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人教版七年级下册数学培优专题19 最值问题(含答案解析)
人教版七年级下册数学培优专题19 最值问题(含答案解析)
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专题19最值问题阅读与思考在实际生活与生产中,人们总想节省时间或费用,而取得最好的效果或最高效益,反映在数学问题上,就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值,这类问题被称之为最值问题,在现阶段,解这类问题的相关知识与基本方法有:1、通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式(组)逼近求解.4、借用几何中的不等量性质、定理等.解答这类问题应当包括两个方面,一方面要说明不可能比某个值更大(或更小),另一方面要举例说明可以达到这个值,前者需要详细说明,后者需要构造一个合适的例子.例题与求解【例1】若c为正整数,且,,,则()()()()的最小值是.(北京市竞赛试题)解题思路:条件中关于C的信息量最多,应突出C的作用,把a,b,d及待求式用c的代数式表示.【例2】已知实数a,b满足,则的最小值是()A.B.0C.1D.(全国初中数学竞赛试题)解题思路:对进行变形,利用完全平方公式的性质进行解题.【例3】如果正整数满足=,求的最大值.解题思路:不妨设,由题中条件可知=1.结合题意进行分析.【例4】已知都为非负数,满足,,记,求的最大值与最小值.(四川省竞赛试题)解题思路:解题的关键是用含一个字母的代数式表示.【例5】某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立,要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根,已知工程车每次之多只能运送电线杆4根,要求完成运送18根的任务,并返回仓库,若工程车每行驶1千米耗油m升(在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关,其他因素不计).每升汽油n元,求完成此项任务最低的耗油费用.(湖北省竞赛试题)解题思路:要使耗油费用最低,应当使运送次数尽可能少,最少需运送5次,而5次又有不同运送方法,求出每种运送方法的行驶路程,比较得出最低的耗油费用.【例6】直角三角形的两条直角边长分别为5和12,斜边长为13,P是三角形内或边界上的一点,P到三边的距离分别为,,,求++的最大值和最小值,并求当++取最大值和最小值时,P点的位置.(“创新杯”邀请赛试题)解题思路:连接P点与三角形各顶点,利用三角形的面积公式来解.能力训练A级1.社a,b,c满足,那么代数式的最大值是.(全国初中数学联赛试题)2.在满足的条件下,能达到的最大值是.(“希望杯”邀请赛试题)3.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C满足A>B>C.用表示A-B,B-C,以及90-A中的最小值,则的最大值是.(全国初中数学联赛试题)4.已知有理数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,.那么的取值范围是.(数学夏令营竞赛试题)5.在式子中,代入不同的x值,得到对应的值,在这些对应的值中,最小的值是().A.1B.2C.3D.46.若a,b,c,d是整数,b是正整数,且满足,,,那么的最大值是().A.-1B.-5C.0D.1(全国初中数学联赛试题)7.已知则代数式的最小值是().A.75B.80C.100D.105(江苏省竞赛试题)8.已知,,均为非负数,且满足=30,,又设,则M的最小值与最大值分别为().A.110,120B.120,130C.130,140D.140,1509.已知非负实数,,满足,记.求的最大值和最小值10.(“希望杯”邀请赛试题)10.某童装厂现有甲种布料38米,乙钟布料26米,现计划用这两种布料生产L,M两种型号的童装共50套,已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米,乙种布料1米,可获利45元;做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米,乙种布料0.2米,可获利30元,试问该厂生产的这批童装,当L型号的童装为多少套是,能使该厂获得利润最大?最大利润为多少?(江西省无锡市中考试题)专题19最值问题例124提示:,原式.例2B提示:.因为,所以,从而,故因此,即.例3设,则于是得到.即.若,则,与题设等式为矛盾;若,则,即,当时,容易找到满足条件的数组(1,1,1,2,5),所以的最大值是5.例4由,得,由得,则,当时,有最小值;当时,有最大值6.例5提示:显然运送次数越少,所行驶的路程越短,所需邮费越少,因此,18根电线杆运送5次行驶路程较短,这5次有两种运送方法:(1)四次个4根,一次2根;(2)三次各4根,二次各3根.(1)考虑先送2根,后送4根;先送4根,后送2根.①先送2根,再送4根,二次共走行驶:米;②先送4根,再送2根,二次共行驶:米;(2)两次各送3根时,所行路程为米.故先送2根所行驶路程最短,最短总行程为:故所用最少油费为元例6如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AB=13.点P到BC,CA,AB的距离分别为,连接PA,PB,PC,由三角形的面积公式知:.即.显然有.故.当时,有,即取最大值时,P与A重合;当时,有,即取最小值时,P与C重合.A级1.27原式=2.63.15°提示:4.提示:,∴,又把代入中,得,∴.故.5.D6.B7.A8.B9.设,则.∴均为非负实数.∴,解得:.故.∴,即,所以的最小值是19,最大值是.10.20套.1800元.提示:设生产L型号的童装套数为,则生产M型号的童装为套,所得利润.由得,.11.最小表面积的打包方式为2×3.最小表面积为17952,图略.B级1.27当时,的值最大.2.102提示:.3.1157提示:.4.B,D,E93.62百元5.13800元提示:设由甲库调运x吨粮食到B市,总运费为y元,则6.C提示:.故.7.B提示:设,则.故.8.(1)..当或时,取最大值2003001.当中恰有1001个1,1001个时,取最小值.(2)因为大于2002的最小完全平方数为,且必为偶数,所以或;即中恰有1024个1,978个或1024个,978个1时,m取得最小值.9.由条件得:,以上各式相加,得,故.由已知都是偶数,因此.另一方面,当,时,符合条件,且使上式等号成立,故所求的最小值是.10.仓库地址应选在C处,假定仓库另选一地O,设(单位:千米),又假定A厂产量为,B厂产量为,C厂产量为,(单位:吨).仓库在O处的总运费可表示为;仓库在C处的总运费可表示为2mb+3ma.由于x+z≥b,y+z≥a,因此2mx+2mz≥2mb,3my+3mz≥3ma,两式相加得2mx+3my+5mz≥2mb+3ma,当且仅当O与C重合时等号成立,所以公用仓库选在C处总运费最省.11.设巡逻车行到途中B处用了x天,从B到最远处用y天,则有2[3(x+y)+2x]=14×5,即5x+3y=35.又由题意知,x>0,y>0,且14×5-(5+2)x≤14×3,即x≥4,从而问题的本质即是在约束条件下,求y的最大值,显然y=5,这样200×(4+5)=1800千米,即为其他三辆车可行进的最远距离.
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