华师大版九下数学27.2.3第2课时切线长定理及三角形的内切圆课件

27.2与圆有关的位置关系第27章圆第2课时切线长定理及三角形的内切圆3.切线 情境引入同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？互动探究POBAO.PAB切线长定理及应用 P1.切线长的定义：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．AO①切线是直线，不能度量；②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．2.切线长与切线的区别在哪里？知识要点如：线段PA的长就是点P到☉O的切线长. 问题2PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．OB是☉O的一条半径吗？PB是☉O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）PA、PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？OPAB *切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.PA、PB分别切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意要点归纳BPOA O.P已知：如图，PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.证明：∵PA、PB是☉O的两条切线，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理验证AB∴OA⊥PA，OB⊥PB. 若连接两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?请给出证明.解：OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.M想一想：OPAB 想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.∵PC=PC.∴△PCA≌△PCB(S.A.S.).∴AC=BC.新的结论：CA=CB.O.PABC 例1已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.求证：AB+CD=AD+BC.证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，·ABCDOEFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即AB+CD=AD+BC.典例精析 例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．OBC解析：取圆的圆心为O，连接OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.即铁环的半径为∴OA=2PA=10.解：设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∴OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.OBC5∵AP、AB为⊙O的切线，∴OP=∴∠POA＝30°. 1.PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点，直线OP交☉O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.（3）写出图中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.△ABP△AOB（2）写出图中与∠OAC相等的角；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.BPOACED练一练 BPOA2.PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3.（1）若AP=4，则OP=；（2）若∠BPA=60°，则OP=.56 3.如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则(2)∠DOE=.(1)△PDE的周长是；14OPABCED70°解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°. 又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=CB.∵D，E是切线PA，PB上的点，∴∠DOC=∠DOA=∠AOC.∠DOE=∠DOC+∠COE=(∠AOC+∠COB)=70°.∴∠COE=∠BOE=∠AOC.∴S△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.OPABCED 切线长问题辅助线添加方法：（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆外一点.方法归纳 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？互动探究三角形的内切圆及作法 问题1如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？OOOO最大的圆与三角形三边都相切 问题2如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.为什么呢？三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？圆心I应是三角形的三条角平分线的交点. 已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆O.做一做MND作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.ABCO 1.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.BACI☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.知识要点 问题1如图，☉I是△ABC的内切圆，那么AI、BI、CI有什么特点？互动探究IA、IB、IC分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA.BACI三角形的内心的性质 BACI问题2如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？EFGIE=IF=IG 知识要点三角形内心的性质三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.AI、BI、CI分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.BACIEFG 例3如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.解：连接IB，IC.ABCI∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB.在△IBC中， 例4如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.该问题可以抽象为如下所示的几何图形. CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.∵圆O是等边△ABC的内切圆，∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的平分线.∴∠OAB=∠OBA=30°.∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=1.5(cm).∴OD=AD·tan30°=(cm).答：圆柱底面圆的半径为cm. 例5△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？BACEDFO 解：设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.解得x=4.BACEDFO 比一比名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边垂直平分线的交点1.OA=OB=OC；2.不一定在三角形内部三角形三条角平分线的交点1.到三边距离相等；2.AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3.在三角形内部ABOCABCO CABOD1.求边长为6cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.解：如图，由题意可知BC=6cm，∠ABC=60°，OD⊥BC，BO平分∠ABC.∴∠OBD=30°，BD=3cm.∴内切圆半径∴外接圆半径练一练 变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.sin∠OBD=sin30°=CABODRr ABCODEFABCDEFO2.设△ABC的面积为S，周长为L，△ABC内切圆的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ 3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，则其内切圆的半径r为（以含a、b、c的代数式表示）._________ABCOcDEr解析：如图，过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.F则AD=AC-DC=b-r，BE=BC-CE=a-r.∵AF=AD，BF=BE，AF+BF=AB，∴a-r+b-r=c，∴barrr 1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，若AP=4，∠APB=40°，则∠APO=°，PB=.204BPOA第1题图2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为______.11·ABCDOE第2题图 （3）若∠BIC=100°，则∠A=°；（2）若∠A=80°，则∠BIC=°；130203.如图，在△ABC中，点I是内心．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BIC=_____°；ABCI（4）试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？120 证明：方法①：连接OD，如图.∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC.∴∠ODC=∠B=90°.∵OD=OB，OC=OC，∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）.∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED.4.如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 方法②：连接BD，如图.∵BC⊥AB，∴BC切⊙O于点B.又∵AC切⊙O于点D，∴DC=BC，CO平分∠DCB.∴OC⊥BD.∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD.∴DE∥OC．∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED.∴DE∥OC． 5.如图，△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，AD平分∠BAC.∴点I在AD上，∠ABI=∠CBI．∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD．∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBD+∠CBI，∴∠BID=∠IBD．∴BD=ID． 切线长切线长定理作用提供了证线段和角相等的新方法辅助线分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程应用重要结论内心的概念及性质图形的轴对称性原理