西南大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期12月月考试卷（Word版含解析）

秘密★启用前西南大学附中2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则A．1B．2017C．-1D．-20172．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形截某圆锥得到椭圆，且与矩形的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的方程为，下列选项中满足题意的方程为（    ）A．B．C．D．3．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为A．B．C．D．4．已知是等差数列，若，，成等比数列，且公比为，则＝（    ）A．B．C．D．5．在等比数列中，为方程的两根，则的值为（    ）A．B．C．D．6．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁， 九个儿子共207岁，问老大是多少岁?（    ）A．38B．35C．32D．297．已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A．B．C．D．8．数列满足，对任意的都有，则（    ）A．B．C．D．二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．记为等差数列的前项和，为数列的前项和，且若，则（    ）A．B．C．D．的最大值为10．关于函数，下列说法正确的是（    ）A．对，恒成立B．对，恒成立C．若，D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为11．设数列是公差为等差数列，为其前n项和，，且，则（　　）A．B．C．D．，为的最小值12．已知双曲线，下列结论正确的是（    ）A．双曲线C的渐近线方程为B．双曲线C的焦点到其渐近线的距离为 C．若直线l与C相交于A、B两点且AB的中点为，则l的斜率为D．若直线与C没有交点，则的取值范围是三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．顶点在原点，经过圆的圆心且准线与轴垂直的抛物线方程为________．14．数列满足，，且（），则__.15．在中，分别为角的对边，已知，且的面积为，则的值为__________．16．已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比数列，设bn＝(－1)n＋1an，数列{bn}的前n项的和为Sn，则S2021＝________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列满足，，其中．记，．（1）求证：数列是等比数列；（2）记，试比较与的大小，并说明理由．18．已知数列的前项和为，，且.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.19．对于数列A：a1，a2，a3，…，定义A的“差数列”  A：，…（I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式，写出A的前3项；（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得A是等差数列；（III）若数列A：a1，a2，a3，…的差数列的差数列  （A）的所有项都等于1，且==0，求的值. 20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，直线过其短轴的一个端点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆在第一象限相切于点，求直线的方程和点的坐标.21．设是等差数列的前n项和，已知，（）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若数列，求数列的前n项和．22．已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，且椭圆上存在点与点关于直线对称．（1）求椭圆的标准方程．（2）若直线与椭圆只有一个公共点，点，是轴上关于原点对称的两点，且点，在直线上的射影分别为，，判断是否存在点，，使得为定值，若存在，求出，的坐标及该定值；若不存在，请说明理由． 参考答案1．C根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当为偶数时，；当为奇数时，，所求式子最末项，从而可得结果.由题意得：，，，…当为偶数时，；当为奇数时，本题正确选项：2．A由题意椭圆方程是，排除BD，矩形的四边与椭圆相切，则矩形的面积为，．在椭圆中，，，满足题意，在椭圆中，,不满足题意．故选：A．3．B双曲线的右焦点为故抛物线中故其准线方程为4．C解：设是公差为的等差数列，若，，成等比数列，可得，即，化为，解得，则，则公比为，故选：C．5．C 解：在等比数列中，因为为方程的两根，所以，所以，所以.故选：C.6．B由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄为首项，公差为的等差数列，所以，解得，故选：B.7．B由直线与渐近线的距离得到圆心到直线的距离为，再根据圆与双曲线C的右支没有公共点，由求解.双曲线的一条渐近线方程为，因为点是直线上任意一点，又直线与直线的距离为：，即圆心到直线的距离为：,因为圆与双曲线C的右支没有公共点，所以，即，又,所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B8．D利用累加法可得，再裂项相消求和即可 由题意得，对，故，，，…，，累加可得，满足，所以，则，故选：D．9．ABD解：因为数列为等差数列，，，所以，解得，所以，，故选项A、B正确；又因为，所以，因为时，，所以选项C错误；因为，时，，时，，时，因为随着的增大而增大，且大于0，所以，综上，的最大值为，故选项D正确；故选：ABD.10．ABD选项A：构造函数，根据导数判断函数的单调性并求最大值，从而判断选项正确；选项B：构造函数，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；选项C：构造函数，根据导数判断函数在内单调递减，从而判断选 项错误；选项D：把不等式变形为，所以只需研究函数的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.选项A：令，则，因为，所以由得；由得，所以在内单调递增，在内单调递减，所以的最大值为，所以对，恒成立，即对，恒成立，故选项A正确；选项B：令，则，由得；由得，所以在内单调递增，在内单调递减，所以的最小值为，所以对，恒成立，即对，恒成立，故选项B正确；选项C：令，则，所以由得；由得，所以在内单调递增，在内单调递减，所以当时，，即，所以，成立，故选项C错误；选项D：因为不等式对恒成立，即不等式对恒成立，又因为，所以不等式对恒成立；令，则，当时，恒成立，所以在单调递增，所以由不等式对恒成立，得对恒成立， 即对恒成立，由选项C知，在内单调递增，在内单调递减，所以的最大值为，所以只需，即正实数的最小值为.故选：ABD.11．ABD根据可知，，由等差中项可得，，即，故B正确；，，故，故A正确；，可知，等差数列单调递增，但，说明都是负数，故最小，又，于是，它们均是最小值，故D正确；据刚才分析，，而，故C错误.故选：ABD12．AB依题意，双曲线，，双曲线的渐近线方程为，A选项正确.焦点到渐近线的距离为，B选项正确.设，则，两式相减并化简得，若的中点为，则，即的斜率为，C选项错误.双曲线的渐近线与双曲线没有交点，，所以D选项错误.故选：AB13．由题意圆的圆心，因此抛物线的方程的焦点在轴正半轴，设方程，把点 代入得，解得，因此抛物线方程．14．2020当n为偶数时，可得出，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解.当n为偶数时，，即，故数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，所以.故答案为：2020.15．根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角A的值，再利用正弦定理和比例性质求得，结合△ABC的面积求出a的值．△ABC中，由cos2A﹣cos2B+sin2C＝sinBsinC，得1-sin2A-（1-sin2B）+sin2C＝sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，∴b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA，又A∈（0，π），∴A；由正弦定理，∴，即，化简得a2＝3bc；又△ABC的面积为S△ABCbcsinA， ∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2．故答案为2.16．3032根据已知条件求得，进而求得，利用分组求和法求得.设等差数列的公差为，由于a1，a3，a11成等比数列，∴，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d).∴14d2＝3a5d.又d≠0，a5＝14，知d＝3，因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1).∴S2021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2021＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2020＋b2021).故答案为：17．（1）根据题意求及，即可得到数列是等比数列；（2）根据（1）得到数列的通项公式及前项和，然后根据题意将和数列的前项和联系起来，得到，进而得，最后利用作差法比较与的大小即可．（1）由题意得，且，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，， 所以．因为，，所以，……，，所以．而，，.所以，故，而，，，故．18．（1）；（2）.（1）由题意结合数列与的关系可得，进而可得是公比的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意，再由裂项相消法即可得解.（1）由可得当时，， ∴，即，又，∴是公比的等比数列，∴；（2）由（1）知，，∴，∴.19．（I）1，2，4；（II）数列A：2，2，2，2，…；（III）819（I）先计算数列A的前4项，然后利用差数列的定义写出A的前3项；（II）由差数列定义知常数列即满足题意；（III）根据差数列的定义利用累加法可求得数列的通项公式，然后利用数列的第19项和第92项即可求得首项的值.（I）数列A：2，3，5，9，数列A：1，2，4  （II）数列A：2，2，2，2，…  （III）数列（A）：1，1，1，1，…，设数列A：k，k+1，k+2，k+3，…则数列A：a2－a1=ka3－a2=k+1…以上叠加得，即则，则. 20．（1）；（2）直线方程为，或，．（1）由离心率得，由直线过短轴端点得，从而可求出，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用可求解．（1）直线与轴交点为，它是椭圆短轴端点，则，又，所以，解得．∴椭圆方程为；（2）过斜率不存在的直线为，是椭圆的切线，此时切点为．过斜率存在的切线方程设为，由得，∴，，此时，，即．直线方程为，即．切线方程为，或，．21．（Ⅰ）18；（Ⅱ）.（1）根据等差数列满足，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，根据等差数列的求和公式可得递的值；（2）由（1）知，从而可得，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I）设数列的公差为，则即  ，  解得，                       所以.                   （也可利用等差数列的性质解答） (II)由（I）知，         ，                         22．（1）；（2），存在点，或，，使得为定值，该定值为2．解：（1）因为点在椭圆上，所以．由题意知，因为点与点关于直线对称，所以点N的坐标为，代入椭圆的方程，得，即，所以，与联立并求解，得，，所以椭圆的标准方程为．（2）存在点，，使得为定值．当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入，得，则，得．设，则，点到直线的距离，点到直线的距离，所以，当，即时，，为定值，所以存在点，或，，使得．当直线的斜率不存在时，直线的方程为， ，或，均满足．综上，存在点，或，，使得为定值，该定值为2．