华师大版九下数学27.2.3第1课时切线的判定与性质课件

27.2与圆有关的位置关系第27章圆第1课时切线的性质与判定3.切线 情境引入转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？都是沿切线方向飞出的.生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 从图可以看出来，对直线l上除点A外的任一点P，必有OP＞OA，即点P位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线l是圆的切线.Pl如图，画一个圆O及半径OA，经过☉O的半径OA的外端点A画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？切线的判定定理做一做AOPP 经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为⊙O的半径OA⊥l于点A直线l为⊙O的切线切线的判定定理应用格式要点归纳lAO 在此定理中，“经过圆的半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？(1)不是，因为没有垂直.(2)(3)不是，因为没有经过圆的半径的外端点A.判一判O.AO.ABAO(1)(2)(3)注意 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd要点归纳OO 例1如图，线段AB是☉O的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC.求证：AC是☉O的切线.分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AC即可.证明：∵AB=AC，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°，即AB⊥AC.∵AB是☉O的直径，∴AC是☉O的切线.AOCB 例2已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线.∴OC⊥AB.∵OC是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线.分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 例3如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于E.求证：AC是⊙O的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE.F 证明：连接OE，OA，过O作OF⊥AC.∵⊙O与AB相切于E，∴OE⊥AB.又∵在△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是⊙O半径，OF＝OE，OF⊥AC，∴AC是⊙O的切线．又∵OE⊥AB，OF⊥AC. 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB求证:直线AB是⊙O的切线.CBAO如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的直径为6.求证:直线AB是⊙O的切线.CBAO对比思考？作垂直连接方法归纳 (1)有交点，连半径，证垂直；(2)无交点，作垂直，证半径.证切线时辅助线的添加方法有切线时常用辅助线添加方法(1)见切点，连半径，得垂直.切线的其他重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.要点归纳例2例3 思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？AlO∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径．应用格式切线的性质定理 （1）假设AB与CD不垂直，过点O作OM⊥CD，垂足为M；理由是：直径AB与直线CD要么垂直，要么不垂直.（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾；CDBOA（3）所以假设不成立，故AB与CD垂直.M证法：反证法性质定理的证明 反证法的证明视频点击视频开始播放→ CDOA证法2：构造法.作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A，且A点为CD的中点，连接OA，根据垂径定理，则CD⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径． 1.如图①，在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B.若∠ABN=30°，则∠AOB=°.2.如图②，AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°.若⊙O的半径长1cm，则OD=cm.60练一练图①图② 利用切线的性质解题时，常需作辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.方法总结 例4如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.(1)求证：△ACB≌△APO；(2)若AP＝，求⊙O的半径．解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO.OABPC 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.(1)求证：△ACB≌△APO；OABPC在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO.(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∴∠OAP＝90°. (2)若AP＝，求⊙O的半径．OABPC∴AO＝1，即⊙O的半径为1.(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝，(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. 1.判断下列命题是否正确.(1)经过半径外端的直线是圆的切线.()(2)垂直于半径的直线是圆的切线.()(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.()(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.()(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.()××√√√ 2.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是.APO相切3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°CPODABC第2题图第3题图 4.如图，PB切☉O于点B，PB=4，PA=2，则☉O的半径是多少？OPBA解：连接OB，如图.则∠OBP=90°.设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=r+2.在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得r=3，即⊙O的半径为3. OABCEP5.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证：PE是⊙O的切线.证明：连接OP，如图.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OP，∴∠B=∠OPB.∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线. 6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON∴CD与⊙O相切．MN 6.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.(1)如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：①_________；②_____________.(2)如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2 证明：连接AO并延长交☉O于D，连接CD，则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°.∵∠D与∠B同对，∴∠D=∠B.又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE.∴∠DAC+∠EAC=90°.∴EF是☉O的切线.AFEOBC图2D 切线的判定方法定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相切经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径 切线的性质有1个公共点d=r性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.