北京市西城区2022学年度第一学期期末试卷(高三数学文科)含答案_word版
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北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)2012.1第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数i(1i)()(A)1i(B)1i(C)1i(D)1i2.若向量a(3,1),b(0,2),则与ab2共线的向量可以是()(A)(3,1)(B)(1,3)(C)(3,1)(D)(1,3)3.下列函数中,既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是()1|x|(A)y(B)yex2(C)yx3(D)yxcos224.“直线l的方程为xy0”是“直线l平分圆xy1的周长”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件5.一个几何体的主视图和左视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是()...主视图左视图(A)(B)(C)(D)1\n6.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()(A)3(B)6(C)10(D)157.已知ab0,给出下列四个不等式:22ab1332①ab;②22;③abab;④ab2ab.其中一定成立的不等式为()(A)①、②、③(B)①、②、④(C)①、③、④(D)②、③、④8.有限集合P中元素的个数记作card()P.已知card(M)10,AM,BM,AB,且card()A2,card()3B.若集合X满足XM,且AX,BX,则集合X的个数是()(A)672(B)640(C)384(D)352第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.函数fx()logx的定义域是______.22\n22xy10.双曲线1的一个焦点到其渐近线的距离是______.169311.若曲线yxax在原点处的切线方程是20xy,则实数a______.12.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b5,B,4tanC2,则c______.13.已知{}a是公比为2的等比数列,若aa6,则a;n311111______.222aaa12nx2,14.设0,不等式组xy0,所表示的平面区域是W.给出下列三个结论:xy20①当1时,W的面积为3;②0,使W是直角三角形区域;y③设点Pxy(,),对于PW有x4.其中,所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)2π已知函数fx()3sinxsincosxx,x[,π].22π(Ⅰ)求f()的值;3(Ⅱ)求fx()的最大值和最小值.3\n16.(本小题满分13分)某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:等级12345频率0.05m0.150.35n(Ⅰ)在抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,求m,n;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,从等级为3和5的所有零件中,任意抽取2个,求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.17.(本小题满分14分)如图,正三棱柱ABCABC的侧棱长和底面边长均为2,D是BC的中点.111(Ⅰ)求证:AD平面BBCC;11(Ⅱ)求证:AB∥平面ADC;11(Ⅲ)求三棱锥CADB的体积.1118.(本小题满分13分)12已知函数fx()axlnx,其中aR.2(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)在(0,1]上的最大值是1,求a的值.19.(本小题满分14分)22xy1已知椭圆C:1(ab0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.22ab2(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设经过点F的直线交椭圆C于MN,两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点4\nPy(0,),求y的取值范围.0020.(本小题满分13分)已知数列Aaa:,,,a.如果数列Bbb:,,,b满足ba,baab,nn12nn121nkk11kk其中kn2,3,,,则称B为A的“衍生数列”.nn(Ⅰ)写出数列A:2,1,4,5的“衍生数列”B;44(Ⅱ)若n为偶数,且A的“衍生数列”是B,证明:ba;nnn1(Ⅲ)若n为奇数,且A的“衍生数列”是B,B的“衍生数列”是C,….依次将数列A,B,C,…的首项nnnnnnn取出,构成数列:,,,abc.111证明:是等差数列.北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末高三数学(文科)参考答案及评分标准2012.1一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.C;2.D;3.B;4.A;5.D;6.C;7.A;8.A.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.{|xx1};10.3;11.2;1n12.22;13.2,(14);14.①、③.3注:13题第一问2分,第二问3分;14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)2π22π2π2π3333(Ⅰ)解:f()3sinsincos.………………4分33334425\n31π3(Ⅱ)解:fx()(1cos2x)sin2xsin(2x).………………8分2232ππ2π5π因为x[,π],所以2x[,].………………9分2333π2ππ当2x,即x时,f(x)的最大值为3;………………11分332π3π11π3当2x,即x时,f(x)的最小值为1.………………13分3212216.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:由频率分布表得0.05mn0.150.35,1即mn0.45.………………2分由抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个,2得n0.1.………………4分20所以m0.450.10.35.………………5分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得,等级为3的零件有3个,记作xxx,,;等级为5的零件有2个,123记作yy,.12从xxxyy,,,,中任意抽取2个零件,所有可能的结果为:12312(,),(,),(,),(,xx12xx13xy11xy12),(,),(,),(,xx23xy21xy22),(,),(,xy31xy32),(,yy12)共计10种.………………9分记事件A为“从零件xxxyy,,,,中任取2件,其等级相等”.12312则A包含的基本事件为(,),(,),(,),(,xxxxxxyy)共4个.………………11分121323124故所求概率为PA()0.4.………………13分1017.(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为ABCABC是正三棱柱,111所以CC平面ABC.1又AD平面ABC,所以CCAD.………………3分1因为△ABC是正三角形,D是BC的中点,6\n所以BCAD,………………4分所以AD平面BBCC.………………5分11(Ⅱ)证明:连结AC,交AC于点O,连结OD.11由ABCABC是正三棱柱,111得四边形ACCA为矩形,O为AC的中点.111又D为BC中点,所以OD为△ABC中位线,1所以AB∥OD,………………8分1因为OD平面ADC,AB平面ADC,111所以AB∥平面ADC.………………10分11(Ⅲ)解:因为VV,………………12分C1ADB1AB1DC1123所以VSAD.………………14分C1ADB133ΔBDC1118.(本小题满分13分)2ax1(Ⅰ)解:fx(),x(0,).………………3分x当a0时,fx()0,从而函数f(x)在(0,)上单调递增.………………4分11当a0时,令fx()0,解得x,舍去x.………………5分aa此时,fx()与fx()的情况如下:111x(0,)(,)aaafx()01fx()↗f()↘a11所以,fx()的单调增区间是(0,);单调减区间是(,).…………7分aaa(Ⅱ)①当a0时,由(Ⅰ)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1).2a令1,得a2,这与a0矛盾,舍去a2.………………9分21a②当10a时,1,由(Ⅰ)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f(1).a2a令1,得a2,这与10a矛盾,舍去a2.………………10分211③当a1时,01,由(Ⅰ)得函数f(x)在(0,1]上的最大值为f().aa7\n1令f()1,解得ae,适合a1.………………12分a综上,当f(x)在(0,1]上的最大值是1时,ae.………………13分19.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:设椭圆C的半焦距是c.依题意,得c1.………………1分1因为椭圆C的离心率为,2222所以ac22,bac3.………………3分22xy故椭圆C的方程为1.………………4分43(Ⅱ)解:当MNx轴时,显然y0.………………5分0当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为ykx(1)(k0).ykx(1),2222由消去y整理得(34k)x8kx4(k3)0.223xy412,………………7分设Mxy(,),(,Nxy),线段MN的中点为Qxy(,).11223328k则xx.………………8分12234k2xx4k3k12所以x,ykx(1).32332234k34k23k14k线段MN的垂直平分线方程为y(x).2234kk34kk1在上述方程中令x0,得y.………………10分02334k4kk33当k0时,4k43;当k0时,4k43.kk33所以y0,或0y.………………12分00121233综上,y的取值范围是[,].………………13分0121220.(本小题满分13分)8\n(Ⅰ)解:B:5,2,7,2.………………3分4(Ⅱ)证明:因为ba,1nbbaa,1212bbaa,2323……bbaa,n11nnnn由于n为偶数,将上述n个等式中的第2,4,6,,n这个式子都乘以1,相加得2b(bb)(bb)(bb)a(aa)(aa)(aa)即ba,11223n1nn1223n1nn1ba.………………8分n1(Ⅲ)证明:对于数列A及其“衍生数列”B,nn因为ba,1nbbaa,1212bbaa,2323……bbaa,n11nnnn1由于n为奇数,将上述n个等式中的第2,4,6,,n1这个式子都乘以1,2相加得b(bb)(bb)(bb)a(aa)(aa)(aa)即11223n1nn1223n1nbaaa2aa.nn11nn设数列B的“衍生数列”为C,nn因为ba,cb2aa,1n11nn所以2bac,即abc,,成等差数列.………………12分111111同理可证,bcdcde,,;,,,也成等差数列.111111从而是等差数列.………………13分9\n北京市通州区2012届高三上学期期末摸底考试数学(文科)试卷2012年1月本试卷分第I卷和第II卷两部分,第I卷第1至2页,第II卷2至4页,共150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试题卷上作答无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.把正确答案选项的标号填涂在答题卡上.1.已知集合Axx|10,B|0x≤x2,那么AB等于A.xx1B.xx2C.|0xx≤1D.xx|121i2.复数等于1iA.1B.iC.1D.i3.已知向量a1,2,bm,4,且ab//,那么2ab等于A.4,0B.0,4C.4,8D.4,84.已知数列{a}是等差数列,且aa1,a11,那么数列{a}的前5项的和Sn125n5等于A.22B.25C.30D.355.已知ab,R,那么“logablog”是“ab”的1122A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如右图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B两点的距离为(其中21.414,31.732,精确到0.1)A.70.7mB.78.7mC.86.6mD.90.6m227.过圆xy125上一点M3,1的切线方程是A.2xy70B.2xy50C.xy210D.xy25028.当x3,4时,不等式logxx230恒成立,则实数a的取值范围是a11A.0,B.,1C.1,2D.2,2210\n第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应的位置上.1311511179.观察下列式子:1,1,1,…,根据以上式子可以猜想:2222222223323441111_________________.22223201210.如图,已知图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图,那么这个几何体的体积等于________________.开始n=1,x=1n=n+1n≤x=2x+1是否输出x结束(第10题图)(第11题图)11.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的x值是______________.xy≥3,12.已知不等式组xy≥1,那么zx2y的最小值是________________.x3≤0,1213.已知双曲线的一个焦点与抛物线xy的焦点相同,且双曲线的离心率是2,8那么双曲线的渐近线方程是___________________.14.下面四个命题:xx,≥0,①已知函数fx且faf44,那么a4;xx,0,②一组数据18,21,19,a,22的平均数是20,那么这组数据的方差是2;③要得到函数yxsin2的图象,只要将yxsin2的图象向左平移单位;33④已知奇函数fx()在(0,)为增函数,且f(1)0,则不等式fx()0的解集xx1.其中正确的是__________________.11\n三、解答题:本大题共6个小题,共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程.215.(本小题共13分)已知函数fxsin2x2cosx1.(Ⅰ)求函数fx的最小正周期和最大值;3(Ⅱ)求函数fx在区间,上的最大值和最小值.4416.(本小题共13分)如图,四边形ABCD是矩形,BC平面ABE,F是CE上一点,BF平面ACE,点M,N分别是CE,DE的中点.(Ⅰ)求证:MN//平面ABE;(Ⅱ)求证:AEBE.17.(本小题共13分)已知甲袋中有1只白球,2只红球;乙袋中有2只白球,2只红球,现从两袋中各取一球.(Ⅰ)两球颜色相同的概率;(Ⅱ)至少有一个白球的概率.18.(本小题共13分)已知函数fxaxln.x(Ⅰ)若曲线yfx在点1,f1处的切线与直线xy10平行,求a的值;(Ⅱ)求fx的单调区间.19.(本小题共14分)已知数列a中,aa,a2,S是数列a的前n项和,且23Snaa,nN.n12nnnn1(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求数列a的通项公式;n2n1,(Ⅲ)若bn8Tn是数列bn的前n项和,求Tn.n≥2,aann1222xy320.(本小题共14分)已知椭圆C:221(ab0)的焦点分别是F1,F2,点M1,在椭圆上,且ab2MFMF4.12(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;22xy(Ⅱ)若直线l:ykxtk0,t0与椭圆C:1交于A,B两点,点P满足APBP0,22ab3点Q的坐标是0,,设直线PQ的斜率是k,且kk2,求实数t的取值范围.11212\n(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)13\n摸底考试文科参考答案2012、1一、选择题1.C2.B3C4.B5.A6.A7.B8.B二、填空题40239.10.1011.1512.3201213.yx314.②三、解答题215.解:(Ⅰ)因为fxsin2x2cosx1,所以fxsin2xcos2x2sin2x.………………………..3分42所以.…………………………..5分2又因为1sin2x1,4所以22fx.所以函数fx的最小正周期是;最大值是2.……………………..7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知fx2sin2x.43因为x,4437所以2x.4443所以当2x,即x时,函数fx有最大值是1;44435当2x,即x时,函数fx有最小值是2.4283所以函数fx在区间,上的最大值是1,最小值是2.………………..13分4416.(Ⅰ)证明:∵点M,N分别是CE,DE的中点,∴MN是CDE的中位线.∴MNCD//.∵四边形ABCD是矩形,∴CDAB//.14\n∴MN//AB.∵AB平面ABE,MN平面ABE,∴MN//平面ABE.………………………..6分(Ⅱ)证明:∵BF平面ACE,AE平面ACE,∴BFAE.∵BC平面ABE,AE平面ACE,∴BCAE.∵BFBCB,BF平面BCE,BC平面BCE,∴AE平面BCE.∴AEBE.………………..13分17.解:设甲袋中1只白球记为a,2只红球记为bb,;乙袋中2只白球记为aa,,2只红球记为bb,.1122334所以“从两袋中各取一球”包含基本事件aa,,aa,,ab,,ab,,ba,,ba,,bb,,12131314121313bb14,,ba22,,ba23,,bb23,,bb24,共有12种.………………..4分(Ⅰ)设A表示“从两袋中各取一球,两球颜色相同”,所以事件B包含基本事件aa,,aa,,bb,,bb,,bb,,bb,共有6种.12131314232461所以PA.………………………..8分122(Ⅱ)设B表示“从两袋中各取一球,至少有一个白球”,所以事件A包含基本事件aa,,aa,,ab,,ab,,ba,,ba,,ba,,ba,共有12131314121322238种.82所以PB.……………………..13分12318.解:(Ⅰ)因为fxaxlnx,1所以fxa.x因为曲线yfx在点1,f1处的切线与直线xy10平行,所以切线的斜率k1.所以f11,即a11.所以a2.…………………..4分15\n11ax(Ⅱ)因为函数fx的定义域是0,,且fxa,xx……………………..6分①当a0时,fx0,所以fx在0,上是减函数.……………………..8分1②当a0时,令fx0,x.a11所以当a0,时,fx0,fx在0,上是减函数;aa………………..10分11当a,时,fx0,fx在,上是增函数.aa…………………..12分所以当a0时,fx的递减区间是0,;11当a0时,fx的递减区间是0,,fx的递增区间是,.aa……………..13分19.解:(Ⅰ)因为23Snaa,Saa,nn111所以a0.…………..3分nanna1n1(Ⅱ)由(Ⅰ)可知S,所以S.nn122na1n1nan所以aSS.n11nn22所以n1.anann1ann1所以当n2时,.an1nanan1a2n1n3所以,,,,an1an2a1nn12an1所以n.a2所以an21,n2.n因为aa0满足上式,116\n所以an21,nN.……………..8分n8211(Ⅲ)当n2时,b2.……………..10分n2n2n1nn1nn1又b2,1所以Tbbbnn121111222………………..12分23nn1112221n31nn131n所以T.…………..14分nn1223xy20.解:(Ⅰ)因为点M1,在椭圆C:2210ab上,且MF12MF4,2ab13所以1,2a4.22ab422所以a4,b1.2x2所以椭圆C的标准方程是y1.…………………………..3分4ykxt,222(Ⅱ)联立方程组x2消去y,得14kx8ktx4t10.2y1,42222所以64kt1614kt10,…………………………..4分22即14kt.①…………………………..5分8kt设Axy,,Bxy,,所以xx.…………………………..6分112212214k因为APBP0所以点P是AB的中点,设Pxy,,PP4kt1所以x,ykxt.…………………………..8分p2pP214k14k3因为点Q的坐标是0,,直线PQ的斜率是k,1217\n3ytk2P22314所以k.……………………..10分1x8ktP因为kk2,122tk314所以k2.8kt2所以14kt6.②…………………………..12分2所以由①,②式,可得6.tt所以0t6.所以实数t的取值范围是0t6.…………………………..14分海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科)2012.01一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数i(12i)E(A)2i(B)2i(C)2i(D)2iDC(2)如图,正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么EF=F11111111AB(A)AB+AD(B)AB-AD(C)AB+AD(D)AB-AD2222222222(3)已知数列{}a满足:a1,a0,aa1(nN*),那么使a5成立的n的最大值为()n11nnnn(A)4(B)5(C)24(D)25(4)某程序的框图如图所示,若执行该程序,则输出的i值为开始(A)5(B)6i=1,s=0(C)7(D)8i-1s=s+2ii=i+1[21世纪教育网]是s≤100否输出i(5)已知直线l:kxy10与直线l:kxy10,那么“kk”是“l∥1122121结束l”的2(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件18\n(6)函数fx()Asin(2x)(,AR)的部分图象如图所示,那么f(0)13(A)(B)1[来源:Z*xx*k.Com](C)(D)322(7)已知函数fx()xx2x,则下列结论正确的是(A)fx()是偶函数,递增区间是0,(B)fx()是偶函数,递减区间是(,1)(C)fx()是奇函数,递减区间是1,1(D)fx()是奇函数,递增区间是,022(8)点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离.已知点A(1,0),圆C:x20xy,那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是(A)双曲线的一支(B)椭圆(C)抛物线(D)射线二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,共30分,把答案填在题中横线上.22xy(9)双曲线1的离心率为.4521(10)已知抛物线yax过点A(,1),那么点A到此抛物线的焦点的距离为.4xy40,(11)若实数xy,满足2xy50,则zx2y的最大值为.y10,(12)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位:C)用茎叶图记录如下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是_____________,气温波动较大的城市是____________.甲城市乙城市90877312472204722(13)已知圆C:(xy1)8,过点A(1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧,则直线l的方程为.(14)已知正三棱柱ABCABC'''的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.设ABC,ABC'''的中心分别是OO,',现将此三棱柱绕直线OO'3旋转,射线OA旋转所成的角为x弧度(x可以取到任意一个实数),对应4正(主)视图侧(左)视图的俯视图的面积为Sx(),则函数Sx()的最大值为;最小正周19\n期为.说明:“三棱柱绕直线OO'旋转”包括逆时针方向和顺时针方向,逆时针方向旋转时,OA旋转所成的角为正角,顺时针方向旋转时,OA旋转所成的角为负角.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.3(15)(本小题满分13分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AB2,sinB.3(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)若b2,求边ac,的长.(16)(本小题满分13分)为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.(Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;(Ⅱ)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.P(17)(本小题满分13分)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,ACBDO.D(Ⅰ)若ACPD,求证:AC平面PBD;OAC(Ⅱ)若平面PAC平面ABCD,求证:PBPD;BPM(Ⅲ)在棱PC上是否存在点M(异于点C)使得BM∥平面PAD,若存在,求的PC值;若不存在,说明理由.(18)(本小题满分13分)20\nx2已知函数fx()e(xaxa),其中a是常数.(Ⅰ)当a1时,求fx()在点(1,(1))f处的切线方程;(Ⅱ)求fx()在区间[0,)上的最小值.(19)(本小题满分13分)22xy1已知椭圆C:1(ab0)的右焦点为F(1,0),离心率为.221ab2(Ⅰ)求椭圆C的方程及左顶点P的坐标;36(Ⅱ)设过点F的直线交椭圆C于AB,两点,若PAB的面积为,求直线AB的方程.1131(20)(本小题满分14分)若集合A具有以下性质:①0A,1A;②若x,yA,则xyA,且x0时,A.x则称集合A是“好集”.(Ⅰ)分别判断集合B{1,0,1},有理数集Q是否是“好集”,并说明理由;(Ⅱ)设集合A是“好集”,求证:若x,yA,则xyA;(Ⅲ)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由.y命题p:若x,yA,则必有xyA;命题q:若x,yA,且x0,则必有A;x21\n参考答案及评分标准2012.01一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案BDCACBCD二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.35(9)(10)(11)7(12)乙,乙(13)yx1或yx1(14)248;3注:(13)题正确答出一种情况给3分,全对给5分;(12)、(14)题第一空3分;第二空2分.三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)23解:(Ⅰ)因为AB2,所以cosAcos2B12sinB.因为sinB,所以311cosA12.3326(Ⅱ)由题意可知,B(0,).所以cosBB1sin.所以2322sinAsin2B2sincosBB.3ba2a46因为,b2,所以.所以a.sinBAsin3223331由cosA可知,A(0,).过点C作CDAB于D.所以32466110cacosBbcosA.23333(16)(本小题满分13分)解:基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲”.(Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的基本事件211PA有“甲乙丙,乙甲丙”,则63.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为3.(Ⅱ)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的基本事件1/67\n42有“甲乙丙,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲”,则PB.21世纪教育网所以甲、乙两支队伍出场顺632序相邻的概率为.3(17)(本小题满分14分)(Ⅰ)证明:因为底面ABCD是菱形所以ACBD.因为ACPD,PDBDD,所以AC平面PBD.(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知ACBD.因为平面PAC平面ABCD,平面PAC平面ABCDAC,BD平面ABCD,所以BD平面PAC.因为PO平面PAC,所以BDPO.因为底面ABCD是菱形,P所以BODO.所以PBPD.(Ⅲ)解:不存在.下面用反证法说明.网假设存在点M(异于点C)使得BM∥平面PAD.在菱形ABCD中,BC∥AD,[来源:21世纪教育网]MDOAC因为AD平面PAD,BC平面PAD,所以BC∥平面PAD.B因为BM平面PBC,BC平面PBC,BCBMB,所以平面PBC∥平面PAD.而平面PBC与平面PAD相交,矛盾.x2x2(18)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由fx()e(xaxa)可得fx'()e[x(a2)]x.当a1时,f(1)e,f'(1)4e.所以曲线yfx()在点(1,(1))f处的切线方程为yxe4e1,即yx4e3e.x2(Ⅱ)令fx'()e[x(a2)]0x,解得xa(2)或x0.当(a2)0,即a2时,在区间[0,)上,fx'()0,所以fx()是[0,)上的增函数.所以fx()的最小值为f(0)=a;当(a2)0,即a2时,fxfx'(),随x的变化情况如下表x21世纪教育网0(0,(a2))[来源:21世纪教育网](a2)((a2),)00fx'()↘↗fx()f(0)fa((2))a4由上表可知函数fx()的最小值为fa((2)).21世纪教育网a2e2/67\nc1222(19)解:(Ⅰ)由题意可知:c1,,所以a2.所以bac3.所以椭圆Ca222xy的标准方程为1,左顶点P的坐标是(2,0).4322xy1,(Ⅱ)根据题意可设直线AB的方程为xmy1,Axy(,),(,11Bxy22).由43可得:xmy122(3m4)y6my90.226m9所以36mm36(34)0,yy,yy.12212234m34m所以PAB的面积112SPFyy3(yy)4yy121212122236mm236181().22223m43m43m4236m122t2因为PAB的面积为,所以.令tm1,则(t1).22133m4133t1131解得t(舍),t2.所以m3.126所以直线AB的方程为xy+310或xy310.(20)(本小题满分14分)解:(Ⅰ)集合B不是“好集”.理由是:假设集合B是“好集”.因为1B,1B,所以112B.这与2B矛盾.有理数集Q是“好集”.因为0Q,1Q,1对任意的xy,Q,有xyQ,且x0时,Q.所以有理数集Q是“好集”.x(Ⅱ)因为集合A是“好集”,21世纪教育网所以0A.若xy,A,则0yA,即yA.所以x(y)A,即xyA.(Ⅲ)命题p,q均为真命题.理由如下:对任意一个“好集”A,任取xy,A,若x,y中有0或1时,显然xyA.3/67\n11111下设x,y均不为0,1.由定义可知:x1,,A.所以A,即A.所x1xxx1xx(1)以xx(1)A.22由(Ⅱ)可得:xx(1)xA,即xA.同理可得yA.若xy0或xy1,则显然2()xyA.22221若xy0且xy1,则()xyA.所以2xy(xy)xyA.所以A.[来源:212xy世纪教育网]111由(Ⅱ)可得:A.所以xyA.综上可知,xyA,即命题p为真命题.若xy2xy2xy1y1xy,A,且x0,则A.所以yA,即命题q为真命题.xxx丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01高三数学(文科)第一部分(选择题共40分)4/67\n一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x∣x<4},B={x∣x2<4},则(A)AB(B)BA(C)ARB(D)BRA1+i2.在复平面内,复数i对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限1x23.已知命题p:xR,x,命题q:xR,x0,则pqpq(A)命题是假命题(B)命题是真命题pq()pq()(C)命题是假命题(D)命题是真命题nPP(1k)(k1)4.预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算法”使用的公式是n0,其中Pn为预测人口数,P0为初期人口数,k为预测年内增长率,n为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1<k<0,那么这期间人口数(A)呈上升趋势(B)呈下降趋势开始(C)摆动变化(D)不变5.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是k=1,S=012(C)1(D)2(A)3(B)3S=S+2k1k=k+2正视图侧视图否2k≥50是2输出S俯视图6.执行如右图所示的程序框图,输出的S值为结束(A)650(B)1250(C)1352(D)50001fx()log(x)a2(1,2)7.若函数x在区间内有零点,则实数a的取值范围是555(log,1)(1,)(0,log)(1,log)2(B)22(A)2(C)2(D)25/67\n8.如图,P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点,设AP的长度为x,若△PBD的面积为f(x),则f(x)的图象大致是D1C1yyAB11PCDOxOxAB(A)(B)yyOxOx(C)(D)第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为.logxx,(0),fx()21xfa()2,(x0).210.已知函数若,则a=.[8,10)11.某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示,则数据在区间上的频数是.a2b2()aba12.若向量a,b满足,,,则向量a与b的夹角等于___.13.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S1,2S2,3S3成等差数列,则公比q等于.14.函数fx()的导函数为fx'(),若对于定义域内任意x1,x2()xx12,有fx()fx()xx1212f'()恒成立,则称fx()为恒均变函数.给出下列函数:①fx()=2x3;xx21221x②fx()x2x3;③fx()=;④fxe()=;⑤fx()=lnx.其中为恒均变函数的序号是.(写x出所有满足条件的函数序号)6/67\n三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)2x已知函数fx()2cos3sinx.2(Ⅰ)求函数fx()的最小正周期和值域;1cos2(Ⅱ)若为第二象限角,且f(),求的值.331tan16.(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是CC1,AB的中点.(Ⅰ)求证:CN⊥AB1;C1B1(Ⅱ)求证:CN//平面AB1M.A1MCBNA17.(本小题共13分)为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12,6,18个教学班.(Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数;(Ⅱ)若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比,求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.7/67\n18.(本小题共13分)xy340在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线相切.(Ⅰ)求圆O的方程;ykx3(Ⅱ)直线l:与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.19.(本小题共14分)bf(x)2axlnx已知函数x.1xf(x)(Ⅰ)若函数在x1,2处取得极值,求a,b的值;f(1)2f(x)(0,)(Ⅱ)若,函数在上是单调函数,求a的取值范围.20.(本小题共13分)fx(){}anafann=(1)nN*且n2).函数的定义域为R,数列满足({}aaafa()fa()ka(a)nN*(Ⅰ)若数列n是等差数列,12,且nn11nn(k为非零常数,且n2),求k的值;8/67\n*(Ⅱ)若fx()kxk(1),a12,bnnlnan(N),数列{}bn的前n项和为Sn,对于给定的S(mn1)S正整数m,如果mn的值与n无关,求k的值.(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01高三数学(文科)答案及评分参考一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。题号12345678答案BADBCBDA二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。xy2709.10.1或211.30112.413.314.①②注:第10,14题只写出一个答案给2分。三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15.(本小题共13分)2xfx()2cos3sinx已知函数2.fx()(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;1cos2f()(Ⅱ)若为第二象限角,且33,求1tan的值.fx()1cosx3sinx解:(Ⅰ)因为……………………1分12cos(x)3,……………………3分fx()[1,3]所以函数的周期为2,值域为.……………………5分9/67\n1f()(Ⅱ)因为33,1112cos=cos所以3,即3.……………………6分22cos2cossin1tancossin因为cos……………………8分cos(cossin)2coscossin,……………………10分22sin因为为第二象限角,所以3.……………………11分cos2122122所以1tan999.……………………13分16.(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,AC=BC,M,N分别是CC1,AB的中点.(Ⅰ)求证:CN⊥AB1;C1B1(Ⅱ)求证:CN//平面AB1M.证明:(Ⅰ)因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥底面ABC,A1所以BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥CN.…………………1分M因为AC=BC,N是AB的中点,所以CN⊥AB.……………………3分因为AB∩BB1=B,……………………4分CB所以CN⊥平面ABB1A1.……………………5分N所以CN⊥AB1.……………………6分A(Ⅱ)(方法一)连结A1B交AB1于P.……………………7分C1B1因为三棱柱ABC-A1B1C1,所以P是A1B的中点.A1因为M,N分别是CC1,AB的中点,M所以NP//CM,且NP=CM,……………………9分P所以四边形MCNP是平行四边形,……………………10分所以CN//MP.……………………11分CB因为CN平面AB1M,MP平面AB1M,………………12分N所以CN//平面AB1M.……………………14分AC1B1(方法二)取BB1中点P,连结NP,CP.……………………7分因为N,P分别是AB,BB1的中点,A1所以NP//AB1.MP10/67CBNA\n因为NP平面AB1M,AB1平面AB1M,所以NP//平面AB1M.……………………10分同理CP//平面AB1M.……………………11分因为CP∩NP=P,所以平面CNP//平面AB1M.……………………13分因为CN平面CNP,所以CN//平面AB1M.……………………14分17.(本小题共13分)为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12,6,18个教学班.(Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数;(Ⅱ)若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比,求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.解:(Ⅰ)由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3,……………………1分216=26=1所以甲学校抽取教学班数为6个,乙学校抽取教学班数为6个,丙学校抽取教学班数36=3为6个,……………………4分所以分别抽取的教学班个数为2,1,3.……………………5分AAB(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从甲、乙、丙三所中学分别抽取2,1,3个教学班,不妨分别记为1,2,1,CCC(,AA)(,AB)(,AC)1,2,3,则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为:12,11,11,(,AC)(,AC)(AB,)(AC,)(AC,)(AC,)(,BC)(,BC)(,BC)(,CC)12,13,21,21,22,23,11,12,13,12,(,CC)(CC,)13,23共15个.……………………7分设“从6个教学班中随机抽取2个教学班,至少有1个来自甲学校”为事件D,…………8分(,AA)(,AB)(,AC)(,AC)(,AC)(AB,)(AC,)则事件D包含的基本事件为:12,11,11,12,13,21,21,(AC,)(AC,)22,23共9个.……………………10分93PD()所以155.……………………12分3所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个,且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率为5.……………………13分18.(本小题共13分)11/67\nxy340在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,以O为圆心的圆与直线相切.(Ⅰ)求圆O的方程;ykx3(Ⅱ)直线l:与圆O交于A,B两点,在圆O上是否存在一点M,使得四边形OAMB为菱形,若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.xy340解:(Ⅰ)设圆O的半径为r,因为直线与圆O相切,|0304|r2所以13.……………………3分22xy4所以圆O的方程为.……………………5分ykx3(Ⅱ)(方法一)因为直线l:与圆O相交于A,B两点,|3|55dOl2kk2所以1k,解得2或2.……………………7分假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,……………………8分则OM与AB互相垂直且平分,……………………9分1d|OM|1所以原点O到直线l:ykx3的距离为2.……………………10分|3|d1Ol22所以1k,解得k8,……………………11分即k22,经验证满足条件.……………………12分所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形.……………………13分Cxy(,)(方法二)记OM与AB交于点00.1yx因为直线l斜率为k,显然k0,所以OM直线方程为k.……………………7分3kxykx30k21yx1y366k02M(22,)k,解得k1,所以点M坐标为kk11,………………9分12/67\n6k262()()4222因为点M在圆上,所以k1k1,解得k8,……………………11分即k22,经验证满足条件.……………………12分所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形.……………………13分19.(本小题共14分)bf(x)2axlnx已知函数x.1xf(x)(Ⅰ)若函数在x1,2处取得极值,求a,b的值;f(1)2f(x)(0,)(Ⅱ)若,函数在上是单调函数,求a的取值范围.b1fx()2a2解:(Ⅰ)xx,……………………2分f(1)01f()0由2,……………………4分1a3b13可得.……………………6分f(x)(0,)(Ⅱ)函数的定义域是,……………………7分f(1)2因为,所以b2a1.……………………8分22axx(2a1)(x1)[2ax(2a1)]fx()22所以xx,……………………9分f(x)(0,)fx()≥0fx()≤0(0,)要使在上是单调函数,只要或在上恒成立.……………………10分x1fx()0x2f(x)(0,)当a0时,恒成立,所以在上是单调函数;………………11分13/67\n2a11x11fx()0x12当a0时,令,得1,2a2a,f(x)(0,)此时在上不是单调函数;……………………12分10a≤当a0时,要使f(x)在(0,)上是单调函数,只要12a≥0,即2.…………13分1a[0,]综上所述,a的取值范围是2.……………………14分20.(本小题共13分)fx(){}anafann=(1)nN*且n2).函数的定义域为R,数列满足({}aaafa()fa()ka(a)nN*且(Ⅰ)若数列n成等差,12,且nn11nn(k为非零常数,n2),求k的值;*(Ⅱ)若fx()kxk(1),a12,bnnlnan(N),数列{}bn的前n项和为Sn,对于给定的S(mn1)S正整数m,如果mn的值与n无关,求k的值.解:(Ⅰ)当n2时,afa()fa()fa()ka(a)因为nn1,nn11nn,aafa()fa()ka(a)所以n1nnn1nn1.{}aaaaa因为数列n是等差数列,所以n11nnn.因为an11anka()nan,所以k1.……………………6分(Ⅱ)因为fx()kxk(1),a12,且ann1fa(),aka所以nn1.{}a所以数列n是首项为2,公比为k的等比数列,n1ak2所以n.blnaln2(n1)lnk所以nn.14/67\nbblnk因为nn1,{}b所以n是首项为ln2,公差为lnk的等差数列.()bbn(n1)1nnk[ln2ln]S所以n22.[(mn1)1](m1){ln2nln}kS(mn1)2(m1)[(m1)lnnk2ln2ln]kS(mn1)mmn[lnk2ln2ln]kmnmn[ln2ln]k因为2,S(mn1)S又因为mn的值是一个与n无关的量,2ln2lnkk2ln2lnmnlnk(m1)lnnk所以,解得k4.……………………13分(若用其他方法解题,请酌情给分)北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学文科15/67\n第Ⅰ卷(选择题共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。(1)已知集合Axx0,B0,1,2,则(A)AB(B)BA(C)ABB(D)AB1(2)复数1在复平面上对应的点的坐标是i(A)(1,1)(B)(1,1)(C)(1,1)(D)(1,1)(3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为33aa(A)(B)a2633aaaa(C)(D)正(主)视图侧(左)视图1218(4)下列命题中正确的是(A)如果两条直线都平行于同一个平面,那么这两条直线互相平行(B)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直俯视图(C)如果一条直线平行于一个平面内的一条直线,那么这条直线平行于这个平面(D)如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线共面xx(5)设x0,且1ba,则(A)01ba(B)01ab(C)1ba(D)1ab222(6)在平面直角坐标系内,若曲线C:xy2ax4ay5a40上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为(A),2(B),1(C)1,(D)2,(7)函数fx()sin(x)(其中)的图象如图所示,为了得到gx()sinx的图象,2则只要将fx()的图象(A)向右平移个单位长度(B)向右平移个612单位长度(C)向左平移个单位长度(D)向左平移个单位长度612(8)在平面直角坐标系xOy中,已知向量OA与OB关于y轴对称,向量a(1,0),则满足不等2式OAaAB0的点A(x,y)的集合用阴影表示为16/67--2\n第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。(9)已知向量a=(3,-2),b(3mm1,4),若ab,则m的值为.(10)已知sin2cos,则tan2的值为.3x,x0,5(11)已知函数f(x)则f()的值为.f(x1),x0,6(12)在等差数列a中,若aa4,aa2,则数列a的公差等于;其前n项n5768n和S的最大值为.n(13)对于函数fx()lgx21,有如下三个命题:①f(x2)是偶函数;②f(x)在区间(,2)上是减函数,在区间2,上是增函数;③f(x2)f(x)在区间2,上是增函数.其中正确命题的序号是.(将你认为正确的命题序号都填上)(14)在平面内,已知直线l∥l,点A是l,l之间的定点,点A到l,l的距离分别为3和2,121212点B是l上的一个动点,若ACAB,且AC与l交于点C,则△ABC面积的最小值为____.21三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(15)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sinBBcos1.5(Ⅰ)若A,b1,求c;12(Ⅱ)若a2c,求A.17/67\n(16)(本小题共13分)在等差数列a中,a3,其前n项和为S,等比数列b的各项均n1nnS2为正数,b1,公比为q,且bS12,q.122b21(Ⅰ)求a与b;(Ⅱ)设数列c满足c,求c的前n项和T.nnnnnnSn(17)(本小题共14分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,PA平面ABCD,E是PC中点,F为线段AC上一点.P(Ⅰ)求证:BDEF;(Ⅱ)试确定点F在线段AC上的位置,使EF//平面PBD,并说明理由.EADFBC1322(18)(本小题共13分)已知函数f(x)xmx3mx1(m0).3(Ⅰ)若m1,求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若函数f(x)在区间(2mm1,1)上单调递增,求实数m的取值范围.22xy(19)(本小题共13分)已知椭圆10ab的左、右焦点分别为F,F,点M0,22212ab是椭圆的一个顶点,△FMF是等腰直角三角形.12(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k,k,且121kk8,证明:直线AB过定点(,2).12218/67\n(20)(本小题共14分)已知M是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意f(x)M,①方程f(x)x0有实数根;②函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.xsinx(Ⅰ)判断函数f(x)是否是集合M中的元素,并说明理由;24(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意m,nD,都存在xm,n,使得等式f(n)f(m)(nm)f(x)成立.试用这一性质证明:方程00f(x)x0有且只有一个实数根.东城区2011-2012学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)(1)B(2)D(3)A(4)D(5)C(6)D(7)A(8)B二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)41(9)1(10)(11)(12)357(13)①②(14)326注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.三、解答题(本大题共6小题,共80分)19/67\n1(15)(共13分)解:(Ⅰ)由已知3sinBcosB1,整理得sin(B).因为0B,6255所以B.故B,解得B.由A,且ABC,得C.666663124cbc16由,即,解得c.sinCsinB3sinsin4322222221(Ⅱ)因为bac2accosB,又a2c,B,所以b4cc4c,解得32222b3c.由此得abc,故△ABC为直角三角形,A.2b2S212,q6d12,(16)(共13分)解:(Ⅰ)设an的公差为d,因为qS2,所以q6d.b2qn1解得q3或q4(舍),d3.故a33(n1)3n,b3.nnn(33n)12211(Ⅱ)因为S,所以c().nn2Sn(33n)3nn1n211111212n故T(1)()()(1).n3223nn13n13(n1)(17)(共14分)证明(Ⅰ)因为PA平面ABCD,所以PABD.又四边形ABCD是正方形,所以ACBD,PAACA,所以BD平面PAC,又EF平面PAC,所以BDEF.P3(Ⅱ):设AC与BD交于O,当F为OC中点,即AFAC时,EF∥平面PBD.4理由如下:连接PO,因为EF//平面PBD,EF平面PAC,平面PAC平面PBDEPO,所以EF∥PO.在△POC中,E为PC的中点,所以F为OC中点.AD在△POC中,E,F分别为PC,OC的中点,所以EF∥PO.OFB又EF平面PBD,PO平面PBD,故EF//平面PBD.C13285(18)(共13分)解:(Ⅰ)当m1时,f(x)xx3x1,f(2)461.33325f'(x)x2x3,f'(2)4435.所以所求切线方程为y5(x2)即320/67\n15x3y250.22(Ⅱ)f'(x)x2mx3m.令f'(x)0,得x3m或xm.由于m0,f(x),f(x)的变化情况如下表:x3mm(,3m)(3m,m)(m,)+0—0+f'(x)单调增极大值单调减极小值单调增f(x)所以函数f(x)的单调递增区间是(,3)m和(,m).要使f(x)在区间(2mm1,1)上单调递增,1应有m1≤3m或2m1≥m,解得m≤或m≥1.又m0且mm121,4所以1≤m2.即实数m的取值范围m1m2.222xy2(19)(共13分)解:(Ⅰ)由已知可得b2,a2b8,所求椭圆方程为1.84(Ⅱ)若直线AB的斜率存在,设AB方程为ykxm,依题意m2.设A(x,y),B(x,y),112222xy21,2224km2m8由84得12kx4kmx2m80.则x1x222,xx12.ykxm,12kk12yy22kxm22kxmxx121212由已知8,所以8,即2km28.xxxxxx121212mk111所以k4,整理得mk2.故直线AB的方程为ykxk2,即yk(x)m22222.1所以直线AB过定点(,2).若直线AB的斜率不存在,设AB方程为xx,02yy221100设Axy(,),Bx(,y),由已知8,得x.此时AB方程为x,00000xx22001显然过点(,2).21综上,直线AB过定点(,2).221/67\n(20)(共14分)解:(Ⅰ)因为①当x0时,f(0)0,所以方程f(x)x0有实数根0;1113xsinx②f(x)cosx,所以f(x),,满足条件0f(x)1;由①②,函数f(x)244424是集合M中的元素.(Ⅱ)假设方程f(x)x0存在两个实数根,(),则f(α)α0,f(β)β0.不妨设,根据题意存在c(,),满足f(β)f(α)(βα)f(c).因为f(),f(),且,所以f(c)1.与已知0f(x)1矛盾.又f(x)x0有实数根,所以方程f(x)x0有且只有一个实数根.北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(文史类)2012.1(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题共40分)注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合M{|xx3},N{|logxx1},则MN等于()21A.B.{x|x3}2C.{x|0x3}D.{|2xx3}2.已知平面向量a(3,1),b(,3)x,且a⊥b,则实数x的值为()22/67\nA.9B.1C.1D.92x(x0)3.函数y的图象大致是()x21(x0)4.设数列an是公差不为0的等差数列,a11且aaa1,,36成等比数列,则an的前n项和Sn等于()222nn7nn7nn32A.B.C.D.nn8844245.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.1B.1C.2D.0x26.函数fx()2a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()xA.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)7.已知函数fx()sinx3cosx,设af(),bf(),cf(),则abc,,的大小关763系是()A.abcB.cabC.bacD.bca28.已知集合A{(,)|xyxny,nabn,Z},B{(,)|xyxm,ym312,mZ}.若存在实数ab,使得AB成立,称点(,)ab为“£”点,则“£”点在平面区域22C{(,)|xyxy108}内的个数是()A.0B.1C.2D.无数个第二部分(非选择题共110分)23/67\n二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.x1,9.若变量x,y满足约束条件yx,则z2xy的最大值为.2xy36,10.已知有若干辆汽车通过某一段公路,从中抽取200辆汽车进行测速分析,其时速的频率分布直方图如图所示,则时速在区间[60,70)上的汽车大约有辆.频率组距004003002001O4050607080时速(km/h)11.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体3积是.22主视图2侧视图2俯视图2212.设直线xmy10与圆(xy1)(2)4相交于A,B两点,且弦AB的长为23,则实数m的值是.13.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与2机器运转时间x(年数,xN)的关系为yx18x25.则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.14.已知两个正数ab,,可按规则cabab扩充为一个新数c,在abc,,三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.(1)若ab1,3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________;mn(2)若pq0,经过6次操作后扩充所得的数为(qp1)(1)1(mn,为正整数),则mn,的值分别为______________.24/67\n三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本题满分13分)在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足3a2sinbA0.(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)若b7,c2,求ABAC的值.16.(本题满分14分)如图,在四棱锥SABCD中,平面SAD平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB的中点.(Ⅰ)求证:CD平面SAD;S(Ⅱ)求证:PQ//平面SCD;(Ⅲ)若SASD,M为BC中点,在棱SC上是否存在点N,Q使得平面DMN⊥平面ABCD,并证明你的结论.CDP·M17.(本题满分13分)AB如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每5个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘,得分记为A23(,)ab(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次32活动).5(Ⅰ)请列出一个家庭得分(,)ab的所有情况;(Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和,且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品.请问一个家庭获奖的概率为多少?18.(本题满分13分)2ax设函数fx()alnx2,xaR.2(Ⅰ)当a1时,试求函数fx()在区间[1,e]上的最大值;(Ⅱ)当a0时,试求函数fx()的单调区间.19.(本题满分13分)22xy13已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且过点P(1,),F为其右焦点.22ab22(Ⅰ)求椭圆C的方程;25/67\n(Ⅱ)设过点A(4,0)的直线l与椭圆相交于M、N两点(点M在AN,两点之间),若△AMF与△MFN的面积相等,试求直线l的方程.20.(本题满分14分)数列{}a,{}b(n1,2,3,)由下列条件确定:①ab0,0;②当k2时,a与bnn11kkababk1k1k1k1满足:当ab0时,aa,b;当ab0时,a,k1k1kk1kk1k1k22bb.kk1(Ⅰ)若a1,b1,求a,a,a,并猜想数列{a}的通项公式(不需要证明);11234n(Ⅱ)在数列{b}中,若bbb(s3,且sN*),试用a,b表示b,k{1,2,,s};n12s11k2m122(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列{c}(nN*)满足c,c0,ccc(其n1nn1nn2mam中m为给定的不小于2的整数),求证:当nm时,恒有c1.n北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷(文史类)答案2012.1一、选择题:题((((((((号1)2)3)4)5)6)7)8)答DBBADCBA案二、填空题:题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)183答案8033582558,1353注:若有两空,则第一个空3分,第二个空2分.三、解答题:(15)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由3a2sinbA0,根据正弦定理得:26/67\n3sinA2sinsinBA0.………………………………………………………3分3因为sinA0,所以sinB.………………………………………………5分2又B为锐角,则B.…………………………………………………6分3(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,B.因为b7,c2,32根据余弦定理,得7aa44cos,……………………………………8分32整理,得aa230.由于a0,得a3.……………………………10分222bca7497于是cosA,………………………………11分2bc47147所以ABACABACcosAcbcosA271.……………13分14(16)(本小题满分14分)证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD为正方形,则CDAD.…………………1分又平面SAD平面ABCD,且面SAD面ABCDAD,所以CD平面SAD.………………………………………………………3分(Ⅱ)取SC的中点R,连QR,DR.S1由题意知:PD∥BC且PD=BC.…………………4分R(N)2Q在SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,C1D所以QR∥BC且QR=BC.PO·2M所以QR∥PD且QR=PD,AB则四边形PDRQ为平行四边形.…………………………………………………7分所以PQ∥DR.又PQ平面SCD,DR平面SCD,所以PQ∥平面SCD.……………………………………………………………10分(Ⅲ)存在点N为SC中点,使得平面DMN平面ABCD.………………11分连接PCDM、交于点O,连接PM、SP,因为PDCM//,并且PDCM,所以四边形PMCD为平行四边形,所以POCO.又因为N为SC中点,所以NOSP//.………………………………………………………………………12分因为平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCD=AD,并且SPAD,27/67\n所以SP平面ABCD,所以NO平面ABCD,……………………………………………………13分又因为NO平面DMN,所以平面DMN平面ABCD.……………………………………………………14分(17)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由题意可知,一个家庭的得分情况共有9种,分别为(2,2),(2,3),(2,5),(3,2),(3,3),(3,5),(5,3),(5,2),(5,5).…………………………………………………………7分(Ⅱ)记事件A:一个家庭在游戏中获奖,则符合获奖条件的得分情况包括(2,2),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)共5种,……………………………………………11分5所以PA().95所以一个家庭获奖的概率为.…………………………………………………13分9(18)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)函数fx()的定义域为(0,).………………………………………………1分22x1(x1)当a1时,fx()lnx2x,因为fx()x20,…3分2xx所以函数fx()在区间[1,e]上单调递增,则当x=e时,函数fx()取得最大值2ef(e)12e.…………………………………………………………………5分22ax2xa(Ⅱ)fx().………………………………………………………6分x当a0时,因为fx()20,所以函数fx()在区间(0,)上单调递减;…7分2当a0时,⑴当44a0时,即a1时,fx()0,所以函数fx()在区间(0,)上单调递增;…………………………………………………………9分2⑵当44a0时,即01a时,由fx()0解得,2211a11a0x,或x.…………………………………………10分aa2211aa11由fx()0解得x;………………………………11分aa211a所以当01a时,函数fx()在区间(0,)上单调递增;在a28/67\n22211aa1111a(,)上单调递减,(,)单调递增.………13分aaa(19)(本小题满分13分)c1解:(Ⅰ)因为,所以ac2,bc3.…………………………………1分a222xy313设椭圆方程为1,又点P(1,)在椭圆上,所以1,222243cc244cc2解得c1,…………………………………………………………………………3分22xy所以椭圆方程为1.…………………………………………………………4分43(Ⅱ)易知直线l的斜率存在,设l的方程为ykx(4),……………………………………………………………5分ykx(4),由xy22消去y整理,得1,432222(34)kx32kx64k120,………………………………………………6分2222由题意知(32)k4(34)(64kk12)0,11解得k.……………………………………………………………………7分222232k64k12设Mxy(,)11,Nxy(,22),则xx122,①,xx122.…②.34k34k因为△AMF与△MFN的面积相等,所以AMMN,所以24xx.③……………………………………10分122416k由①③消去x2得x12.④34k264k12将xx2124代入②得xx11(24)2.⑤34k222416k416k64k12将④代入⑤(24),22234k34k34k29/67\n25整理化简得36k5,解得k,经检验成立.…………………………12分65所以直线l的方程为yx(4).…………………………………………13分6(20)(本小题满分14分)ab11(Ⅰ)解:因为ab0,所以aa1,b0.……1分112122ab122因为ab10,则a,bb0.………………2分2233222aba1333a.……………………………………………………3分42222nn22111猜想当n2时,aa1.n2n22221,n1,则an1…………………………………………………………4分,n2.n22(Ⅱ)解:当2ks时,假设ab0,根据已知条件则有bb,kk11kk1与bbb矛盾,因此ab0不成立,……………………5分12skk11所以有ab0,从而有aa,所以aa.……………………6分kk11kk1k1abk1k1当ab0时,aa,b,k1k1kk1k2ab1kk11所以baa()ba;…………………………8分kkk1k1k1221当2ks时,总有ba()ba成立.kkk11k2又ba0,111所以{ba}(k1,2,,s)是首项为ba,公比为的等比数列,……9分kk11230/67\nk11bkak(b1a1),ks1,2,,,2k11又因为aka1,所以bk(b1a1)a1.…………………………10分22m22(Ⅲ)证明:由题意得cccn1nnmam12cc.nnm1212因为ccc,所以ccc0.n1nnn1nnmm所以数列{}c是单调递增数列.………………………………………………11分n因此要证c1(nm),只须证c1.nm121111由m2,则ccc<ccc,即.…12分n1nnnn1nmmccmnn111111111因此()()()ccccccccmmm1m1m2211m1m12.mmm所以c1.mm1故当nm,恒有c1.………………………………………………………14分n31/67\n北京房山区2011-2012学年度第一学期期末统测试题高三数学(文科)考1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间为生120分钟.须2.第Ⅰ卷选择题所有答案必须填涂在机读卡上,第Ⅱ卷非选择题直接在试卷上作答.知3.考试结束后,将机读卡和试卷一并交回.第I卷选择题(共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)1.已知集合M0,1,2,3,4,1,3,5,则MN()A.1,2,3B.1,3,5C.1,3D.1,522.若xR,则“x1”,则“x1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件32/67\n3.等差数列{a}中,a2,则S等于()n47A.7B.14C.28D.3.54.已知a,bR,且ab,则下列不等式中成立的是()a22A.1B.abbabC.lgalgbD.33x2,5.平面上满足约束条件xy0,的点(,)xy形成的区域为D,则区域D的面积为()xy60A.1B.2C.3D.46.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是()213343A.3aB.aC.aD.a33主左视a视图图DC俯a视图ABa117.设向量a(0,1),b(,),则下列结论中不正确的是()222A.bB.a,b24C.ab与b平行D.ab与b垂直8.△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的周长为()3A.43sin(B)3B.43sin(B)336C.6sin(B)3D.6sin(B)33633/67\n第II卷非选择题(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题纸上指定位置.12i9.若复数的实部为a,虚部为b,则ab=.1i10.某高校中文、数学、英语、体育四个专业分别有400、300、150、150名学生,为了了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取n名学生进行调查,其中中文学生抽取了16名,则体育专业抽取的学生人数为人.2211.已知圆C:(x2)(y1)1,则经过圆C的圆心,且焦点在x轴上的抛物线标准方程是.12.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是.开始是?否输出i结束x1,x013.已知函数f(x)2,若fx()2,则x.logx,x02*14.设函数f(x)axb,其中a,b为常数,f(x)f(x),f(x)f(f(x)),nN,若1n1nf(x)8x21,则ab,f(x).3n三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)34/67\n2设函数f(x)3sin2x2cosx2.(I)求f(x)的最小正周期和值域;(II)求f(x)的单调递增区间.16.(本小题共13分)编号为AA,,,A的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:1216运动员编号AAAAAAAA12345678得分1535212825361834运动员编号A[来源:学|科|网Z|X|X|K]AAAAAAA910111213141516得分[来源:学#科#网Z#X#X#K]1726253322123138[来源:学科网ZXXK](Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格;区间10,2020,3030,40人数(Ⅱ)从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人,用运动员的编号列出所有可能的抽取结果,并求这2人得分之和大于50分的概率.35/67\n17.(本小题共13分)在几何体ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC,F是BC的中点,AB=AC=BE=2,2CD=1.E(I)求证:DC∥平面ABE;(II)求证:AF⊥平面BCDE;D(III)求几何体ABCDE的体积.FCBA36/67\n18.(本小题共14分)332已知函数f(x)xaxa,aR.2(I)若曲线yf(x)在点(4,f(4))处切线的斜率为12,求a的值;(II)若x[0,1],求函数f(x)的最小值.37/67\n19.(本小题共14分)22xy2已知椭圆G:1(ab0)的离心率为e=,椭圆G上的点N到两焦点的距离之和为12,22ab3点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PAPF.(I)求椭圆G的方程;(II)求点P的坐标;(III)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.38/67\n20.(本小题共13分)*已知数列a中,a2,且满足aa1,nN.n1n1n(I)求数列a的通项公式;n(II)设b4nn(1)12(an为非零整数,nN*),试确定的值,使得对任意nN*,都n有bb成立.n1n房山区2012年高三统练参考答案(数学文科)39/67\n才1[C]6[B]单2[A]7[C]选3[B]8[D]题4[D]5[A]二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分).9.____1___.10._6____.2111.yx212._63_____.13.-1或4.nn14.6,2x323.三、解答题:本大题共6小题,共80分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).40/6715.(本小题共13分)2解:(I)f(x)=3sin2xx2cos2\n16.(本小题共13分)41/67解:(I)区间10,2020,3030,40人数466......................4分\n17.(本小题共13分)42/67证明:(I)∵DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC∴DC//EB,又∵DC平面ABE,EB平面ABE,∴DC∥平面ABE………………..4分(II)∵DC⊥平面ABC,AF平面ABC\n18.(本小题共14分)43/67解:(I)f(x)的定义域为R…………1分3322∵f(x)xaxa∴f(x)3x3ax2,…………2分yf(x)a32f(x)3x3axf(x)3x(xa)0x0xa12f(x)0f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)\n19.(本小题共14分)44/67解:(I)∵椭圆G上的点M到两焦点的距离之和为12,∴2a12,a6……………1分c2∵e=,∴c4……………2分a3\n20.(本小题共13分)45/67*解:(I)∵aa1,nNn1n*∴aa1,nN……………2分nn1∴数列a是以2为首项,1为公差的等差数列……………4分n\n46/67
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