数学（心得）之纵向数学化：数学学习的必由之路

数学论文之纵向数学化：数学学习的必由之路 <br />　　刘志强摘  要：弗赖登塔尔认为&ldquo;数学化&rdquo;分横向数学化和纵向数学化两种。横向数学化是&ldquo;把生活世界引向符号世界&rdquo;，纵向数学化是&ldquo;在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用&rdquo;。二者皆为数学学习的重要方式。在小学数学教学中，尤其是概念教学中，往往重视前者而忽视了后者。因此需要反思小学生是否需要纵向数学化，如何认识抽象在数学学习中的地位，小学生需要怎样的数学学习过程。 <br />　　关键词：数学化  纵向数学化  抽象  学习过程一般认为，数学是一门比较成熟的学科，以至于人们往往以&ldquo;数学化&rdquo;的程度来评判其他学科的成熟程度。&ldquo;数学化&rdquo;既是数学教学活动的目的，也是实现教学目的之手段。弗赖登塔尔认为数学化分横向数学化和纵向数学化两种。横向数学化是&ldquo;把生活世界引向符号世界&rdquo;，纵向数学化是&ldquo;在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用&rdquo;。一般人们将横向数学化理解为将现实与数学建立联系；纵向数学化则常理解为是建立抽象的数学知识之间的联系，常常包含着抽象和形式化。 <br />　　小学数学学习中有很多数学概念。作为用数学语言和符号揭示事物本质属性的思维形式，概念学习相对比较抽象，纵向数学化是不可避免的。但实际教学中往往过多依赖于具体的直观，纵向数学化受重视的程度还不够。甚至我们已经过多地注重了横向数学化，而导致了学习过程中对纵向数学化的下意识回避，其直接后果就是学生对于所学的内容缺乏深刻的理解，无法建构起整体的联系。 <br />　　事实上，课程改革重视横向数学化，并不代表可以忽略纵向数学化，从发展思维的角度看，纵向数学化有更重要的价值。 <br />　　一、小学生需要纵向数学化吗小学生的思维特点是以形象思维为主。学生在理解抽象的知识时，由于受心理因素的影响容易遇到一些学习障碍，比如辨认困难，缺乏空间想象力等。此时，设计合理的生活情境，给学生提供具体的材料，具有将儿童思维从生活引入学科的作用。 <br />　　那么小学生的数学学习中有没有纵向数学化呢？以加法为例，两只小猴分别摘了8个桃和5个桃，一共摘了多少个桃？类似的问题可以被抽象为：8和5合起来是几？这属于横向数学化。接着列出算式8＋5，考虑加法怎么算就是纵向数学化中算法的问题。随着学生的学力增长，数学化是可以从横向进一步往纵向深入的。 <br />　　从下面的案例中我们可以看到，纵向数学化有时候更能发展学生的数学思维。教学《圆的认识》，教师出示信封中的一个圆和一些直边的图形，询问学生能否从这一堆平面图形中把圆&ldquo;摸&rdquo;出来。学生当然说&ldquo;能&rdquo;，教师便引导学生思考&ldquo;为什么&rdquo;，让学生比较圆和直线图形的边的特征，建立圆是曲线图形的概念。接着，教师又从信封中取出不规则的曲线图形和椭圆，让学生继续&ldquo;摸&rdquo;。学生判断能摸出并准确地说出依据，体会这些图形&ldquo;凹凸不平&rdquo;&ldquo;不均匀&rdquo;等不同于圆的特质，突显了圆&ldquo;饱满&rdquo;&ldquo;均匀&rdquo;的特点。 <br />　　学生在这个过程中根本没有实际动手去摸，但是很明显地，他们的感受是深刻的，思维是理性的。可见，现实背景和实践操作能为学生理解概念提供有效的感知基础，但不是唯一的途径。分析、抽象对于小学生来说存在一定的难度，但某种程度上，也正是这种难度让学生的学习变得有意义了。 <br />　　更进一步说，在几何学中的知觉表象空间并不等于几何空间。奥地利数学家和心理学家恩斯特&middot;马赫指出：人们的空间感觉的系统与欧氏空间是不同的。几何空间在一切地方和在一切方向都是同一性质的，是无边界的和无限的。视觉空间是有边界的和有限的，而且它的广延在不同方向是不同的， &ldquo;天穹顶&rdquo;就是一个极好的例子。法国著名数学家昂利&middot;彭加勒也认为，通过感觉和表象掌握的空间是与几何学家所掌握的空间完全不相同的。 <br />　　这些精通感官或生理心理学的数学家都否认了知觉表象空间与几何空间的一致性。因为&ldquo;几何学原理并不是经验的事实。&rdquo;同时，实验心理学在这方面为上述观点也提供了可信的证据。因此，纵向数学化即使在小学阶段也是有价值的。 <br />　　二、合理认识抽象的地位静态地看，概念是知识的基本单位；动态地看，概念是思维的基本单位。对于数学学习而言，概念的形成、理解与掌...