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山东省菏泽市2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)

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2021级高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.点关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.【详解】因为点关于Oxy平面对称的点的坐标是,所以点关于平面对称的点的坐标是,故选:C2.已知直线与直线平行,则m的值为()A.3B.C.3或D.3或4【答案】B【解析】【分析】根据直线平行的判定得即可求m值,注意验证两直线是否平行,而非重合.【详解】由题设,,可得或,当时,、平行,符合题设;当时,、重合,不合题设;∴.故选:B.3.已知直线,若直线与垂直,则的倾斜角为()A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】由直线与垂直得到的斜率,再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直,且,所以,解得,设的倾斜角为,,所以.故选:D4.在等比数列中,,,则公比q的值为()A.1B.C.1或2D.1或【答案】D【解析】【分析】讨论、,由已知结合等比数列前n项和公式求公比q.【详解】由题设,当时,符合题设;当时,,∴,则,可得或(舍),综上,或.故选:D.5.已知等差数列满足,若数列的前项和为,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出等差数列的通项公式,然后由裂项相消法求和即可. 【详解】设等差数列的公差为,则,解得则所以则故选:A6.已知圆与直线,则圆上到直线的距离为1的点的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】由得,则圆的圆心为,半径,由,则圆心到直线的距离,∵,∴在圆上到直线距离为1的点有两个.故选:B.7.等轴双曲线的焦距为()A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】【分析】先求得,然后求得.【详解】由解得或,所以,则,,所以焦距.故选:C8.已知点与不重合的点A,B共线,若以A,B为圆心,2为半径的两圆均过点,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得两点的坐标满足圆,然后由圆的性质可得当时,弦长最小,当过点时,弦长最长,再根据向量数量积的运算律求解即可【详解】设点,则以A,B为圆心,2为半径的两圆方程分别为和,因为两圆过,所以和,所以两点的坐标满足圆,因为点与不重合的点A,B共线,所以为圆的一条弦,所以当弦长最小时,,因为,半径为2,所以弦长的最小值为,当过点时,弦长最长为4, 因为,所以当弦长最小时,的最大值为,当弦长最大时,的最小值为,所以的取值范围为,故选:D二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为,且,则下列结论正确的是()A.最小B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据等差数列性质及前项和公式可得,即可得出数列单调性,进而判断选项BCD的正确性,再由数列各项的符号即可得前1011项的和最小,得出正确结果.【详解】根据等差数列前项和公式可得可得,即选项BC正确;因此等差数列的公差,所以数列为递增数列;,即选项D正确;由可知,该数列前1011项全部为负,所以前1011项的和最小,即最小,所以A错误;故选:BCD 10.下列说法正确的是()A.若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心,则B.在四面体OABC中,若,则A,B,C,G四点共面C.已知平行六面体的棱长均为1,且,则对角线的长为D.若向量,则称(m,n,k)为在基底下的坐标.已知向量在单位正交基底下的坐标为(1,2,3),则在基底下的坐标为【答案】ACD【解析】【分析】A令,,,,由G是底面三角形ABC的重心,利用向量的坐标表示即可判断;B根据空间向量共面的结论即可判断;C由,应用向量的运算律求的模即可;D用基底及对应坐标表示出向量即可判断.【详解】A:令,,,,又G是底面三角形ABC的重心,∴,,,,,∴成立,正确;B:由,而,故A,B,C,G四点不共面,错误; C:如下图,,∴,又且棱长为1,∴,则,正确;D:在基底下坐标为,则,故在基底下坐标为(1,2,3),正确.故选:ACD.11.已知曲线,分别为C的左、右焦点,点P在C上,且是直角三角形,下列判断正确的是()A.曲线C的焦距为B.若满足条件的点P有且只有4个,则m的取值范围是且C.若满足条件的点P有且只有6个,则D.若满足条件的点P有且只有8个,则m的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】依次对所给选项利用数形结合思想进行判断即可.【详解】A.当C表示椭圆时,因为,所以C的焦点在x轴上,且,所以,即,所以焦距为; 当C表示双曲线时,因为,即,所以C的焦点在x轴上,所以,即,所以焦距为;故A正确;B.若满足条件的点P有且只有4个,则C表示椭圆,如图1,以为直径的圆O与C没有公共点,所以,即,所以m的取值范围是,故B错误;C.若满足条件的点P有且只有6个,则C表示椭圆,如图2,以为直径的圆O与C有2个公共点,所以,即,所以m的取值范围是,故C正确;D.若满足条件点P有且只有8个,则当C表示椭圆时,如图3,以为直径的圆O与C有4个公共点,所以,即,所以m的取值范围是;当C表示双曲线时,如图4,以为直径的圆O与C恒有8个公共点,所以,综上m的取值范围是或;故D错误.故选:AC 12.两千多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,其截口曲线是圆锥曲线(如图).已知圆锥轴截面的顶角为2θ,一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α.当时,截口曲线为椭圆;当时,截口曲线为抛物线;当时,截口曲线为双曲线.在长方体中,,,点P在平面ABCD内,下列说法正确的是()A.若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等,则点P的轨迹为抛物线B.若点P到直线的距离与点P到的距离之和等于4,则点P的轨迹为椭圆C.若,则点P的轨迹为抛物线D.若,则点P的轨迹为双曲线【答案】BD【解析】【分析】A、B将距离转化到平面ABCD内P到定点、定直线的距离,结合圆锥曲线的定义判断正误;C、D确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角,并比较被截圆锥轴截面顶角一半的大小关系,结合题设判断P的轨迹. 【详解】A:如下图,P到直线的距离与P到平面的距离相等,又P在平面ABCD内,∴在平面内,P到的距离与P到直线的距离相等,又,∴在直线上,故P的轨迹为直线,错误;B:P到直线的距离与P到的距离之和等于4,同A知:平面内,P到直线的距离与P到的距离之和等于4,而,∴P的轨迹为椭圆,正确;C:如下示意图,根据正方体的性质知:与面所成角的平面角为,∴时,相当于以为轴,轴截面的顶角为的圆锥被面所截形成的曲线,而,则,即,故P的轨迹为椭圆,错误;D:同C分析:时,相当于以为轴,轴截面的顶角为的圆锥被 面所截形成的曲线,而,即,故P的轨迹为双曲线,正确.故选:BD.【点睛】关键点点睛:将空间点线、点面距离转化为平面点点、点线距离判断轨迹,由题设及给定的条件确定被截圆锥的轴与截面ABCD的夹角、被截圆锥轴截面顶角大小,进而确定轨迹形状.三、填空题:本大题共4小题,律小题5分,共20分.13.已知△的三个顶点分别是点A(4,0),,,则△的外接圆的方程为______.【答案】【解析】【分析】令外接圆圆心,而中点为、中点为,由求x、y,进而求半径,即可写出△的外接圆的方程.【详解】令△的外接圆圆心,又A(4,0),,∴中点为,则,则,中点为,则,则,∴圆心,又外接圆的半径,∴△的外接圆的方程为.故答案为:.14.已知数列的前项和为,且,则__________.【答案】【解析】【分析】当时,求解,当当时,求出然后求解.【详解】当时,, 当时,①②减②得:所以是以为首项,为公比的等比数列.所以故答案为:15.如图,已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时:(1)当点A在圆内且不与点重合时,点的轨迹是__________(从圆、椭圆、抛物线中选择一个填写);(2)当__________(从>,=,<中选择一个填写)时,点的轨迹是双曲线的一支.【答案】①.椭圆②.>【解析】【分析】根据圆锥曲线定义判断求解.【详解】当点A在圆内且不与点重合时,,因此点轨迹是以为焦点,长轴长为半径的椭圆,当点A在圆上时,点到圆心重合,当点A在圆外时,,此时点轨迹是以为焦点,实轴长为半径的双曲线的一支.故答案为:椭圆;. 16.双曲线的左、右焦点分别为,.过作其中一条渐近线的垂线,交双曲线的右支于点P,若,则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】由题设,不妨令,过作,则,结合勾股定理、等腰直角三角形求,再由双曲线定义求参数间的数量关系,进而求离心率.【详解】如下图,垂直一条渐近线,则,过作,故,又,∴,,又在△中,故,,由双曲线定义知:,则,∴. 故答案为:.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线的焦点为F,点在C上.(1)求p的值及F的坐标;(2)过F且斜率为的直线l与C交于A,B两点(A在第一象限),求.【答案】(1),(2)4【解析】【分析】(1)将M坐标代入方程即可;(2)联立直线l与抛物线方程得到A、B的横坐标,再利用焦半径公式求出即可.【小问1详解】将代入,得,解得,所以【小问2详解】由(1)得抛物线方程为,直线l的方程为,联立消y得,解得或,因为A在第一象限,所以,所以,,所以 18.已知圆C的圆心在直线上,且与x轴相交于点M(2,0)和N(4,0).(1)求圆C的标准方程;(2)若过点的直线l与圆C交于A,B两点,且,试问符合要求的直线有几条?并求出相应直线l的方程.【答案】(1);(2)有2条,分别为、。【解析】【分析】(1)由题设易知圆心在直线上,联立求圆心坐标,进而求半径,即可得圆的方程.(2)判断的位置,讨论直线l斜率,结合圆的方程,应用韦达定理、弦长公式求参数,即可判断直线的条数及对应方程.【小问1详解】由题设,中点为,则圆心在直线上,联立,可得圆心为,∴圆的半径为,综上,圆C的标准方程:.【小问2详解】∵,∴在圆外,当直线l斜率不存在时,直线方程为,则,,显然符合题设;当直线l斜率存在时,设为,联立圆C可得:,若,,则,,∴,可得:. ∴此时,直线l:,即.综上,符合条件的直线有2条,分别为、.19.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,侧面底面ABCD,,.(1)若PB的中点为E,求证:平面PCD;(2)若PB与底面ABCD所成的角为60°,求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)取PC的中点F,连接EF,DF,推导出四边形ADFE是平行四边形,,由此能证明平面PCD;(2)△为等边三角形,是中点,作,以为原点,、、为x、y、z轴建空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【小问1详解】如图,取PC的中点F,连接EF,DF,,F分别为PB,PC的中点,,, 且,且,四边形ADFE是平行四边形,,平面PCD,平面PCD,平面PCD.【小问2详解】若是中点,作,由底面ABCD为直角梯形且,,,由侧面底面ABCD,面面,面,∴在面ABCD的投影在直线上,又PB与底面ABCD所成的角为60°,∴PB与底面ABCD所成角的平面角,则△为等边三角形.∴以为原点,、、为x、y、z轴建空间直角坐标系,如下图示:∴、、、,则,,,设平面BDP的法向量,则,取,得,设平面PCD的法向量,则,取,得 ,设平面PCD与平面PBD的夹角为,则,平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为.20.已知数列的首项,且满足.(1)证明:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)对已知等式两边取倒数,再利用等比数列定义证明,进而求得通项公式;(2)利用错位相减法求和即可求解.【小问1详解】由,两边取倒数得,即,即故数列是首项为,公比为3的等比数列,所以,,即所以数列的通项公式为【小问2详解】由(1)知,, ①②两式相减得:21.已知双曲线的实轴长为2,且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程;(2)已知过点的直线与双曲线交于两点.(i)当时,能否是线段的中点?若能,求出的方程;若不能,说明理由;(ii)若点不是线段的中点,写出所满足的关系式(不要求证明)【答案】(1)(2)(i)不能,理由见解析;(ii)【解析】【分析】(1)由题意可知,利用任一点到它的两条渐近线的距离之积为可计算出,得出双曲线的标准方程;(2)(i)假设是线段的中点,利用点差法可求出直线方程,再根据直线和双曲线的位置关系得出矛盾即可判断出结论;(ii)根据(i)中的证明可假设点是线段的中点求出所满足的关系式,即可得出结论.【小问1详解】由双曲线实轴长为2可得,即;则双曲线的两条渐近线为; 设,则满足,到两条渐近线的距离之积为,联立①②得,解得所以双曲线的标准方程为【小问2详解】(i)由题意可知,假设是线段的中点,设直线与双曲线的两点,则满足,两式相减整理得;由是线段的中点可得,即所以直线的方程为,即;联立直线与双曲线的方程可得,此方程,此时直线与双曲线无交点,这与直线与双曲线交于两点矛盾,所以不能是线段的中点.(ii)根据点和双曲线位置关系可知,假设点是线段的中点,由点差法可知的直线方程为,联立双曲线和直线方程可得 当时,即,此时方程只有一个根,即直线与双曲线仅有一个交点,与题意不符,此时不是线段的中点;当时,满足即可得出不是线段的中点,即,整理得,此时方程只有一个根或无实数根,即直线与双曲线仅有一个交点或没有交点,与题意不符,此时不是线段的中点;综上可知,所满足的关系式为.但若为坐标原点时,总存在关于原点对称的两点,所以还需满足,因此所满足的关系式为.22.已知椭圆的离心率是,且过点.(1)求椭圆标准方程;(2)若直线与椭圆交于A、B两点,线段的中点为,为坐标原点,且,求面积的最大值.【答案】(1);(2)2. 【解析】【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程;(2)直线l和x轴垂直时,根据已知条件求出此时△AOB面积;直线l和x轴不垂直时,设直线方程为点斜式y=kx+t,代入椭圆方程得二次方程,结合韦达定理和弦长得k和t的关系,表示出△AOB的面积,结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【小问1详解】由题知,解得,∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】当轴时,位于轴上,且,由可得,此时;当不垂直轴时,设直线的方程为,与椭圆交于,,由,得.得,,从而已知,可得.∵. 设到直线的距离为,则,结合化简得此时的面积最大,最大值为2.当且仅当即时取等号,综上,的面积的最大值为2.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-03-04 14:55:01 页数:23
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文章作者:随遇而安

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