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华东师大版九下数学27.2.3第1课时切线的判定教案
华东师大版九下数学27.2.3第1课时切线的判定教案
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1.掌握判定直线与圆相切的方法,并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明.(重点)2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.(难点) 一、情境导入下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况.二、合作探究探究点:切线的判定【类型一】已知直线过圆上的某一个点,证明圆的切线如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°,求证:CD是⊙O的切线.解析:要证明CD是⊙O的切线,即证明OC⊥CD.连接OC,由AC=CD,∠D=30°,则∠A=∠D=30°,得到∠COD=60°,∴∠OCD=90°.证明:如图,连接OC.∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠2=∠A=30°,∴∠1=60°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.方法总结:切线的判定方法有三种:①利用切线的定义,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线;③经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【类型二】到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线如图,在△OAB中,OA=,OB=,OA⊥OB,以O为圆心,4为半径作⊙O,求证:AB是⊙O的切线.,解析:作OC⊥AB于点C,先利用勾股定理计算出AB=10,再利用面积法求出OC=4,而⊙O的半径为4,则根据切线的判定方法可判断AB是⊙O的切线.证明:作OC⊥AB于点C.∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°.在Rt△OAB中,AB==10.∵OC•AB=OB•OA,∴OC==4.∵⊙O的半径为4,∴OC为⊙O的半径.而OC⊥AB,∴AB是⊙O的切线.方法总结:在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该线段的长等于半径;当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线.【类型三】直线与圆的公共点没有确定时,证明圆的切线如图,△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为圆心的圆与AB相切于点E.求证:AC与⊙D相切.解析:过点D作DF⊥AC,根据△ABC是等腰三角形,D是BC边的中点,以及AB是⊙D的切线,得到DF=DE,说明DF是⊙D的一条半径,根据切线的判定定理证明AC是⊙D的切线.证明:作DF⊥AC于点F,连接AD、DE.∵AB是⊙D的切线,∴DE⊥AB.∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE,∴AC是⊙D的切线.方法总结:如果直线与圆的公共点没有确定,则应过圆心作直线的垂线,证明圆心到这条直线的距离等于半径.【类型四】切线的判定和有关计算如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,,DE⊥EB.(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;(2)若AD=2,AE=6,求EC的长.解析:(1)取BD的中点O,连接OE,如图,由∠BED=90°,可得BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心,再证明OE∥BC,得到∠AEO=∠C=90°,可得结论;(2)设⊙O的半径为r,根据勾股定理和平行线分线段成比例定理,可求答案.(1)证明:取BD的中点O,连接OE,如图所示,∵DE⊥EB,∴∠BED=90°,∴BD为△BDE的外接圆的直径,点O为△BDE的外接圆的圆心.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC,∴∠AEO=∠C=90°,∴OE⊥AE,∴AC是△BDE的外接圆的切线;(2)解:设⊙O的半径为r,则OA=OD+DA=r+2,OE=r.在Rt△AEO中,有AE2+OE2=AO2,即62+r2=(r+2)2,解得r=2.∵OE∥BC,∴=,即=,∴CE=3.方法总结:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某直线是圆的切线,已知此直线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.三、板书设计教学过程中,强调只要出现切线就要想到半径,就要想到有垂直的关系,要形成一个定势思维.
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初中 - 数学
发布时间:2021-12-22 14:07:56
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文章作者:随遇而安
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