的问题 【典例精析】例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01nmile）？【典例精析】例2如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？练一练如图所示，A，B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)． 探究点2：解与坡度有关的问题观察与思考：如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路更陡呢？练一练1.斜坡的坡度是，则坡角α=度.2.斜坡的坡角是45°，则坡比是.3.斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.【典例精析】例3如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？【典例精析】例4水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精确到1°)；(2)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m). 练一练如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1:2，走米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．二、课堂小结当堂检测1.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝BC=3m，则坡面AB的长度是（）A.9mB.6mC.mD.m2.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于． 3.如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上.航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是．4.如图，海上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A，B两岛之间的距离为．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93)5.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽(精确到0.01米，，）.6.如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？ 参考答案自主学习一、知识链接1.以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i.2.坡度与坡角的关系：，即坡度等于坡角的正切值.课堂探究一、要点探究探究点1：解与方位角有关的问题【典例精析】例1解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.66nmile．【典例精析】例2解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF的长是A到BC的最短距离.∵BD∥CE∥AF，∴∠DBA=∠BAF=60°，∠ACE=∠CAF=30°，∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.又∵∠ABC=∠DBF－∠DBA=90°－60°=30°=∠BAC，∴BC=AC=12（海里）.∴AF=AC·cos30°=6(海里)，6≈10.392＞8，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．练一练解：过点P作PC⊥AB，C是垂足，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即PC＋PC＝200，解得PC≈126.8km＞100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．探究点2：解与坡度有关的问题练一练1.302.1:13.【典例精析】例3解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈26.57°.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，因此从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m． 【典例精析】例4解：（1）斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由计算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α为22°.（2）分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中，在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.练一练点B和点C的水平距离为米.当堂检测1.B2.90°3.15分钟4.33.5海里5.解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F．由题意可知DE＝CF＝4(米)，CD＝EF＝12(米)．在Rt△ADE中，(米).在Rt△BCF中，同理可得(米)．因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93(米)．答：路基下底的宽约为22.93米．6.解：过点A作AE垂直于BD,垂足为E.∵点A处在B点的北偏东60°方向上，在D点的北偏东30°方向上，∴∠ABE=30°，∠ADE=60°，∴∠BAD=∠ADE-∠ABE=30°=∠ABE，∴BD=AD=1200米，∴DE=ADcos60°=600（米），AE=600≈1039.2＞800米.∴不会遭到破坏.