上海市第十中学2022-2023学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022学年度第一学期高二年级数学专项作业（考试时间：90分钟，满分：100分）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分100分；考试时间90分钟．一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分．1.已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的________条件【答案】必要不充分【解析】【分析】根据直线和平面的位置关系以及充分必要条件的定义可判断.【详解】若，与面不一定垂直，若，根据面面垂直的判定定理可得，故答案为：必要不充分.2.一个总体分为两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．已知层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为________．【答案】【解析】【分析】根据分层抽样每个个体抽到的概率相等，即可求出结论【详解】因为用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本．由层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是， 所以总体中的个体数为．故答案为：.3.已知数据是互不相等正整数，且，中位数是，则这组数据的方差是________．【答案】【解析】【分析】根据题意可求得五个数据，利用方差公式可求得结果.【详解】设，则，又因为数据是互不相等的正整数，所以，，.故答案为：.4.若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为__________.【答案】【解析】【分析】确定到底面的距离为正四棱柱的高，即可求得结论．【详解】∵正四棱柱，∴平面平面，平面，平面,到底面的距离为正四棱柱的高∵正四棱柱的底面边长为，与底面成角， 故答案为:．5.某学校有学生1485人，教师132人，职工33人.为有效预防甲型H1N1流感，拟采用分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取___________人.【答案】【解析】【分析】根据分层抽样的性质，先求出抽样比例，进而可求出结果.【详解】由题意可知：分层抽样的抽样比为，所以学生中应抽取，故答案为：.6.过正方形ABCD之顶点A作平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的度数为________．【答案】【解析】【分析】将四棱锥补成正方体即可求解.【详解】根据已知条件可将四棱锥补成正方体如图所示：连接CE，则平面CDP和平面CPE为同一个平面，由题可知平面，平面， ∴，，又平面和平面，平面，平面，∴为平面和平面所成的锐二面角的平面角，大小为.故答案为：.7.的三边长分别为3、4、5，为平面外一点，它到三边的距离都等于2，则到平面的距离是________．【答案】【解析】【分析】作平面于，由题可得是的内切圆圆心，可得半径，进而即得.【详解】如图，，则为直角三角形，作平面于，于，于，于，连接，由题可知，故，由平面，平面，所以，又，平面，平面，平面，平面，，同理，故O是的内切圆圆心，设其半径为，则，所以，所以. 故答案为：.8.口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率为__________．【答案】0.25【解析】【详解】设摸出白球、红球、黄球的事件分别为，根据互斥事件概率加法公式，，，解得.9.在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是、【答案】45，46【解析】【详解】10.如图，在长方体中，，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为________【答案】##0.5【解析】【分析】由题可得为正方体，根据正方体的性质结合条件可得 为直线与平面所成角，进而即得.【详解】因为在长方体中，，∴上下底面为正方形，连接，则，与所成的角为，∴与所形成的角为，即，∴为正方形，为正方体，设，则，因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面，连接，则为直线与平面所成角，由题可知中，，，∴，即与平面所成角的正弦值为.故答案：.11.如图，在三棱柱中，，，，侧棱的长为1，则该三棱柱的高等于________ 【答案】##0.5【解析】【分析】过作平面、直线的垂线，交点分别为O，D，E，可得四边形为矩形，结合条件可得，，进而即得．【详解】过作平面、直线的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，则即为三棱柱的高，由平面，平面，可得，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，所以四边形为矩形，在直角三角形和中，，，侧棱的长为1，则，，所以，所以，即三棱柱的高等于.故答案为：.12.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～ 80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为__________【答案】4320【解析】【分析】根据频率分布直方图结合醉酒驾车的含义即得.【详解】由题意结合频率分布直方图可得，醉酒驾车，即血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上的人数约为：.故答案为：4320．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分，否则一律得零分．13.已知是直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】利用空间中线、面的平行和垂直的性质和判定定理即可判断.【详解】若，则有，故可判断A错误. 若，则或，故B错误.若，则存在直线与平行，所以，故C正确.若，则或，故D错误.故选：C.14.设直线平面，过平面外一点与都成30°角的直线有且只有：A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】【分析】过与平面成30°角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成30°角），然后考虑这些母线中与直线成30°角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得．【详解】如图，，以为轴，为顶点作一个圆锥，圆锥轴截面顶角大小为120°，则圆锥的母线与平面所成角为30°，因此过的所有与平面成30°角的直线都是这个圆锥母线所在直线，过圆锥底面圆心作直线，交底面圆于两点，圆锥的母线中与直线夹角为30°的直线是母线，也只有这两条直线，故选：B．15.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论： ①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.其中正确的是(　　)A.①②B.③④C.②③D.①③【答案】D【解析】【详解】将展开图还原为正方体，由于EF∥ND，而ND⊥AB，∴EF⊥AB；显然AB与CM平行；EF与MN是异面直线，MN与CD也是异面直线，故①③正确，②④错误.16.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A.甲地：总体均值为3，中位数为4B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D【解析】【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17.如图，正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且，平面，求线段PQ的长．【答案】【解析】【分析】过作，交于，根据线面平行即面面平行的判定定理可得平面平面，进而，然后利用余弦定理结合条件即得．【详解】如图，过作，交于，连结，因为，，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，又，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，， 由，可得，，，，，，所以，所以线段的长为．18.如图所示是一多面体的表面展开图，分别为展开图中线段的中点，则在原多面体中，求直线ME与平面APQ所成角的正弦值.【答案】【解析】【分析】先还原几何体，建立空间直角坐标系，计算线面角正弦值.【详解】还原多面体为长方体，以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 由题意得,,设面的法向量，则,即，令得设直线ME与平面APQ所成角，则.19.设在直三棱柱中，,,依次为,的中点．（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求异面直线所成的角.（2）先求出平面法向量，利用空间向量求点到面的距离.【小问1详解】以为原点建立如图空间坐标系，则,，，.【小问2详解】设平面的一个法向量为，，，解得：令可得，∵∴点到平面的距离为﹒ 20.为预防甲型H1N1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：A组B组C组疫苗有效673xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？（3）已知，求不能通过测试的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根据概率与频率的关系求解；(2)根据分层抽样的抽取方法求解；(3)利用古典概率模型求解.【小问1详解】因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是，所以.【小问2详解】组的样本个数为，所以应在C组抽取.【小问3详解】由（2）可知，，且，所以样本空间包含的基本事件有： 共有11个，若测试不能通过，则，解得，所以包含的样本点由共2个，所以不能通过测试的概率为.21.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；【答案】1/3【解析】【分析】(Ⅰ)要证明线面平行，先本题先要作直线和直线FH平行；再利用线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)要证明线面垂直，只需证明直线和同一平面内的两条相交直线垂直即可.由已知四边形ABCD是正方形可得，，所以只需再证明即可；(Ⅲ)要求四面体的体积，需求四面体的底面积和高即可；根据已知得，所以BF为四面体B-DEF的高；由，得，即为底面DEF底边EF上的高，可算出底面的面积；再代入四面体的体积公式即可.【详解】(Ⅰ)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连结GE，GH， 由于H为BC的中点，故，又，∴，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，而EG平面EDB，∴.(Ⅱ)证明：由四边形ABCD为正方形，有，又，∴，而，∴，∴，∴，又，H为BC的中点，∴，∴，∴，又，∴，又，，∴.(Ⅲ)解：∵，∴，所以BF为四面体B-DEF的高，又BC=AB=2，∴，又，即,∴,.考点：直线与平面平行的判定与性质；四面体的体积；直线与平面垂直的判定与性质.