数学（心得）之变换背景出新题——关于高考数学新题型特征的探索

数学论文之变换背景出新题&mdash;&mdash;关于高考数学新题型特征的探索 <br />近几年高考数学新题型中，有一类试题是通过变换问题的背景而得到的，背景的变换有三种形式：一是在传统的问题中，创设新背景；二是在传统的背景下，提出新问题；三是在新的背景中，提出新问题。变换背景而得到的试题新颖、别致，突出考察了学生的综合素质和创新能力，是高考命题由&ldquo;知识立意&rdquo;向&ldquo;能力立意&rdquo;转化的产物。为了使考生适应这种新题型，本文将分类进行解析，以供大家在复习备考中参考. <br />一、在传统的问题中，创设新背景 <br />§1.1静态问题，创设动态背景 <br />【例1】（′04&middot;浙江）点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q的坐标为（） <br />A．（－12，32）B．（－32，12） <br />C．（－12，－32）D．（－32，-12） <br />解析：本题创设了&ldquo;点沿单位圆运动&rdquo;这一动态背景，去求圆上点的坐标。由Q点落在θ=23π的角终边上，得Q（cos23π，sin23π），即为Q（－12，32），故选A． <br />【例2】（′03&middot;北京春）如图1，在正三角形ABC中，图1D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（） <br />A．90°B．60°C．45°D．0° <br />解析：求&ldquo;三棱锥侧面上两条异面直线所的角&rdquo;是一个静态问题，这里通过&ldquo;展平与翻折&rdquo;这一互动过程，图2更有效地考察了学生的空间想象能力。比照翻折前后的图形(如图2)，容易得到∠ADF为GH与IJ所成的角，而∠ADF=60°，故选B. <br />§1.2平面问题，创设空间背景 <br />【例3】（′04&middot;天津）如图3，图3定点A和B都在平面α内，定点Pα，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是（） <br />A．一条线段，但要去掉两个点 <br />B．一个圆，但要去掉两个点 <br />C．一个椭圆，但要去掉两个点 <br />D．半圆，但要去掉两个点 <br />解析：本题是在空间背景中研究平面轨迹问题。由题易知BC⊥AC恒成立，得∠ACB始终为直角，则C点在以AB为直径的圆上，去掉A、B两点，故选B. <br />【例4】（′04&middot;北京）如图4，图4在正方体ABCD&mdash;A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（） <br />A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线 <br />解析：本题以正方体为背景考查圆锥曲线的定义。易知P到C1的距离等于P到直线BC的距离，故P点的轨迹为抛物线，选D. <br />§1.3以社会热点问题为数学试题背景 <br />【例5】（′04&middot;北京春&middot;文)2003年10月15日9时，&ldquo;神舟&rdquo;五号载人飞船发射升空，图5于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图5所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R=6371km. <br />（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； <br />（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行约6×105km.问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？（结果精确到1km/s） <br />解析：试题以&ldquo;神州&rdquo;五号载人飞船成功升空和返地这一重大事件为背景，考察椭圆的基本知识和分析问题与解决问题的能力，题型新颖，时代感强. <br />(1)由题设条件可求得为x244169316+y244163691=1.(或者x266462+y26645.62=1也是正确的.) <br />(2)易得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950(秒)，平均速度是60000074950≈8(千米/秒).所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s. <br />【例6】(′02&middot;新课程)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:&ldquo;2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.&rdquo;如果&ldquo;十五&rdquo;期间(2001年－2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到&ldquo;十五&rdquo;末我国国内年生产总值约为() <br />A.115000亿元B.120000亿元 <br />C.127000亿元D.135000亿元 <br />解析：本题是以《政府工作报告》为背景的试题，主要考查将实际问题转化为数学问题的能力和近似计算(估算)能力．选C． <br />§1.4以其它学科知识为数学试题背景 <br />【例7】(′00&middot;京、皖春)从单词&rdquo;equation&rdquo;中选取5个不同的字母排成一排，含有&ldquo;qu&rdquo;(其中&ldquo;qu&rdquo;相连且顺序不变)的不同排列共有() <br />A.120个B.480个C.720个D.840个 <br />解析：本题以英语单词为试题背景，主要考...