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人教版七年级下册数学培优专题01 质数那些事(含答案解析)

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专题01质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除,就叫作质数(也叫素数);如果能被1和本身以外的自然数整除,就叫作合数;自然数1既不是质数,也不是合数,叫作单位数.这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:关于质数、合数有下列重要性质:1.质数有无穷多个,最小的质数是2,但不存在最大的质数,最小的合数是4.2.1既不是质数,也不是合数;2是唯一的偶质数.3.若质数|,则必有|或|.4.算术基本定理:任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系):N=,其中,为质数,为非负数(=1,2,3,…,).正整数N的正约数的个数为(1+)(1+)…(1+),所有正约数的和为(1++…+)(1++…+)…(1++…+).例题与求解【例1】已知三个质数,,满足+++=99,那么的值等于_________________.(江苏省竞赛试题)解题思想:运用质数性质,结合奇偶性分析,推出,,的值.【例2】若为质数,+5仍为质数,则+7为()A.质数B.可为质数,也可为合数C.合数D.既不是质数,也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想:从简单情形入手,实验、归纳与猜想.【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数.(上海市竞赛试题)解题思想:由于质数的分布不规则,不妨从最小的质数开始进行实验,另外,需考虑这样的质数是否唯一,按剩余类加以深入讨论.【例4】⑴将1,2,…,2004这2004个数随意排成一行,得到一个数,求证:一定是合数.⑵若是大于2的正整数,求证:-1与+1中至多有一个质数.⑶求360的所有正约数的倒数和.(江苏省竞赛试题)解题思想:⑴将1到2004随意排成一行,由于中间的数很多,不可能一一排出,不妨找出无论怎样排,所得数都有非1和本身的约数;⑵只需说明-1与+1中必有一个是合数,不能同为质数即可;⑶逐个求解正约数太麻烦,考虑整体求解.【例5】设和是正整数,≠,是奇质数,并且,求+的值.解题思想:由题意变形得出整除或,不妨设.由质数的定义得到2-1=1或2-1=.由≠及2-1为质数即可得出结论.【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数,则称它是一个“绝对质数”[如2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),…都是质数].求证:绝对质数的各位数码不能同时出现数码1,3,7,9.(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想:一个绝对质数如果同时含有数字1,3,7,9,则在这个质数的十进制表示中,不可能含有数字0,2,4,5,6,8,否则,进行适当排列后,这个数能被2或5整除.能力训练A级1.若,,,为整数,=1997,则=________.2.在1,2,3,…,这个自然数中,已知共有个质数,个合数,个奇数,个偶数,则(-)+(-)=__________.3.设,为自然数,满足1176=,则的最小值为__________.(“希望杯”邀请赛试题)4.已知是质数,并且+3也是质数,则-48的值为____________.(北京市竞赛试题)5.任意调换12345各数位上数字的位置,所得的五位数中质数的个数是()A.4B.8C.12D.06.在2005,2007,2009这三个数中,质数有()A.0个B.1个C.2个D.3个(“希望杯”邀请赛试题)7.一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位中,质数有()A.1个B.3个C.5个D.6个(“希望杯”邀请赛试题)8.设,,都是质数,并且+=,<.求.9.写出十个连续的自然数,使得个个都是合数.(上海市竞赛试题)10.在黑板上写出下面的数2,3,4,…,1994,甲先擦去其中的一个数,然后乙再擦去一个数,如此轮流下去,若最后剩下的两个数互质,则甲胜;若最后剩下的两个数不互质,则乙胜,你如果想胜,应当选甲还是选乙?说明理由.(五城市联赛试题)11.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为cm规格的地砖,恰用块,若选用边长为cm规格的地砖,则要比前一种刚好多用124块,已知,,都是正整数,且(,)=1,试问这块地有多少平方米?(湖北省荆州市竞赛试题)B级1.若质数,满足5+7=129,则+的值为__________.2.已知,均为质数,并且存在两个正整数,,使得=+,=×,则的值为__________.3.自然数,,,,都大于1,其乘积=2000,则其和++++的最大值为__________,最小值为____________.(“五羊杯”竞赛试题)4.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色:凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色,不合上述要求的自然数都染成黄色,若被染成红色的数由小到大数下去,则第1992个数是_______________.(北京市“迎春杯”竞赛试题)5.若,均为质数,且满足+=2089,则49-=_________.A.0B.2007C.2008D.2010(“五羊杯”竞赛试题)6.设为质数,并且7+8和8+7也都为质数,记=77+8,=88+7,则在以下情形中,必定成立的是()A.,都是质数B.,都是合数C.,一个是质数,一个是合数D.对不同的,以上皆可能出现(江西省竞赛试题)7.设,,,是自然数,并且,求证:+++一定是合数.(北京市竞赛试题)8.请同时取六个互异的自然数,使它们同时满足:⑴6个数中任意两个都互质;⑵6个数任取2个,3个,4个,5个,6个数之和都是合数,并简述选择的数符合条件的理由.9.已知正整数,都是质数,并且7+与+11也都是质数,试求的值.(湖北省荆州市竞赛试题)10.41名运动员所穿运动衣号码是1,2,…,40,41这41个自然数,问:(l)能否使这41名运动员站成一排,使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?(2)能否让这41名运动员站成一圈,使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?若能办到,请举出一例;若不能办到,请说明理由.专题01质数那些事例134例2C例33符合要求提示:当p=3k+1时,p+10=3k+11,p+14=3(k+5),显然p+14是合数,当p=3k+2时,p+10=3(k+4)是合数,当p=3k时,只有k=1才符合题意.例4(1)因1+2+…+2004=×2004×(1+2004)=1002×2005为3的倍数,故无论怎样交换这2004个数的顺序,所得数都有3这个约数.(2)因n是大于2的正整数,则-1≥7,-1、、+1是不小于7的三个连续的正整数,其中必有一个被3整除,但3不整除,故-1与+1中至多有一个数是质数.(3)设正整数a的所有正约数之和为b,,,,…,为a的正约数从小到大的排列,于是=1,=a.由于中各分数分母的最小公倍数=a,故S===,而a=360=,故b=(1+2++)×(1+3+)×(1+5)=1170.==.例5由=,得x+y==k.(k为正整数),可得2xy=kp,所以p整除2xy且p为奇质数,故p整除x或y,不放设x=tp,则tp+y=2ty,得y=为整数.又t与2t-1互质,故2t-1整除p,p为质数,所以2t-1=1或2t-1=p.若2t-1=,得t=1,x=y=p,与x≠y矛盾;若2t-1=p,则=,2xy=p(x+y).∵p是奇质数,则x+y为偶数,x、y同奇偶性,只能同为xy=必有某数含因数p.令x=ap,ay=,2ay=ap+y.∴y=,故a,2a-1互质,2a-1整除p,又p是质数,则2a-1=p,a=,故x==,∴x+y=+=。例6设N是一个同时含有数字1,3,7,9的绝对质数.因为=7931,=1793,=9137,=7913,=7193,=1937,=7139除以7所得余数分别为0,1,2,3,4,5,6.故如下7个正整数:=L,=L,…=L,其中,一定有一个能被7整除,则这个数就不是质数,故矛盾.A级1.19982.-13.634.20005.D6.A7.B8.由r=p+q可知r不是最小的质数,则为奇数,故p,q为一奇一偶,又因为p<q.故p既是质数又是偶数,则p=2.9.设十个连续合数为k+2,k+3,k+4,…,k+10,k+11,这里k为自然数,则只要取k是2,3,4,…,11的倍数即可.10.选甲.提示:相邻的两个自然数总是互质数,把相邻自然数两两分为一组,这两数总是互质的,(2,3),(4,5),(6,7),…,(1992,1993),1994,甲擦掉1994,无论乙擦哪一个数,甲就擦那一组的另一数,以此类推,最后还剩一对互质数.11.设这块地面积为S,则S==(n+124).∴=124∵x>y(x,y)=1∴(,)=1(,)=1得|124∵124=×31,=(x+y)(x-y)∴,或∴,或(舍)此时n==900.∴S==900×=230400cm=23.04m。B级1.19或252.提示:q=mn,则m、n只能一个为1,另一个为q.3.133234.20015.B提示:唯有a=2,b=2089-=2089-2048=41是质数,符合题意.6.A提示:当a=3时,符合题意;当a≠3时,被3处余1,设=3n+1,则7+8=21n+15,8+7=24n+15,它们都不是质数,与条件矛盾.故a=3.7.-a,-b,-c,-d都是偶数,即M=-(a+b+c+d)是偶数.因为=,所以=2()是偶数,从而有a+b+c+d=-M=2()-M,它一定是偶数,但a+b+c+d>2,于是a+b+c+d是个合数.8.取六个数ai=i×(1×2×3×4×5×6)+1(i=1,2,…,6),则其中任意两个数都是互质的,事实上,假设a2与a5不互质,设d是a2与a5的最大公约数,则d必是(5-2)×1×2×3×4×5×6,即3×1×2×3×4×5×6的一个因子,但从a2=2×1×2×3×4×5×6+1知,d不整除a2,这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾,故a2与a5互质.9.由pq+11>11且pq+11是质数知,pq+11必为正奇数,从而p=2或q=2.(1)若p=2,此时7p+q及2q+11均为质数.设q=3k+1,则q+14=3(k+5)不是质数;设q=3k+2,则2q+11=3(2k+5)不是质数,因此q应为3k型的质数,当然只能是q=3.(2)若q=2,此时7p+q与2p+11均为质数,设p=3k+1,则7p+2=3(7k+3)不是质数;设p=3k+2,则2p+11=3(2k+5)不是质数,因此,p应为3k型的质数,p=3.综合(1),(2)知p=3,q=2或p=2,q=3,所以pq十qp=17.10.(1)能办到提示:注意到41与43都是质数,据题意,要使相邻两数的和都是质数,显然它们只能都是奇数,因此,在这排数中只能一奇一偶相间排列:不妨先将奇数排成一排:1,3,5,7,…,41,在每两数之间留空,然后将所有的偶数依次反序插在各空白中,得1,40,3,38,5,36,7,34,…,8,35,6,37,4,39,2,41.这样任何相邻两数之和都是41或43.满足题目要求.(2)不能办到提示:若把1,2,3,…,40,41排成一圈,要使相邻两数的和为质数,这些质数都是奇数,故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶.但现有20个偶数,21个奇数,总共是41个号码,由此引出矛盾,故不能办到,

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2022-06-17 14:16:10 页数:9
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文章作者:180****8757

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