北京市通州区高三上学期数学期中质量检测试卷含答案解析

高三上学期数学期中质量检测试卷一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．在复平面内，与复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，的最小值是2的是（）A．B．C．D．某单位有男职工56人，女职工42人，按性别分层，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽出一个样本，如果样本按比例分配，男职工抽取的人数为16人，则女职工抽取的人数为（）A．12B．20C．24D．28在的展开式中，的系数为（）A．5B．-5C．10D．-106．已知函数，则等于（）A．B．C．1D．27．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（）A．63B．71C．99D．1178．若函数零点”的（）的定义域是区间，则“”是“函数在区间内存在A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（）A．408种B．240种的定义域为，C．192种D．120种10．已知函数，是偶函数，，有，则（）A．B．C．D．二、填空题11．函数的定义域是．12．关于的不等式的解集为13．已知，若，则．14．已知函数，则函数的值域是．15．设首项是1的数列的前项和为，且则；若，则正整数的最大值是．三、解答题16．如图，在中，，，，点在边上，且．求；求线段AD的长．17．已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调区间．，当已知函数求的值；求函数y的极小值．时，有极大值3．\n19．设等差数列的前项和是，是各项均为正数的等比数列，且，这三个条件中任选一个，解下列问题：．在①，②，③（1）分别求出数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．20．某蔬菜批发商分别在甲、乙两个市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜降价处理，每吨亏损100元．现分别统计该蔬菜在甲、乙两个市场以往100个周期的市场需求量，制成频数分布条形图如下：以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进同时销售，以（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总需求量，期两个市场的销售总利润．（1）求变量概率分布列；吨该蔬菜，在甲、乙两个市场（单位：元）表示下个销售周当时，求与的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．21．设函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间单调，求实数的取值范围；（3）若函数有极小值，求证：的极小值小于1．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为集合，，所以，故答案为：B.【分析】利用交集的定义，即可求出答案。2．【答案】D【解析】【解答】，故复数对应的点位于第四象限．故选D3．【答案】C【解析】【解答】对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-2<2.A不符合题意；对于B：的定义域为.取特殊值，代入得y=e-1<2.B不符合题意；对于C：的定义域为R..令，解得；令，解得；所以时，y取得最小值2.C符合题意；在上单减，在上单增，所以当对于D：.令，则.所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.D不符合题意.故答案为：C【分析】对于A选项，考虑函数定义域即可判断；对于B，C选项，可先对函数进行求导，判断出函数的最值即可；对于D选项，先利用基本不等式进行计算，再根据定义域判断即可.4．【答案】A【解析】【解答】根据题意，设抽取的样本人数为因男职工抽取的人数为，所以故答案为：A.，，因此女职工抽取的人数为（人）.【分析】利用分层抽样的性质列方程，即可求出答案。5．【答案】D【解析】【解答】解：在的展开式中的项为的系数为-10，故答案为：D.\n【分析】由二项展开式的通项公式，即可求得的系数.6．【答案】D【解析】【解答】由，得，所以，故答案为：D【分析】根据导数的运算法则，即可得出答案。7．【答案】C【解析】【解答】由等差数列得：，，即的前项和性质，也成等差数列，，又因，因此，则解得，.故答案为：C.【分析】利用等差数列的前n项公式，再结合等差数列的性质即可得出，从而由等差数列的前n项和的定义即可得出答案。8．【答案】D【解析】【解答】充分性：不妨记，满足，但是函数在区间内不存在零点.故充分性不满足；必要性：不妨不妨记，满足函数在区间内存在零点，但是.故必要性不满足.故答案为：D.【分析】根据函数零点的定义分别判断其充分性和必要性即可.9．【答案】A【解析】【解答】将六艺全排列，有当“射”排在第一次有种，“数”和“乐”两次相邻的情况有种，种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有种，故答案为：A.【分析】根据题意，按“数”的排课方法分3种情况讨论，求出每种情况的排课顺序，由加法原理计算可得答案.10．【答案】B【解析】【解答】由是偶函数可得关于直线对称因为，有，所以在上单调递增因为，所以，，无法比较与0的大小故答案为：B【分析】由题意，先确定函数的单调性，由偶函数的性质得到函数f(x)的对称性，依次判断四个选项即可。\n11．【答案】[0，+∞)【解析】【解答】解：由函数，可知，解得，即函数的定义域是[0，+∞).故答案为：[0，+∞)【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解.12．【答案】【解析】【解答】故答案为：【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即可13．【答案】6【解析】【解答】由，可得：，，所以，则，故答案为：6【分析】首先由指、对互化的公式整理原式再由已知条件结合对数的运算性质计算出a的值即可。14．【答案】[-1，1]【解析】【解答】函数表示单位圆上的点与点连线的斜率.设过点的与单位圆相切的方程为，由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得，故点与点连线的斜率范围是的值域是[-1，1].，因此函数故答案为：[-1，1].【分析】根据题意，利用函数的几何意义，将问题转化为两点间的斜率公式，结合直线与圆的位置关系，求解即可.15．【答案】5；16【解析】【解答】解：因为，则，，由，可得，，则，，可得，所以，，，，所以，当时，，又，所以，所以正整数的最大值是16.故答案为：5，16.【分析】由递推公式可直接求出a3=5，分n为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，再确定m的值即可.16．【答案】（1）解：根据余弦定理：（2）解：因为，所以，，根据正弦定理得：，=8【解析】【分析】(1)由已知根据余弦定理可得，代入计算即可得解；\n(2)由0<C<π，可得sinC>0，从而可求sinC的值，利用正弦定理即可求得AD的值.17．【答案】（1）解：因为，所以的最小正周期（2）解：令，，得，．所以的单调递增区间为，；令，，得，．所以的单调递减区间为，【解析】【分析】(1)利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式，进而根据三角函数的周期公式即可求函数f(x)的最小正周期；(2)根据三角函数的单调性即可求函数f(x)的单调区间.18．【答案】（1）解：，当时，有极大值3，所以（2）解：由（1）知，，，，解得，所以.经检验，满足题意，所以；（2）解：由（1）得，则，令，得或，列表得x0100极小值极大值易知是函数的极小值点，所以当【解析】【分析】（1）由题意得时，函数有极小值0．，则可得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中19．【答案】（1）解：设等差数列若选①，则的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的极小值.的公差为，等比数列的公比为．由，得，解得或不合题意，舍去．所以，即，，即．若选②，则由，得，解得或不合题意，舍去.所以，即，，即．若选③，则由得解得，所以，即，，即所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为条件中任选一个，然后列方程组求解即可得求出数列，等比数列的公比为，由题意从三个和的通项公式；（2）由（1）知，，，则，利用裂项相消求和法即可得出数列的前项和．20．【答案】（1）解：设甲市场需求量为的概率为，乙市场需求量为的概率为，则由题意得\n，，；，，．设两个市场总需求量为的概率为，则由题意得所有可能的取值为16，17，18，19，20，且，，，，．所以的分布列如下表．16171819200.060.230.350.270.09（2）解：由题意得，当当时，时，，．所以设“销售利润不少于8900元”，则当时，，当时，，解得．由（1）中的分布列可知，（3）解：由（1）知，当时，的分布列为：，.0.06所以；当时，的分布列为：0.060.71所以因为，所以应选..【解析】【分析】(1)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；根据题意，结合已知数据和(1)中的分布列，求解即可；根据题意，分别列出和的分布列，由数学期望的计算公式分别求出相应的期望值，比较即可得到答案.21．【答案】（1）解：的定义域为．当时，，，所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）解：．若在区间上单调递增，则在恒成立．因为，所以在恒成立．记，因为，，所以，所以；若在区间上单调递减，则在恒成立．\n因为，所以在恒成立．所以，即，解得．综上，若函数在区间单调，则实数的取值范围是（3）证明：由（2）知对于二次函数，若因为，所以而，所以．，在上恒成立，恒成立．所以函数在所以上单调递增．这与函数，即．有极小值矛盾．此时方程有两个不相等的实数根：，．由可知，．当变化时，和变化情况如下表：00↗极大值↘极小值↗由表可知，在取得极小值，且在单调递增，所以，即的极小值小于1．【解析】【分析】（1）根据题意，结合导数的几何意义，即可求出曲线在点处的切线方程；（2）根据题意，可知在恒成立，再结合二次函数的图象和性质，即可求解；（3）根据题意，求导判断单调性，求出极小值即可。