北京市海淀区高三上学期数学期中练习试卷含答案解析

高三上学期数学期中练习试卷一、单选题1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．B．C．D．2．已知向量，若，则=（）A．1B．-1C．2D．-23．已知全集，集合，，则集合可能是（）A．{4}B．C．D．4．已知命题，则是（）A．，B．，C．，D．，下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（B．C．）D．6．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件为递增数列且，则（7．已知等比数列的公比为，若）A．B．C．D．8．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．B．是函数的图象的一条对称轴C．在上是减函数D．在上是增函数9．下列不等关系中正确的是（）A．B．C．D．10．如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为时，下列描述正确的是（A．点A在轮子的左下位置，距离地面约为）（参考数据：）B．点A在轮子的右下位置，距离地面约为C．点A在轮子的左下位置，距离地面约为D．点A在轮子的右下位置，距离地面约为二、填空题11．已知是数列的前项和.若，则.12．已知函数，则函数的零点个数为.13．某生物种群的数量Q与时间t的关系近似地符合.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；④该生物种群数量的增长速度最大的时间.根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是.已知中，，，.已知命题：若满足，则角为，B=.三、解答题已知等差数列满足.若，求数列的通项公式；若数列是公比为3的等比数列，且，则，是直角三角形.能说明为假命题的一组，求数列的前n项和.\n17．已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）设函数，求的值域.18．已知函数，（1）直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；（2）已知直线分别交曲线和于点，其中O是坐标原点，求的最大值.，.当时，设的面积为19．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；.（2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求第①组条件：，；第②组条件：，；的面积.，请，对于集合第③组条件：边上的高，.设函数，.当时，求函数的单调增区间；若函数在区间上为减函数，求a的取值范围；若函数在区间内存在两个极值点，，且满足直接写出a的取值范围.设正整数，集合元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，称为的完美子集.中的任意，则（1）当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合对任意都成立，判断，其中.若是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由题意，所以对应的点的坐标为故答案为：B.，.【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解.2．【答案】D【解析】【解答】因为向量所以，解得：故答案为：D.，，，，【分析】利用向量平行的坐标运算直接求解，可得答案。3．【答案】C【解析】【解答】∵，∴又∵∴故答案为：C.【分析】由已知结合补集的性质可求A∪B，然后结合补集运算进行判断.\n4．【答案】C【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题知：是，，故答案为：C.，，【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.5．【答案】B【解析】【解答】对于A，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；对于B，函数定义域是R，是奇函数，当时，在上单调递增，当时，在上也单调递增，即函数在其定义域R上单调递增，B符合题意；对于C，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，C不正确；对于D，函数定义域是，它是奇函数，在和上单调递增，但在其定义域上不单调，D不正确.故答案为：B【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，逐项进行判断，可得答案。6．【答案】D【解析】【解答】若若，则当“”是“故答案为：D，则当时，有时，有，即”的既不充分也不必要条件.，即推不出，也推不出，【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义，可得答案。7．【答案】C【解析】【解答】因为等比数列所以，为递增数列且，则，即，故答案为：C.【分析】由已知条件结合等比数列的定义，即可求出答案。8．【答案】D【解析】【解答】对于A：因为将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以，A不正确；对于B：，可得，所以不是函数的图象的一条对称轴，B不正确；对于C：令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，C不正确；对于D：由C知：当时，，所以在上是增函数，D符合题意；故答案为：D.【分析】由条件利用函数y=Asin(x+φ)的图象变换规律，再结合正弦函数的图象的对称性和单调性，逐项进行分析，可得答案。9．【答案】B【解析】【解答】对于A，，而函数在单调递增，显然，则，A不正确；当时，令，，当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，都有，则\n，成立取，则，取，则，即，于是得，B符合题意；对于C，显然，当时，令，，C不正确；，，则在上单调递减，，于是得，所以，D不正确.故答案为：B【分析】通过对数运算，利用对数函数的单调性，可判断出正确答案.10．【答案】A【解析】【解答】车轮的周长为，当滚动的水平距离为时，即车轮转动即点A在轮子的左下位置，距离地面约为个周期，，故答案为：A.【分析】由已知求出轮子滚动的水平距离为2.2m时点A转到的角的大小，即可求得答案.11．【答案】2【解析】【解答】因为可得，所以是数列的前项和.若，，，故答案为：2.【分析】根据题意，由数列的前n项和公式以及，计算即可得答案.12．【答案】2【解析】【解答】解方程，当时，，而，于是得，即，当时，，解得，所以函数的零点个数为2.故答案为：2【分析】根据函数零点的定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.13．【答案】①②④【解析】【解答】，因为，故，，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为为对勾函数模型，故，当且仅当时取到等号，故整体先增加后减小，当时，最大，故②④正确，综上所述，①②④正确，故答案为：①②④【分析】由分子常数化可得Q(t)的范围，可判断①；求得Q(t)的导数，可得单调区间和极值、最值，可判断②③④.14．【答案】-1；-5【解析】【解答】因为，，，所以；，故答案为：-1；-5.\n【分析】由平面向量数量积的运算法则可求得的值，由展开运算，即可得解。15．【答案】；【解析】【解答】当，时，，但，此时不是直角三角形，说明为假命题.故答案为：，【分析】根据三角函数值及命题的真假，即可得出答案。16．【答案】（1）解：由①，可得，因为，所以，，则是以首项为2，公差为2的等差数列，故（2）解：由是公比为3的等比数列，且是以首项为1，公比为3的等比数列，故即，，②，两式作差得，可得，设，则，结合分组求和法可得【解析】【分析】(1)将n换为n+1，两式相减，由等差数列的定义和通项公式，进而得到数列的通项公式；(2)由等比数列的通项公式可得，进而得到bn，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得数列的前n项和.17．【答案】（1）解：∴∴函数的最小正周期为（2）解：由第一问可知，设，则∴当时，取得最小值，；当时，取得最大值，，所以的值域为.【解析】【分析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，得出结论；(2)化简g(x)的解析式，根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得g(x)的值域.18．【答案】（1）解：由即可得，所以所以公共点坐标为，因为，所以在公共点处切线的斜率为，所以曲线在公共点处的切线方程为，即，（2）解：的面积为，因为，所以，，所以，所以，，由即可得；由即可得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以当时，的最大值为.【解析】【分析】(1)求得f(x)和g(x)的交点，求导，根据导数的几何意义，求得曲线y=f(x)在公共点处的切线方程；(2)根据三角形的面积公式，表示S(a)的表达式，求导根据导数与函数单调性的关系，即可求得S(a)的最大\n值.19．【答案】（1）解：由，因为，化简得，（2）解：若选①，则，，据化简得或3，根据大边对大角原则判断，，由余弦定理可得，代入数或3都成立，故答案为：①不成立；若选②，则，，，求得，由正弦定理可得，解得，由，因为，，唯一，则唯一，三角形存在且唯一确定，；若选③，由边上的高可得，解得，又，由余弦定理可得（舍去），三角形存在且唯一确定，，代值化简得或【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件可得tanA，进而求得A；(2)选①：由余弦定理可得或3，不符合题意；选②：先求得sinC，结合两角和的正弦公式求得sinB，再由正弦定理求得a，进而可求得面积；选③：先求出b，由余弦定理求得c，进而求得面积.20．【答案】（1）解：当时，，则，由解得：或，的单调增区间是所以函数，.（2）解：函数，则数，则，成立，即，，，则，，因函数在区间上为减函，显然在上单调递减，即所以a的取值范围是.（3）解：由(2)知，则在区间，因函数内有两个不等根，在区间内存在两个极值点，，，即有，解得，且有，不妨令，则，当或时，，当时，，则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，由两边平方得，而，即，整理得：，把综上得，所以实数a的取值范围是代入上述不等式并整理得：，解得，.【解析】【分析】(1)当，求得的解析式，利用导数与函数单调性的关系，即可求得的单调递增区间；(2)由题意可知，在(1，2)上恒成立，根据题意，分离参数，利用二次函数的性质，即可求得a的取值范围；(3)由(2)可知，利用韦达定理可得，分别求得f(x1)+f(x2)和f(x1)-f(x2)，代入，即可求得a取值范围.21．【答案】（1）解：设，即，所以是完美子集，设，可得，解得：，（2）解：因为集合，，所以不是完美子集.不是的完美子集，\n所以存在，使得，即，由集合的互异性可得：且且，所以且，所以，可得，所以，即，所以，所以或，当时，，解得：，所以存在使得，当时，因为，所以，，不符合题意，所以.（3）解：一定是的完美子集，假设存在不全为的实数不妨设，则、、满足，否则与假设矛盾，，由，可得，所以与即矛盾，所以假设不成立，所以，所以，所以一定是的完美子集.【解析】【分析】（1）根据完美子集的定义，设，列方程组求得，，的值即可判断；（2）由题意可得，存在，使得，列出方程组，解方程组，求出m的值，即可求解；（3）假设存在不全为的实数，则，由、、满足，不妨设结合已知条件得出矛盾即可求解。