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人教版七年级下册数学培优专题03 从算术到代数(含答案解析)

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专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科,它们之间联系紧密,代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征,也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上,从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程,是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点:1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数,但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中,如果字母取定某值,那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比,用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式,你会发现什么规律:1×3+1=4=222×4+1=9=323×5+1=16=424×6+1=25=52…请将你找到的规律用代数式表示出来:___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路:观察给定的几个简单的、特殊的算式,寻找数字间的联系,发现一般规律,然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是()A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470(江苏省竞赛试题)解题思路:设自然数从a+1开始,这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2)+…+(a+100)=100a+5050,从揭示和的特征入手.【例3】设A=+…++,求A的整数部分.(北京市竞赛试题)解题思路:从分析A中第n项的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒,按如图①摆放时可摆成m个正方形,按如图②摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m;(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时,求a的最小值.(浙江省竞赛试题)解题思路:由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形,可设图③中有3p个正方形,无论怎样摆放,火柴棒的总数相同,可建立含m,n,p的等式.【例5】化简.(江苏省竞赛试题)解题思路:先考察n=1,2,3时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数:,,,,,,,,,,,,,,,,…,(*)(1)在(*)中,从左起第m个数记为F(m)=时,求m的值和这m个数的积.(2)在(*)中,未经约分且分母为2的数记为c,它后面的一个数记为d,是否存在这样的两个数c和d,使cd=2001000,如果存在,求出c和d;如果不存在,请说明理由.解题思路:解答此题,需先找到数列的规律,该数列可分组为(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),….能力训练A级1.已知等式:2+=22×,3+=32×,4+=42×,…,,10+=102×(a,b均为正整数),则a+b=___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案,它的每边(包括顶点)都有n(n≥2)个棋子,每个图案棋子总数为s,按此规律推断s与n之间的关系是______________.n=2n=3n=4s=4s=8s=12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对(a,b)和(c,d),当且仅当a=c且b=d时,(a,b)=(c,d).定义运算“⊗”:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则p+q=________.(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板,则第(3)个图形中有黑色瓷砖______块,第n个图形中需要黑色瓷砖______块(含n代数式表示).(广东省中考试题)-=5.如果a是一个三位数,现在把1放在它的右边得到一个四位数是()A.1000a+1B.100a+1C.10a+1D.a+1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式:a+b,a2—b3,a3+b5,a4—b7,…,其中第十个式子是()A.a10+b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a,b,c,那么x1+y1-z1,x2+y2-z2,x3+y3-z3的平均数是()A.B.C.a+b-cD.3(a+b-c)(希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S1、S2的大小关系是(  )(东方航空杯竞赛试题)A.S1>S2B.Sl<S2C.S1=S2D.无法比较9.一个圆形纸板,根据以下操作把它剪成若干个扇形面:第一次将圆纸等分为4个扇形面;第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形;以后按第二次剪裁法进行下去.(1)请通过操作,猜想将第3、第4次,…,第n次剪裁后扇形面的总个数填入下表;剪裁次数1234…n所得的总数47…(2)请你推断,能否按上述操作剪裁出33个扇形面?为什么?(山东省济南市中考试题)10.某玩具工厂有四个车间,某周是质量检查周,现每个都原a(a>0)个成品,且每个每天都生产b(b>0)个成品,质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品,然后,星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品,假定每个检验员每天检验的成品数相同.(1)这若干名检验员1天检验多少个成品(用含a、b的代数式表示);(2)试求出用b表示a的关系式;(3)若1名质检员1天能检验b个成品,则质检科至少要派出多少名检验员?(广东省广州市中考试题)B级1.你能很快算出19952吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,任意一个个位数为5的自然数可写成(10·n+5)(n为自然数),即求(10·n+5)2的值(n为自然数),分析n=1,n=2,n=3,…这些简单情况,从中探索其规律,并归纳猜想出结论(在下面的空格内填上你的探索结果).(1)通过计算,探索规律.152=225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2×(2+1)+25;352=1225可写成100×3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+25;...752=5625可写成______;852=7225可写成______;(2)从第(1)题的结果,归纳猜想得(10n+5)2=______;(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=______.(福建省三明市中考试题)2.已知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),计算:(1)112+122+…+192=_____________________;(2)22+42+…+502=__________________.3.已知n是正整数,an=1×2×3×4×…×n,则++…++=_______________.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306,那么,紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.(重庆市竞赛试题)5.A,B两地相距S千米,甲、乙的速度分别为a千米/时、b千米/时(a>b),甲、乙都从A地到B地去开会,如果甲比乙先出发1小时,那么乙比甲晚到B地的小时数是()A.B.C.D.6.某商店经销一批衬衣,进价为每件m元,零售价比高a%,后因市场的变化,该店把零售价调整原来零售价的b%出售,那么调价后的零售价是(  )A.m(1+a%)(1-b%)元B.ma%(1-b%)元C.m(1+a%)b%元D.m(1+a%b%)元(山东省竞赛试题)7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖,那么个以同样速度所需要的数是(  )A.B.C.D.(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等,各有一些同学参加课外天文小组,其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的,乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的.问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几?9.将自然数1,2,3,…,21这21个数,任意地放在一个圆周上,证明:一定有相邻的三个数,它们的和不小于33.(重庆市竞赛试题)10.有四个互不相同的正整数,从中任取两个数组成一组,并在同一组中用较大的数减去较小的数,再将各组所得的数相加,其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100,求这四个数.(天津市竞赛试题)专题03从算术到代数例1例2A例3原式==故其整数部分为2008例4设图③中含有个正方形.(1)由,得(2)由得,因均是正整数,所以当时,此时例5解法1:时,;时,,猜想:个,计算过程类似于解法2:时,时,猜想:原式验证如下:反思结论必为一个数的平方形式,不妨设,得另一种解法解法3:原式例6(1)(※)可分组为可知各组数的个数依次为.按其规律应在第组中,该组前面共有个数.故当时,.又因各组的数积为1,故这2003003个数的积为(2)依题意,为每组倒数第2个数,为每组最后一个数,设它们在第n组,别.即,得,A级1.100提示:中,根据规律可得故2.3.提示:根据题中定义的运算可列代数式,可得故4.105.C6.B7.B8.B9.(1)1013(2)不能,33不符合10.(1)或或(2)由,得(3)B级1.(1)(2)(3)2.(1)(2)提示:原式3.提示:由可得,原式4.595提示:设17个连续整数为且,它后面紧接的17个连续自然数应为,可得它们之和为5955.D6.C7.D提示:每一名同学每小时所搬砖头为块,名同学按此速度每小时所搬砖头为块.8.用a,b分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数,m,n分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数,由a+m=b+n得m-b=n-a,又a=n,b=m,故m-m=n-n,.9.证明:设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组,他们三个数的和分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7(均为自然数),且a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=①.假设a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中没一个数都小于33,则有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7<231.与①矛盾,所以a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中至少有一个不小于33,即一定有相邻的三个数,它们的和不小于33.10.设四个不同整数为a1,a2,a3,a4(a1>a2>a3>a4),则(a1-a2)+(a1-a3)+(a1-a4)+(a2-a3)+(a2-a4)+(a3-a4)=18,即3(a1-a4)+(a2-a3)=18.又因3(a1-a4),18均为3的倍数,故a2-a3也是3的倍数,a2-a3<a1-a4,则a2-a3=3,a1-a4=5,a1-a2=1,a3-a4=1,又a1a2a3a4=23100=2×2×3×5×5×7×11.从而可得a1=15,a2=14,a3=11,a4=10.

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所属: 初中 - 数学
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文章作者:180****8757

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