上海市长宁区2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版含解析）

上海市长宁区2022-2023学年高一上期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填㝍结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．1.用符号“”“”或“”填空：_____________．【答案】【解析】【分析】由集合间的关系即可求.【详解】a为集合的其中一个元素，故.故答案为：.2.已知方程的两根为，则____________．【答案】【解析】【分析】结合韦达定理求解即可.【详解】故答案为：3.若，则_____【答案】；【解析】【分析】根据对数运算与指数运算的关系可直接求得结果.【详解】，.故答案为：. 4.已知，用表示____________．【答案】【解析】【分析】根据对数的运算法则求解即可.【详解】，故答案为:.5.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由题意，转化为在上恒成立，利用判别式求解.【详解】因为不等式的解集是，在上恒成立，，即．故答案为:.6.已知直角三角形的斜边长为，则该直角三角形面积的最大值是____________．【答案】100【解析】【分析】设两直角边为，则，进而根据基本不等式求解即可.【详解】解：设两直角边为，∵直角三角形的斜边长为∴，，，即． 故答案为：7.已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意且为偶数即可.【详解】解：幂函数在区间上是严格减函数，，又图像关于y轴对称，可以为偶数，故满足条件a的值可以为．故答案为：-28.指数函数在上最大值与最小值之差为6，则__________.【答案】3【解析】【分析】分为和两种情况，结合函数的增减性求解即可【详解】当时，函数为减函数，，，则，方程无解；当时，函数为增函数，，，则，解得，舍去故答案为3【点睛】本题考查指数函数根据函数最值在给定区间求解参数问题，属于基础题9.已知函数在区间上是严格增函数，则实数范围是____________．【答案】【解析】【分析】先求解的根，判断两根的大小以及严格递增区间，再判断m的范围. 【详解】令，解得或，∴当时，在上是严格增函数；若时，函数在上单调递增，又函数在区间上是单调递增，故；若时，函数在上单调递增，则函数在区间上是单调递增恒成立，综上m的范围是．故答案为：10.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由绝对值三角不等式得，进而结合题意得.【详解】解：由绝对值三角不等式得：，当且仅当时等号成立，即时等号成立，关于x的不等式的解集为，，即实数a的取值范围是．故答案为：11.己知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为____________．【答案】 【解析】【分析】由偶函数的定义作出在上的图像，根据图像讨论即可.【详解】因为函数是上的偶函数，图像关于轴对称，所以在上的图像如图所示：的定义域为，由图像可知在上，，，所以，在上，，，所以，在上，，，所以，在上，，，，综上不等式的解集为，故答案为：12.设，若存在唯一的使得关于的不等式组有解，则的范围是____________．【答案】【解析】【分析】将不等式拆解后分别计算，得到，结合且m是存在且唯一及其范围得到不等式，求解即可.【详解】解：，， ，，，，且且m是存在且唯一，，故答案为：二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）13.如图，点、分別为的边、上的两点，若，则是的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】若，根据平行线分线段成比例定理可推出，而反向通过作图不一定成立.【详解】由平行线分线段成比例定理得，当，；当时，不一定成立，如图所示： 则是的充分非必要条件．故选：A．14.用反证法证明命题:“若，则或”时，应假设（）A.或B.若或，则C.且D.若且，则【答案】C【解析】【分析】取命题的反面即可.【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即且，故选:C．15.如果，那么下列不等式中不成立是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】取特殊值得到反例即可证明不成立.【详解】，，故A正确；，故B正确；，故C正确；取，但，故时，不成立，故D错误；故选：D．16.已知函数，下列命题中:①若函数在区间上是单调函数，则函数在区间上是严格增（减）函数; ②若函数在区间上单调函数，则是函数在在区间上的最大（或最小）值；③若函数的图像是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点；真命题的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】①③可举出反例；②可分函数在上单调递增和单调递减两种情况，推理出是在上的最大值或最小值.【详解】若，则在R上是单调的，但不是严格单调增的，故①为假命题；若函数在上单调递增，有，若函数在上单调递减，有，，故是在上的最大值或最小值，故②为真命题；若，，但，在上有零点，故③为假命题.故选：B．三、解答题（本大题满分52分）17.已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及．【答案】【解析】【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解. 【详解】将两个方程中都代入，得：，解得：或3，或3，所以.18.解下列不等式:（1）;（2）．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)将分式不等式转化为一元二次不等式求解；(2)根据绝对值的几何意义解不等式.【小问1详解】，所以不等式的解为.【小问2详解】，或，或,所以不等式的解为或.19.科学家用死亡生物的体内残余碳成分束推断它的存在年龄．生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳含量大致不变．生物死去后会停止呼吸，此时体内原有的碳含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），且大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设某一刚死亡生物体内碳含量为．（1）按上述变化规律，此死亡生物体内碳含量与死亡年数之间有怎样的关系? （2）当死亡生物体内碳的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了，请问该生物死亡年后，用一般的放射性探测器能测到它体内的碳吗?【答案】（1）（2）能测到【解析】【分析】（1）根据半衰期的定义可直接得到函数关系式；（2）将代入函数关系式中可求得碳含量大于死亡前的千分之一，由此可得结论.【小问1详解】体内原有的碳，每经过年衰减为原来的一半，年后体内的碳应为原来的，.【小问2详解】由（1）得：该生物死亡年后，体内的碳的含量为，碳的含量大于死亡前的千分之一，用一般的放射性探测器能测到它体内的碳．20.设．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由;（2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理山;（3）若，求的取值范围．【答案】（1）奇函数（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义判断即可； （2）根据在上单调递增判断单调性，并结合函数的单调性的定义证明；（3）根据函数单调性与奇偶性解不等式即可.【小问1详解】解：，由，得，，为奇函数【小问2详解】解：∵，函数在上单调递增，∴可以判断在其定义域上单调递增，证明如下：令，∵，∴，，∴，∴，∴在上为单调递增函数【小问3详解】解：∵为奇函数∴，∵在上为单调递增函数，∴，解得 ∴的取值范围为．21.若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“密切”的．（1）己知命题“函数和在上是“密切”的”，判断该命题的真假．若该命题为真命题，请给予证明;若为假命题，请说明理由;（2）若函数和在上是“密切”的，求实数的取值范围；（3）已知常数，若函数与在上是“密切”的，求实数的取值范围．【答案】（1）假命题，理由见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意可知，由一元二次函数的图像结合函数“密切”的定义判断即可；（2）由解出的取值范围，根据集合间的关系求解即可；（3）由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【小问1详解】由可得， 由一元二次函数的图像可知，所以，即，故命题“函数和在上是“密切”的”是假命题.【小问2详解】由（1）知，即，所以，所以，解得，故实数a取值范围为.【小问3详解】因与在上是“密切”的，所以在上恒成立，所以，即，因为，，所以，且单调递增，只需即可，又因为对勾函数在上为增函数，所以当时，取最大值，所以，即，所以，解得，即，所以，故.