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人教版七年级下册数学培优专题04 初识非负数(含答案解析)
人教版七年级下册数学培优专题04 初识非负数(含答案解析)
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专题4初识非负数阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面:1.去绝对值符号法则2.绝对值的几何意义从数轴上看,即表示数的点到原点的距离,即代表的是一个长度,故表示一个非负数,表示数轴上数、数的两点间的距离.3.绝对值常用的性质①②③④⑤⑥例题与求解【例1】已知,且,那么.(祖冲之杯邀请赛试题)解题思路:由已知求出、的值,但要注意条件的制约,这是解本题的关键.【例2】已知、、均为整数,且满足,则()A.1B.2C.3D.4(全国初中数学联赛试题)解题思路:≥0,≥0,又根据题中条件可推出,中一个为0,一个为1.【例3】已知+++…++=0,求代数式…-的值.解题思路:运用绝对值、非负数的概念与性质,先求出…,的值,注意的化简规律.【例4】设、、是非零有理数,求的值.解题思路:根据、、的符号的所有可能情况讨论,化去绝对值符号,这是解本例的关键.(希望杯邀请赛试题)【例5】设是六个不同的正整数,取值于1,2,3,4,5,6.记,求S的最小值.(四川省竞赛试题)解题思路:利用绝对值的几何意义建立数轴模型.【例6】已知,且,求的值.(北京市迎春杯竞赛试题)解题思路:由知,即,代入原式中,得,再对的取值,分情况进行讨论.A级1.若为有理数,那么,下列判断中:(1)若,则一定有;(2)若,则一定有;(3)若,则一定有;(4)若,则一定有;正确的是.(填序号)2.若有理数满足,则.3.若有理数在数轴上的对应的位置如下图所示,则化简后的结果是.4.已知正整数满足,,且,则的值是.(四川省竞赛试题)5.已知且,那么.6.如图,有理数在数轴上的位置如图所示:则在中,负数共有()A.3个B.1个C.4个D.2个(湖北省荆州市竞赛试题)7.若,且,那么的值是()A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-138.若是有理数,则一定是()A.零B.非负数C.正数D.负数9.如果,那么的取值范围是()A.B.C.D.10.是有理数,如果,那么对于结论(1)一定不是负数;(2)可能是负数,其中()A.只有(1)正确B.只有(2)正确C.(1)(2)都正确D.(1)(2)都不正确(江苏省竞赛试题)11.已知是非零有理数,且,求的值.12.已知是有理数,,且,求的值.(希望杯邀请赛试题)B级1.若,则代数式的值为.2.已知,那么的值为.3.数在数轴上的位置如图所示,且,则.(重庆市竞赛试题)4.若,则的值等于(五城市联赛试题)5.已知,则.(希望杯邀请赛试题)6.如果,那么代数式在≤≤15的最小值()A.30B.0C.15D.一个与有关的代数式7.设k是自然数,且,则等于()A.3B.2C.D.(创新杯邀请赛试题)8.已知,那么的最大值等于()A.1B.5C.8D.9(希望杯邀请赛试题)9.已知都不等于零,且,根据的不同取值,有()A.唯一确定的值B.3种不同的值C.4种不同的值D.8种不同的值10.满足成立的条件是()A.B.C.D.(湖北省黄冈市竞赛试题)11.有理数均不为0,且,设,试求代数式的值.(希望杯邀请赛训练题)专题04 初识非负数例1 -2或-8例2 B 提示:|a-b|,|a-c|中必有一个为0,一个为1,不妨设|a-b|=0,|a-c|=1,则a=b,|b-c|=1,原式=0+1+1=2.例3 6 提示:由题意得x1=1,x2=1,…,x2003=2003,原式=2-22-23-…-22002-22003=22003-22002-…-23-22+2=22002(2-1)-22001-…-22+2=22002-22001-…-22+2=…=24-23-22+2=23(2-1)-22+2=23-22+2=6.例4 -1或7 提示:分下列四种情形讨论:(1)若a,b,c均为正数,则ab>0,ac>0,bc>0,原式==7;(2)若a,b,c中恰有两个正数,不失一般性,可设a>0,b>0,c<0,则ab>0,ac<0,bc<0,abc<0,则原式=-1;(3)若a,b,c中只有一个正数,不失一般性,可设a>0,b<0,c<0,则ab<0,ac<0,bc>0,abc>0,则原式=-1;(4)若a,b,c均为负数,则ab>0,bc>0,ac>0,abc<0,原式=-1.例5 根据绝对值的几何意义,题意可理解为“从数轴上点1出发,每次走一个整点,分别到达点2,点3,点4,点5,点6,最后回到点1,最少路程为多少?”为避免重复,从左到右走到6,再从右到左走到1为最短路线,取x1=1,x2=2,x3=3,x4=4,x5=5,x6=6,则S=1+1+1+1+1+5=10,(也可以取x1=1,x2=4,x3=6,x4=5,x5=3,x3=2). 例6 根据|2a-b-1|=0知2a-b-1=0,即b=2a-1.代人原式中,得(3a-1)2+|2a+4|=2a+4.对3a-1的取值分情况讨论为:(1)当3a-1>0,即a>时,∵(3a-1)2>0,|2a+4|>0,2a+4>0.∴(3a-1)2+|2a+4|>2a+4,矛盾.(2)当3a-1<0,即a<时,①若2a+4≤0,而(3a-1)2+|2a+4|>0,矛盾.②若2a+4>0,则(3a-1)2+|2a+4|>2a+4,矛盾.(3)当3a-1=0,即时,(3a-1)2+|2a+4|=2a+4成立,得b=-.综上可知a=,b=-,ab=-.A级1.(4) 2.-3.1-2c+b 提示:-1<c<0<a<b>0,a-b<0.∴原式=1-c+a-c+b-a=1-2c+b.4.2 提示:原式变形为|b-2|=2-b,|a-b|=b-a.∴b-2≤0,a-b≤0.又∵a≠b,∴a<b≤2.又∵a,b为正整数,故a=1,b=2.5.4 6="">0.故|b| =k|a|,代人原式中,原式=.当a>0时,原式=;当a<0时,原式=.故原式=3.8.B 提示:分0≤a≤2,2</b≤2.又∵a,b为正整数,故a=1,b=2.5.4></c<0<a<b>
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