北京市中国人民大学附中学2022届高三数学5月模拟考试试题 理 新人教A版
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中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题(理科)第I卷(选择题共40分)一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设全集,集合,,则( )A.B.C.D.2.设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a开始结束3.直线与曲线围成图形的面积为( )A.B.9C.D.4.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )A.B.C.D.5.设等比数列的公比为,前项和为.则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.某地举行一次民歌大奖赛,六个省各有一对歌手参加决赛,现要选出4名优胜者,则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为( )A.B.C.D.7.已知函数的部分图象如图,则( )A.B.C.D.8.如图所示,正方体的棱长为1,20分别是棱,的中点,过直线的平面分别与棱、交于,设,,给出以下四个命题:①平面平面;②当且仅当x=时,四边形MENF的面积最小;③四边形周长,是单调函数;④四棱锥的体积为常函数;以上命题中假命题的序号为( )A.①④B.②C.③D.③④第Ⅱ卷(非选择题共110分)二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.1.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于第________象限。2.如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA,若AD=m,AC=n,则AB=_________.3.一几何体的三视图如下:其体积为.4.已知直线的参数方程为,曲线C的参数方程为.则直线的倾斜角为_______________;设点Q是曲线C上的一个动点,则点Q到直线的距离的最小值为___________.5.已知双曲线C的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为_________________________.6.已知A、B为函数,x∈[a,b]图象的两个端点,M(x,y)是图象上任意一点,其中。又已知向量,若不等式20恒成立,则称函数上“k阶线性近似”.若函数在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为___________________.三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.1.(本小题满分13分)已知分别是的三个内角的对边,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)求函数的值域.2.(本小题满分14分)20如图,PDCE为矩形,ABCD为梯形,平面平面ABCD,(Ⅰ)若M为PA中点,求证:AC//平面MDE;(Ⅱ)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.(Ⅲ)在PC上是否存在一点Q,使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为.201.(本小题满分13分)小型风力发电项目投资较少,开发前景广阔.受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险.根据测算,IEC(国际电工委员会)风能风区分类标准如下:风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5—106.5—8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是:未来一年内,位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6,亏损%的可能性为0.4;B项目位于二类风区,获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.2,不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A项目的资金为()万元,投资B项目资金为()万元,且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.(Ⅰ)请根据公司投资限制条件,写出满足的条件,并将它们表示在平面内;(Ⅱ)记投资A,B项目的利润分别为和,试写出随机变量与的分布列和期望,;(Ⅲ)根据(Ⅰ)的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值,并据此给出公司分配投资金额建议.201.(本小题满分13分)已知函数,.(Ⅰ)已知函数在取得极小值,求的值;(Ⅱ)讨论函数的单调区间;(Ⅲ)当>时,若存在,使得<,求实数的取值范围.201.(本小题满分14分)已知,坐标平面上一点P满足:的周长为6,记点P的轨迹为.抛物线以为焦点,顶点为坐标原点O.(Ⅰ)求,的方程;(Ⅱ)若过的直线与抛物线交于两点,问在上且在直线外是否存在一点,使直线的斜率依次成等差数列,若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.201.(本小题满分13分)正整数数列满足:,(Ⅰ)写出数列的前5项;(Ⅱ)将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列,得到数列,试用表示(不必证明);(Ⅲ)求最小的正整数,使.20中国人民大学附属中学高三模拟考试2022.5.数学试题(理科)第I卷(选择题共40分)一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设全集,集合,,则( )A.B.C.D.【答案】D2.设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a【答案】C.3.直线与曲线围成图形的面积为A.B.9C.D.【答案】C.解得或,由定积分的几何意义知,直线与曲线围成图形的面积为=.选C.4.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()开始结束A.B.C.D.【答案】B5.设等比数列的公比为,前项和为.则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C201.某地举行一次民歌大奖赛,六个省各有一对歌手参加决赛,现要选出4名优胜者,则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为( )A.B.C.D.【答案】A 选出4名优胜者共有C124种不同的方法.对其中恰有且只有两人是同一省份的歌手,首先从六个省份中选出一个省的一对歌手有C61种不同的方法,再从剩下的五个省中选出两个省有C52种方法,再从选中的两个省中每个省选出1个歌手有C21·C21=4(种),∴共有C61·C52·C21·C21=240(种),所以所求概率为P==.故选A.2.已知函数的部分图像如图,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据图像,解得,把点的坐标代入,得,结合得,故,,函数的最小正周期是,在一个周期内的各个函数值之和为,,。3.如图所示,正方体的棱长为1,分别是棱,的中点,过直线的平面分别与棱、交于,设,,给出以下四个命题:①平面平面;②当且仅当x=时,四边形MENF的面积最小;③四边形周长,是单调函数;④四棱锥的体积为常函数;20以上命题中假命题的序号为( )A.①④B.②C.③D.③④【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共110分)二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.1.如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则复数对应的点位于第________象限。【答案】二。【解析】,,,对应的点的坐标为,所以位于第二象限.2.如图所示,直线PB与圆O相切于点B,D是弦AC上的点,∠PBA=∠DBA,若AD=m,AC=n,则AB=_________.【答案】。【解析】由弦切角定理知:∠PBA=∠ACB,又因为∠PBA=∠DBA,所以∠DBA=∠ACB,所以,,解得AB=.3.一几何体的三视图如下:其体积为;解析: (1)该几何体的直观图如图,棱锥P-ABC,其中PC⊥面ABC,∠ABC=90°,△ABC斜边AC上的高为cm,PC=6cm,AC=5cm,∴VP-ABC=××5××6=12(cm3).201.已知直线的参数方程为,曲线C的参数方程为.则直线的倾斜角为_________________;设点Q是曲线C上的一个动点,则点Q到直线的距离的最小值为____________.【答案】。因为点在曲线上,故可设点,点到直线:的距离为,所以当时,。2.已知双曲线C的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为_________________________。【答案】-=1或-+=1。3.已知A、B为函数,x∈[a,b]图象的两个端点,M(x,y)是图象上任意一点,其中。又已知向量,若不等式恒成立,则称函数上“k阶线性近似”.若函数在[1,2]上“k阶线性近似”,则实数k的取值范围为___________________。A.B.C.D.【答案】D20三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.1.(本小题满分13分)已知分别是的三个内角的对边,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)求函数的值域.解:(I)由正弦定理,得:,…………………………2分即故,……………………………………5分。所以.……………………………………………………………………7分(II).……………………………………8分.…………………11分.20所以所求函数值域为..……………………………………………………13分1.(本小题满分14分)如图,PDCE为矩形,ABCD为梯形,平面平面ABCD,(Ⅰ)若M为PA中点,求证:AC//平面MDE;(Ⅱ)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值.(Ⅲ)在PC上是否存在一点Q,使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为.【解析】(Ⅰ)连结,交与,连结,∵中,分别为两腰的中点,∴………………1分因为面,又面,所以平面……3分(Ⅱ)∵,∴,又平面,平面平面,∴平面,又平面,∴.…………4分以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,,……6分设面的法向量,应有即:解得:,所以………8分设与所成角的大小为,20∴……………9分(Ⅲ)设-------10分设平面的单位法向量为,即:……………………………………………………11分解得:,所以………………………12分面的法向量,平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为.………………13分所以,PC上存在点Q满足条件,Q与P重合,或……………14分1.(本小题满分13分)小型风力发电项目投资较少,开发前景广阔.受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险.根据测算,IEC(国际电工委员会)风能风区的分类标准如下:风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5---106.5---8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是:未来一年内,位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6,亏损%的可能性为0.4;20B项目位于二类风区,获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.2,不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A项目的资金为()万元,投资B项目资金为()万元,且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.(Ⅰ)请根据公司投资限制条件,写出满足的条件,并将它们表示在平面内;(Ⅱ)记投资A,B项目的利润分别为和,试写出随机变量与的分布列和期望,;(Ⅲ)根据(Ⅰ)的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值,并据此给出公司分配投资金额建议.解:(1),如图………………4分(2)A项目投资利润的分布列P0.60.4………………………………………………………………6分…………………………………………………………………7分B项目投资利润的分布列0P0.60.20.2………………………………………………………………9分……………………………………………………………10分……………………………………………………………11分由(I)可知,当,公司获得获利最大,最大为17.5万元.…………13分1.(本小题满分13分)已知函数,.(Ⅰ)已知函数在取得极小值,求的值;(Ⅱ)讨论函数的单调区间.20(Ⅲ)>时,存在(,+),<,求实数的取值范围;【解析】(Ⅰ)函数的定义域为,且=(1+2)+,………1分因为函数在取得极小值,所以即=2(1+2)+=0,.……………………2分解得.………………3分经检验:时,函数在取得极小值,所以.……………4分(Ⅱ)=(1+2)+==令=0,则=或=2……………6分i、当2>,即>时,(,)(,2)2(2,+)+00+所以的增区间为(,)和(2,+),减区间为(,2)……7分ii、当2=,即=时,=0在(,+)上恒成立,所以的增区间为(,+)……………8分iii、当0<2<,即0<<时,(,2)2(2,)(,+)+00+所以的增区间为(,2)和(,+),减区间为(2,)……9分20综上所述:0<<时,的增区间为(,2)和(,+),减区间为(2,)=时,的增区间为(,+)>时,的增区间为(,)和(2,+),减区间为(,2)(Ⅲ)由题意,>时,存在(,+),<,即>时,在(,+)上的最小值小于.……………10分由(Ⅱ)>时,在(,2)上递减,在(2,+)上递增,在(,+)上的最小值为,…………………………………………………11分所以<,即<……………………………………12分化简得,,,又>,所以,所求实数的取值范围为……………13分1.(本小题满分14分)已知,坐标平面上一点P满足:的周长为6,记点P的轨迹为。抛物线以为焦点,顶点为坐标原点O。(Ⅰ)求,的方程;(Ⅱ)若过的直线与抛物线交于两点,问在上且在直线外是否存在一点,使直线的斜率依次成等差数列,若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.【思路分析】本题主要考查椭圆和抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等.解:(Ⅰ)依题意可知,的周长为,由于,故,由于,故点P的轨迹为为以20为焦点的椭圆的一部分,且,故,故的方程为:;的方程为:.……5分(Ⅱ)设,设直线的方程为:,,…………………………6分故,故,…8分由,,故,………………………………………………………10分故,…………………………………………………11分因为直线不经过点M,故,故或,…12分当时,上除点外,均符合题意;…………………………13分当时,则当时,椭圆上存在两点和都符合条件.…………………14分1.(本小题满分13分)正整数数列满足:,(Ⅰ)写出数列的前5项;(Ⅱ)将数列中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列,得到数列,,试用表示(不必证明);(Ⅲ)求最小的正整数,使.解:(Ⅰ),,,,;………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,,…,猜想使的下标满足如下递推关系:.对归纳:时已成立,设已有,则由条件可知,20,,,,….归纳易得:,.(*)故当时,.因此成立.…………………………………………8分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,,记,则,故,因此,由(*)式可知,当时,.因此,当时,;而当时,要么有,要么有,即取不到2022,进而考虑的情况,由,解得,故.故使得的最小为5817.…………………………………………………13分20
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