人教九下数学第二十六章反比例函数小结与复习课件

小结与复习第二十六章反比例函数 1.反比例函数的概念定义：形如________(k为常数，且k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．三种解析式形式：或xy＝k或y＝kx－1(k≠0)．【注意】(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0. 2.反比例函数的图象和性质(1)反比例函数的图象：反比例函数(k≠0)的图象是，它既是轴对称图形又是中心对称图形.反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线和；对称中心是.双曲线原点y=xy=－x (2)反比例函数的增减性图象所在象限性质(k≠0)k＞0第________象限(x，y同号)在每个象限内，y随x的增大而_____k＜0第________象限(x，y异号)在每个象限内，y随x的增大而_____xyoxyo一、三二、四减小增大 (3)反比例函数中比例系数k的几何意义反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积为常数(xy＝k)这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为.推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的三角形的面积为．|k| 3.反比例函数的应用◑利用待定系数法确定反比例函数的解析式：①根据两变量之间的反比例关系，设；②代入x、y的一组对应值，或者该函数图象上一个点的坐标，求出k的值；③写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点：求直线y＝k1x＋b(k1≠0)和双曲线(k2≠0)的交点坐标，就是求这两个解析式联立所得方程组的解.◑利用反比例函数相关知识解决实际问题：过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 考点一反比例函数的概念例1下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?①y=3x－1②y=2x2⑤y=3x③④⑥⑦⑧ 1.已知点P(1，－3)在反比例函数的图象上，则k的值是()A.3　　　B.－3　　　C.D.B针对训练2.若是反比例函数，则a的值为()A.1B.－1C.±1D.任意实数A系数不为0，x的次数为-1 例2已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y3＜y1＜y2B.y1＜y2＜y3C.y2＜y1＜y3D.y3＜y2＜y1解析：可分别把各点代入函数解析式求出y1，y2，y3的值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较．考点二反比例函数的图象和性质D 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的增减性比较；在不同象限内，不能按增减性比较，可以根据正负性比较．针对训练已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜0＜x2)都在反比例函数(k<0)的图象上，则y1与y2的大小关系(从大到小)为.y1＞0＞y2 例3如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为.1考点三反比例函数中k的几何意义的相关问题S△POB=S△POA-S△BOA 【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数(x＞0)和(x＞0)的图象交于P，Q两点，若S△POQ=14，则k的值为.-20410 考点四反比例函数的应用例4如图，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y=kx+b与反比例函数(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?OBAxyCD解：当－4＜x＜－1时符合题意. (2)求一次函数解析式及m的值；解：把A(－4，)，B(－1，2)代入y=kx+b中，得－4k+b=，－k+b=2，解得k=，b=，所以一次函数的解析式为y=x+.把B(－1，2)代入中，得m=－1×2=－2. (3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标.OBAxyCDP∵△PCA和△PDB面积相等，∴AC·[t－(－4)]=BD·[2－(t+)]，解得t=.∴点P(，)．解：设点P的坐标为(t，t+)，则点P到直线AC和BD的距离分别为t－(－4)，2－(t+)． 方法总结：此类一次函数、反比例函数、二元一次方程组、三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路.在平面直角坐标系中求三角形或四边形面积时，需要选取合适的底边和高，将坐标转化为边长，从而算出图形的面积. 针对训练如图，设反比例函数的解析式为(k＞0)．(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点P的纵坐标为2，求k的值；Oyx解：由题意知点P在函数y=2x的图象上，令y=2，得x=1，即点P(1，2).把P(1，2)代入中，解得P2 (2)若该反比例函数与过点M(－2，0)的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△AOB的面积为时，求直线l的解析式；解：把M(－2，0)代入y=kx+b，得b=2k，∴y=kx+2k.OAyBxMlN解得x1=1，x2=－3.y=kx+2k，∴∴A(1，3k)，B(－3，－k). ∵△AOB的面积为∴×2×3k+×2k=解得∴直线l的解析式为y=x+．OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k) (3)在第(2)题的条件下，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？解：当x＜－3或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值.OyxMlNA(1，3k)B(－3，－k) 例5病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克.已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y(单位：毫克)与时间x(单位：小时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图).根据以上信息解答下列问题：(1)求当0≤x≤2时，y与x的函数解析式；解：当0≤x≤2时，y与x成正比例．设y＝kx，由于点(2，4)在线段上，所以4＝2k，k＝2，即y＝2x.Oy/毫克x/小时24 (2)求当x>2时，y与x的函数解析式；解：当x>2时，y与x成反比例函数关系，设由于点(2，4)在反比例函数的图象上，所以即解得k=8.Oy/毫克x/小时24 (3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？解：当0≤x≤2时，含药量不低于2毫克，即2x≥2，解得x≥1，∴1≤x≤2；当x＞2时，含药量不低于2毫克，即≥2，解得x≤4.∴2＜x≤4.所以服药一次，治疗疾病的有效时间是1＋2＝3(小时)．Oy/毫克x/小时24 如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．针对训练Oy(℃)x(min)1241428 (1)写出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（要求写出相应的x的取值范围）；解：y=4x+4(0≤x≤6)，(x＞6).Oy(℃)x(min)1241428 (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?解：当y=12时，12=4x+4，解得x=2．由，解得x=14.所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2=12(分钟)．Oy(℃)x(min)1241428 反比例函数定义图象和性质x，y的取值范围增减性对称性k的几何意义应用在实际生活中的应用在物理学科中的应用 见课本章末练习