青海师范大学附属实验中学2022-2023学年高二数学上学期12月月考试卷（Word版含答案）

青海师范大学附属实验中学2022-2023学年度第一学期教学质量检测高二数学一、单选题：本题12小题，共60分。1．函数在区间上的平均变化率是（    ）A．B．C．D．2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度是关于时间的函数，则函数的图象可能是（    ）A．B．C．D．3．已知函数，且，则实数的值为（    ）A．B．C．2D．4．下列函数求导运算正确的个数为（       ）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．45．已知函数，则A．B．C．D． 6．已知，则（    ）A．B．C．D．7．曲线在点处的切线方程为（    ）A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝08．已知函数，则是的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件9．在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为，其中，已知，为的前项和，若恒成立，则的最小值为（    ）A．16B．32C．64D．12810．已知函数，且，则（   ）A．0B．1C．2D．411．函数的定义域为（    ）A．B．C．D．12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）A．B．C．D．二、填空题：本题5小题，共20分。13．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______.14．已知函数的导函数为，且，则______．15．已知函数，则______．16．函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是__________．三、解答题：本题6小题，共70分。 17．求下列函数的导数：（1）；        （2）．18．设函数，已知，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）判断函数在区间上的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.19．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)判断函数的极值点个数，并说明理由．20．已知函数在和时都取得极值.（1）求、的值；（2）若函数在区间上不是单调函数，其中，求的取值范围.21．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图象是的图象的切线，求的最大值.22．已知曲线．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程． 参考答案1．A根据平均变化率的定义计算．由题意平均变化率为．故选：A．2．B根据几何体的形状，判断水面高度随时间升高的快慢，判断可得出合适的选项.几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢，即图象越来越平缓，故选：B.3．C根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果.由，即因为，所以则，所以故选：C本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题.4．A根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.5．B，故选.6．B根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可. .故选：B.7．C根据导数的几何意义，先求出函数在的导数值f′（0）＝1，即是该点处切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程.∵f（x）＝x2+x+1，∴f′（x）＝2x+1，∴根据导数的几何意义可得曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线的斜率为f′（0）＝1∴曲线f（x）＝x2+x+1在（0，1）处的切线方程为y﹣1＝f′（0）（x﹣0）即x﹣y+1＝0.故选：C.本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程，属于基础题.8．C对函数进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必要条件的定义判断可得选项.由题意可得：恒成立，所以函数在上递增，又，所以函数是奇函数，当时，即，所以，即；当时，即，所以，即，所以“”是“”的充要条件.故选：C.9．D根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到与的关系，从而判断出是以为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式求出，得到的范围,即可求出.因为，，，所以切线：令，，∴，，则，有． ∴是以为公比的等比数列,，而，．∴恒成立,即的最小值为128.故选：D．10．C对函数求导，然后代入，即可解出参数.因为，所以，所以，又，所以，故选：C.11．A根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零列出关于的不等式组，解出即可得出函数的定义域.由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.故选A.本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉一些求函数定义域的基本原则，考查运算求解能力，属于基础题.12．C依题意得在定义域内单调递增，得；在定义域内单调递增，利用导数求得，又因为，即可求得结果．由题意可知函数在定义域内单调递增， ∴，得；函数在定义域内单调递增，则在上恒成立，∴当时，恒成立，而当时，，∴，即．又因为，解得．综上，实数的取值范围是．故选：C关键点点睛：本题的解题关键是两段函数在相应的自变量的范围内均为增函数，同时要满足．13．利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点，即可计算作答.依题意，，则曲线在点处切线斜率，因此曲线在点处的切线方程为，切线交轴于点，交轴于点，所以所求三角形面积为.故答案为：14．1根据在某点处的导数的定义，可求得答案.由题意可得,故答案为：115．先求导，再代入计算即可．解：函数，则，则，故答案为： 本题考查了基本导数公式和导数值，属于基础题．16．,则曲线在原点处的切线方程是.故答案为：17．（1）；（2）.根据初等函数求导公式和导数的四则运算即可得到答案.（1）．（2）．18．（1）函数在区间上单调递增；（2）或.（1）计算出函数的导数，求出函数在处的斜率，再利用，从而求出的值，再利用导数研究的单调性，从而得出在给定区间的单调性；（2）分别求出函数在上的最小值与最大值，从而得出，再利用恒成立思想可得出m的取值范围.（1）因为，所以，所以，又因为在点处的切线与直线垂直，所以，又，即，所以，解得； 所以，则（），因为在单调递增，当时，，所以在上单调递增.即函数在区间上单调递增；（2）由（1）知，，，因为在单调递增，且，，所以存在使得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，由可得，所以，因为，且在上单调递减，所以，又因为当时，，所以，所以，所以，因为当时，，所以，解得或.所以m的取值范围或.本题主要考查函数综合、导数的计算和导数在研究函数中的应用，关键在于得出导函数取得正负的区间，得出函数的单调性，属于难题.19．(1)；(2)当时，无极值点；当且时，有2个极值点.（1）代入，求出，再求导得，由点斜式写出切线方程即可；（2）直接求导分解因式，分、和讨论函数单调性，即可求得极值点情况.（1） 当时，，，，，则曲线在点处的切线方程为，即；（2）易得函数定义域为R，，当时，令，解得或，显然，则当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点；当时，令，解得或，显然，则当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点.20．（1），；（2）.（1）由题意可知，和是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值；（2）由题意可知函数在区间上存在极值点，由此可得出关于实数的不等式组，进而可解得正实数的取值范围.（1），，由题意可知和是方程的两根，由韦达定理得，解得， 此时.当或时，；当时，.所以，函数在和时都取得极值.因此，，；（2）由（1）知，函数的两个极值点分别为和，由于函数在区间上不是单调函数，则函数在区间上存在极值点，可得或，解得.因此，实数的取值范围是.本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.21．（1）函数在上单调递增，在上单调递减（2）0（1）先求出，再解，即可得解；（2）先设切点坐标，再由切线方程得出关于的函数关系，再构造函数求最值即可得解.解：（1）因为，，由，，所以，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）设切点为，，所以，依题意可得，所以， ，则，令，，∴当时，；当时，，即函数在为增函数，在为减函数，∴当时，有最大值，故的最大值为0.本题考查了导数的综合应用，重点考查了运算能力，属基础题.22．（1）；（2）或．（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；（2）当为切点时，由（1）可得切线方程；当不是切点时，设切点为，利用导数求得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得，进而得到切线的方程；（1），曲线在处的斜率，时，，曲线在处的切线方程为，即．（2）当为切点时，由（1）知：切线方程为；当不是切点时，设过点的切线与曲线相切于点，则切线的斜率为，，解得：（舍）或，切线方程为；综上所述：所求的切线为或．