东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2022届高三数学第一次联合模拟考试试题 文

东北三省三校2022年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．１．已知集合若则等于（　　）A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　　D．1或2２．复数（　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．３．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“”是“”的（）Ａ．充分不必要条件　　Ｂ．必要不充分条件　Ｃ．充要条件　Ｄ．既不充分也不必要条件４．向量满足则向量与的夹角为（）Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　　　Ｄ．５．实数是上的随机数，则关于的方程有实根的概率为（）Ａ．　Ｂ．　　　Ｃ．　　Ｄ．６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）14（第６题图）２２２正视图侧视图俯视图A．　　　　　　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．７．椭圆两个焦点分别是，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB过点Ｏ，,,,则三棱锥的体积为（）开始结束输入t输出S否是（第10题图）A．　　　　　Ｂ．　Ｃ．　　　　Ｄ．９．已知数列满足，则=（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10．执行如图所示的程序框图，要使输出的的值小于１，则输入的值不能是下面的（　　）Ａ．8Ｂ．9Ｃ．10Ｄ．1111．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是（）14Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12．函数的零点个数为（　　）　　Ａ．９　　　　　Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．12第Ⅱ卷（非选择题　共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．若等差数列中，满足，则=_________．14．若变量满足约束条件，则的最小值为．15．已知双曲线C：，点P与双曲线C的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点为，则=____．16．若函数满足:（ⅰ）函数的定义域是；（ⅱ）对任意有；（ⅲ）.则下列命题中正确的是_____.（写出所有正确命题的序号）①函数是奇函数；②函数是偶函数；③对任意，若，则；④对任意，有.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知的面积为且满足设和的夹角为．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域．18．（本题满分12分）14空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：）为时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2022年１月某日某省个监测点数据统计如下：空气污染指数(单位：)监测点个数1540100.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数（）050100150200（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体中，底面是菱形，14，四边形是正方形，且平面.(Ⅰ)求证:平面；(Ⅱ)若，求多面体的体积.20．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知动圆过点，且被轴所截得的弦长为4.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程;(Ⅱ)过点分别作斜率为的两条直线，交于两点(点异于点),若，且直线与圆相切，求△的面积.21．（本题满分12分）已知实数为常数，函数．（Ⅰ）若曲线在处的切线过点Ａ，求实数值；（Ⅱ）若函数有两个极值点．①求证：；②求证：，．请从下面所给的22,23,24三题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。CDMOBEA请考生在第22,23,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时请写清题号．22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，在中，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）求证：.1423．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（Ⅱ）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.24．（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲设函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，使得，求实数的取值范围.东北三省三校2022年三校第一次联合模拟考试文科数学试题参考答案一、选择题123456789101112DACCBBCACADD二．填空题13．403014．－615．－1616．②③④三.解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，则由已知：，，……4分可得，所以：．……6分（Ⅱ）14．……8分，，．即当时，；当时，．所以：函数的值域是……12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）……2分0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008频率组距空气污染指数（）050100150200……5分（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3,空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，……8分其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种，……10分14所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是.……12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：是菱形，.又平面，平面，平面.……2分又是正方形，.平面，平面，平面.……4分平面，平面，，平面平面.由于平面，知平面.……6分(Ⅱ)解：连接，记.是菱形，，且．由平面，平面，.平面，平面，，平面于，即为四棱锥的高.……9分由是菱形，，则为等边三角形，由，则，，，，.……12分20．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)设动圆圆心坐标为，半径为，由题可知；14动圆圆心的轨迹方程为……4分(Ⅱ)设直线斜率为,则点P（1,2）在抛物线上设,恒成立，即有代入直线方程可得……6分同理可得……7分……9分不妨设.因为直线与圆相切，所以解得或1,当时,直线过点,舍当时,由；到直线的距离为，△的面积为.……12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知:,切点……1分切线方程:,把代入得:……3分（Ⅱ）①证明：依题意:有两个不等实根14设则:(ⅰ)当时:,所以是增函数,不符合题意;……5分(ⅱ)当时:由得:列表如下:0↗极大值↘=,解得:……8分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当且时，，当且时在上必有一个零点．当时，设，＋０－↗极大值↘时，即时，设，由，时，14在上有一个零点综上，函数有两个极值点时，得证．方法二有两个极值点,即有两个零点,即有两不同实根.设,,当时，；当时，＋０－↗极大值↘当时有极大值也是最大值为，，故在有一个零点当时，且时综上函数有两个极值点时，得证．②证明：由①知:变化如下:140+0↘极小值↗极大值↘由表可知:在上为增函数,又,故……10分所以：即，．……12分22.选修4-1:几何证明选讲证明：（Ⅰ）连结.∵点是的中点，点是的中点，∴，∴.∵，∴，∴.……2分在和中，∵，，，∴≌，……4分∴，即.∵是圆上一点，∴是圆的切线.……5分（Ⅱ）延长交圆于点.∵≌，∴.∵点是的中点，∴.∵是圆的切线，∴.∴.……7分∵，∴.14∵是圆的切线，是圆的割线，∴，∴……10分23.选修4-4:坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由，得：，∴，即，∴曲线的直角坐标方程为.……2分由，得，即，∴直线的普通方程为.……5分（Ⅱ）将代入，得：，整理得：，由，即，解得：.设是上述方程的两实根，则，……7分又直线过点，由上式及的几何意义得，解得：或，都符合，因此实数的值为或或.分24.选修4-5:不等式选讲解：（Ⅰ）当时，，，即，解得，又，∴；当时，，，即，解得，又，∴；14当时，，，即，解得，又，∴.……3分综上，不等式的解集为.……5分（Ⅱ），∴.……7分∵，使得，∴，整理得：，解得：，因此的取值范围是.……10分14