东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2022届高三数学第一次联合模拟考试试题 理

东北三省三校2022年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合，，则（）A．B．C．D．2、复数（）A．B．C．D．3、点到抛物线准线的距离为，则的值为（）A．B．C．或D．或4、设是公差不为零的等差数列的前项和，且，若，则当最大时，（）A．B．C．D．5、执行如图所示的程序框图，要使输出的值小于，则输入的值不能是下面的（）A．B．C．D．6、下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题，使得，则，均有②是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件15③命题“若，则”的逆否命题为真命题④“”是“直线与直线垂直”的充要条件A．个B．个C．个D．个7、如图，网格纸上小正方形的边长为，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．B．C．D．8、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，焦点到一条渐近线的距离为，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9、不等式组表示的点集记为，不等式组表示的点集记为，在中任取一点，则的概率为（）A．B．C．D．10、设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为，，则（）A．B．C．D．11、已知数列满足，若数列的最小项为，则的值为（）15A．B．C．D．12、已知函数，若函数有且只有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量，满足，，，则向量与的夹角为．14、三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数（）的图象关于直线对称，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知的面积为，且满足，设和的夹角为．求的取值范围；求函数的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．15频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，底面，、分别为、的中点．求证：平面；若，试问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．1520、（本小题满分12分）已知椭圆（）的左、右焦点为、，点在椭圆上，且与轴垂直．求椭圆的方程；过作直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知是实常数，函数．若曲线在处的切线过点，求实数的值；若有两个极值点，（），求证：；求证：．15请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在中，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点．求证：是圆的切线；求证：．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）．求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；设点，若直线与曲线交于，两点，且，求实数的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲15设函数．解不等式；若，使得，求实数的取值范围．15东北三省三校2022年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A10.C11.B12.C填空题：13.90014.6415.8416.三．解答题：17.解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，则由已知：，，分可得，所以：．分（Ⅱ）．分，，．即当时，；当时，．所以：函数的取值范围是分年龄(岁)0.010.020.030.040.050.060.070.080.0920253035404550频率组距18.解：（1）由表知：①，②分别填.补全频率分布直方图如下:分15分平均年龄估值为:（岁）分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,的可能取值为0,1,2分的分布列为012分期望（人）分19.证明:(Ⅰ)取中点,连接,在△中,为的中点,,正方形中为中点,,故：为平行四边形分又平面,平面平面分(Ⅱ)如图：以点为坐标原点建立空间直角坐标系:15由题易知平面的法向量为，分假设存在满足条件：设,设平面的法向量为,分由已知：解得：所以：满足条件的存在，是中点。分20.（1）有已知：，故椭圆方程为分(2)当斜率不存在时：分当斜率存在时:设其方程为：由得由已知：15即：分到直线的距离：分此时综上所求：当斜率不存在或斜率为零时：面积取最大值为分21.解(1)由已知:,切点分切线方程:,把代入得:分(2)(Ⅰ)依题意:有两个不等实根设则:①当时:,所以是增函数,不符合题意;分②当时:由得:列表如下:150↗极大值↘依题意:,解得:综上所求:得证;分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:变化如下:0+0↘↗↘由表可知:在上为增函数,所以:分又,故由(Ⅰ)知:,设,则成立,所以单调递减,故:,也就是综上所证:成立.分22.选修4-1:几何证明选讲证明：（Ⅰ）连结.15∵点是的中点，点是的中点，∴，∴.∵，∴，∴.分在和中，∵，，，∴≌，∴，即.∵是圆上一点，∴是圆的切线.分（Ⅱ）延长交圆于点.∵≌，∴.∵点是的中点，∴.∵是圆的切线，∴.∴.分∵，∴.∵是圆的切线，是圆的割线，∴，∴分23.选修4-4:坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由，得：，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为.分15由，得，即，∴直线的普通方程为.分（Ⅱ）将代入，得：，整理得：，由，即，解得：.设是上述方程的两实根，则，分又直线过点，由上式及的几何意义得，解得：或，都符合，因此实数的值为或或.分24.选修4-5:不等式选讲解：（Ⅰ）当时，，，即，解得，又，∴；当时，，，即，解得，又，∴；当时，，15，即，解得，又，∴.分综上，不等式的解集为.分（Ⅱ），∴.分∵，使得，∴，整理得：，解得：，因此的取值范围是.分15