广东省惠州市2023届高三数学第三次调研试题（Word版附解析）

惠州市2023届高三第三次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知集合，，且，则实数（）A.B.1C.或1D.0【答案】A【解析】【分析】根据集合的包含关系，利用元素互异性的特征，建立方程，可得答案.【详解】解：∵集合，，，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，解得实数．故选：A．2.等差数列中，，是方程的两个根，则的前2022项和为（）A.1011B.2022C.4044D.8088【答案】C 【解析】【分析】根据根与系数之间的关系，结合等差数列的性质以及前项和公式，求解即可.【详解】因为，是方程的两个根，故可得，又数列是等差数列，故，故.故选：.3.“”是“方程表示双曲线”的（）条件A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用集合法进行求解.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或.即.因为是的真子集，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B．4.已知实数，则下列结论一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由不等式的性质，逐个验证选项的结果.【详解】A选项中，因为，所以，故A选项正确；B选项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B选项错误：C选项中，因为，则，故C选项错误；D选项中，若，，满足，但，故D选项错误．故选：A．5.已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（）A.b与c是异面直线B.a与c没有公共点C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题设条件可得相应的空间图形，从而可得正确的选项.【详解】∵，∴，，∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴，如图所示：故A，B，C错误；故选：D．6.若函数（且）在R上为减函数，则函数 的图像可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题设可得且函数的定义域为，结合对数复合函数的单调性，应用排除法确定函数图象.【详解】由题设，且，即函数的定义域为，排除A、B；当时，单调递减，当时，单调递增，而在定义域上递减，所以时递增；时递减；排除C.故选：D7.在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】计算出6个数中任取2个数的种数，再列出2个素数之和仍为素数的情况，由古典概型概率计算公式可得答案. 【详解】由题意得，6个数中任取2个数，共有种可能，2个素数之和仍为素数，则可能为（2和3）、（2和5）、（2和11）共有3种可能，所求概率．故选：A．8.已知，且恒成立，则的最小值为（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将恒成立不等式化为，利用导数可求得单调性，可知，由此可得；由知：，求导后，根据的范围讨论单调性，进而得到；由可求得结果.【详解】由，得：；令，，令，则，在上单调递减，，则，在上单调递减，，；令，则，，； 当时，，在上单调递增，，不合题意；当时，，在上单调递减，，满足题意；当时，，使得，又在上单调递减，当时，，在上单调递增，则，不合题意；综上所述：；.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列选项正确的是（）A.z的虚部为1B.C.为纯虚数D.在复平面内对应的点位于第一象限【答案】AC【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可.【详解】，则z的虚部为1，选项A正确；，选项B错误；为纯虚数，选项C正确； 在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；故选：AC．10.在某市高二举行一次期中考试中，某学科共有2000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为.按照的分组作出频率分布直方图，如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为16.则下列结论正确的有（）A.样本容量B.图中C.估计该市全体学生成绩的平均分为分D.该市要对成绩由高到低前的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号【答案】BC【解析】【分析】根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断A；根据频率之和等于，即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意得，即可判断D.【详解】对于A：因为成绩落在区间内的人数为，所以样本容量，故A不正确；对于B：因为，解得，故B正确； 对于C：学生成绩平均分为：，故C正确；对于D：因为，即按照成绩由高到低前的学生中不含分的学生，所以成绩为分的学生不能得到此称号，故D不正确.故选：.11.已知函数，，则下列结论正确的是（）A.函数在上单调递增B.存在，使得函数为奇函数C.任意，D.函数有且仅有2个零点【答案】ABC【解析】【分析】A选项：通过导数判断函数单调性；B选项：取特殊值验证结论的存在；C选项：通过放缩，得到函数值的范围；D选项：通过函数值的符号，判断零点个数.【详解】对于A：，因为，所以，，因此，故，所以在上单调递增，故A正确；对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确； 对于C：时，；时，；时，；C正确；对于D：时，，时，，时，，所以只有1个零点，D错误；故选：ABC12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（）A.直线与蒙日圆相切B.的蒙日圆的方程为C.记点到直线的距离为，则的最小值为D.若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为【答案】AC【解析】【分析】分析可得出，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，因为，可得. 对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，所以，直线与蒙日圆相切，A对；对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错；对于C选项，由椭圆的定义可得，则，所以，，因为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以，，当且仅当时，等号成立，C对；对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，所以，，所以，矩形的面积为，D错.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分.13.已知平面向量，，若与垂直，则实数__________．【答案】2【解析】【分析】向量垂直，数量积为0，利用向量坐标运算求解参数.【详解】因为与垂直，所以，即，解得．故答案为：2 14.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__________．【答案】【解析】【分析】法一：利用三角函数的定义求出、的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；法二：利用三角函数的定义求出的值，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】法一：由三角函数的定义可知，，所以；法二：因为角的终边经过点，所以，所以．故答案为：.15.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为__________．【答案】【解析】【分析】数形结合确定弦和的位置，即可求出四边形的面积.【详解】圆的方程化为标准方程为：，则圆心半径，由题意知最长弦为过点的直径，最短弦为过点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和点之间的距离为1，故，所以四边形ABCD的面积为．故答案为： 16.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率，则曲线在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线（x∈R）曲率的平方的最大值为______.【答案】①.②.1【解析】【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；（2）由题意，整理曲率的函数解析式，换元求导，求最值，可得答案.【详解】（1）由题意得，，则，，则.（2）由题意得，，，∴，令，则，令，则，显然当t∈[1,2]时，，p（t）单调递减，所以，∴的最大值为1. 故答案为：，1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列中，，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得.【小问1详解】解：因为，所以，因为，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】解：由（1）可知，，所以，又由题知. 18.条件①，条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，（1）求；（2）若是的角平分线，且，求的最小值．【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由已知结合三角形的面积公式可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【小问1详解】解：选①：因为，由正弦定理可得，即，所以，而，，故，因为，所以；选②：因为，由正弦定理， 即，由余弦定理，因为，所以；选③：因为，正弦定理及三角形内角和定理可得，即，因为、，则，所以，，，所以，所以，即.【小问2详解】解：由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，即，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． （1）证明：平面平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；(2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.【小问1详解】方法一：因为底面ABCD，平面ABCD，所以．因为ABCD为正方形，所以，又因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以，又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因为平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因为底面ABCD，平面PAB， 所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因为平面PAB，所以．因为，E为线段PB的中点，所以．因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因为平面AEF，所以平面平面PBC因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，设，则，所以，，，，设为平面AEF的法向量， 则所以取，则，，则，设为平面PBC的法向量，则所以取，则，，则因为，所以,所以平面平面PBC.【小问2详解】（基于（1）解法一、二）因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，易知是平面PAB法向量设，则，所以，，所以即，得，所以， 设为平面AEF的法向量，则所以平面AEF的法向量，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为．由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中点．所以，，的面积为因为，的面积为设点P到平面AEF的距离为h，则有解得所以点P到平面AEF的距离为．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量 所以，即，解得所以，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为．20.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为【小问2详解】则【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为21.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递区间为（2）【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.【小问1详解】函数的定义域是，当时，，令得，所以函数在上单递递增；令得，所以函数在上单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．小问2详解】恒成立，等价于恒成立，令，因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即， 所以恒成立，等价于恒成立令，问题等价于恒成立①若时，恒成立，满足题意；②若时，则，所以，不满足题意；③若时，因为，令，得，，，单调递减，，，单调递增，所以在处取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得综上：【解法二】恒成立，等价于，令①若时，，所以在上单调递增，，即，满足，②若时，则，，所以在上单调递增，由，函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递增，值域为；所以，使得，不满足题意．③若时，令，∴， 令，则在上单调递增，函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为；则，；，，；，，所以，，，，，单调递减，，，单调递增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上单调递增，，∴时，，，，所以在上单调递增，∴，即，综上：【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.22.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上且．（1）求椭圆的方程；（2）点分别在椭圆和直线上，，为的中点，若为直线 与直线的交点．是否存在一个确定的曲线，使得始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设，表示出直线OQ的方程，定点和.进而求出，把代入得，从而，判断出点始终在以OF为直径的圆上，即可求解.【小问1详解】因椭圆过点，所以.因为，所以，得．故，从而椭圆C的方程为．【小问2详解】设，则直线AP的斜率为.因为，所以直线OQ的方程为.令可得，所以， 又M是AP的中点，所以.从而，所以①因为点在椭圆C上，所以，故，代入式①可得，从而，所以，点始终在以为直径的圆上，且该圆方程为