吉林省2022学年东北师范大学附属中学上学期期中考试高一数学试卷

吉林省东北师范大学附属中学2022-2022学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，则A∪B为（　　）A.{x|−1<x<6}B.{x|1<x<6}C.{x|1≤x<6}D.){x|x>−1}2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　）A.y=x−1与y=(x−1)2B.y=x−1与y=x−1x−1C.y=4lgx与y=2lgx2D.y=(3x)3与y=x3.函数f（x）=3x21−x+lg(3x+1)的定义域是（　　）A.[−13,1]B.(−13,1)C.(13,1)D.[−1,−13]4.函数f（x）=e−x2+4x−9的单调递增区间是（　　）A.(−2,+∞)B.(2,+∞)C.(−∞,−2)D.(−∞,2)5.函数f（x）=loga|x|+1（0＜a＜1）的图象大致为（　　）A.B.C.D.6.设a=0.45，b=50.4，c=log30.4，则a、b、c的大小关系是（　　）A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c7.已知扇形的周长是3cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为（　　）A.12sin1B.12cm2C.1cm2D.2cm28.函数f（x）=1gx+x-2的零点所在的区间是（　　）A.(1100,110)B.(110,1)C.(1,2)D.(3,4)9.若f（x）=ax3+x+c在[a，b]上是奇函数，则a+b+c+2的值为（　　）A.−1B.0C.1D.210.已知f（x）=logax+2a,x≥1x2−4ax+3,x<1满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0成立，那么a的取值范围是（　　）A.(0,12]B.[12,1)C.[12,23]D.[23,1)11.已知函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，若正数x1，x2，…，x2022满足x1•x2…x2022=81，则g（x12）+g（x22）+…g（x20222）+g（x20222）的值等于（　　）13/13\nA.4B.8C.16D.641.设f（x）=|3x-1|，若关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点，则实数t的取值范围为（　　）A.(0,12)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,1]二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）2.设函数f（x）=1−log2x,x>121−x,x≤1，则f[f（4）]=______．3.函数f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域为______．4.已知函数f（x）=x2-2ax+1，若对任意的x∈（0，2]，恒有f（x）≥0，则实数a的最大值为______．5.已知函数f（x）=12x2−ex−1ex+1，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）6.求下列各式的值：（1）3lg4+5lg25+1g1625；（2）（2a23b12）•（-6a12b13）÷（-3a16b56）．7.已知集合A={x|x2-5x-6≤0}，B={x|x-3a＜0}．（1）当a=13时，求B∩（∁RA）；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．8.经市场调查，某种商品在进价基础上每涨价1元，其销售量就减少10个，已知这种商品进价为40元/个，若按50元一个售出时能卖出500个．（1）请写出售价x（x＞40）元与利润y元之间的函数关系式；（2）试计算当售价定为多少元时，获得的利润最大，并求出最大利润．13/13\n1.已知函数f（x）=x|x-1|-a．（1）当a=0时，在给定的直角坐标系内画出f（x）的图象，并写出函数的单调区间；（2）讨论函数y=f（x）零点的个数．2.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数y=f（x）满足f（xy）=f（x）-f（y），且函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（1）求f（-1），并证明函数y=f（x）是偶函数；（2）若f（4）=2，解不等式f（x-5）-f（3x）≤1．3.已知函数f（x）=log2（2x+1）+ax，x∈R．（1）若f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞0时，判断f（x）的单调性，不需要证明；（3）当a＞0时，关于x的方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．13/13\n13/13\n答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜6}，B={x|x≥1}，∴A∪B={x|x＞-1}．故选：D．先分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：A．y=x-1与的解析式不同，两函数不相同；B.的定义域为[1，+∞），的定义域为（1，+∞），定义域不同，两函数不相同；C．y=4lgx与y=2lgx2=4lg|x|的解析式不同，两函数不相同；D.的定义域为R，y=x的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同．故选：D．通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D．考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．3.【答案】B【解析】解：欲使f（x）有意义，则有，解得-＜x＜1．∴f（x）的定义域是（-，1）．故选：B．求函数f（x）的定义域，即求使f（x）有意义的x的取值范围．本题属基础题，考查了函数的定义域及其求法，解析法给出的函数要使解析式有意义，具有实际背景的函数要考虑实际意义．4.【答案】D【解析】解：因为y=ex，是指数函数，是增函数，y=-x2+4x-9是开口向下的二次函数，所以x＜2时，二次函数y=-x2+4x-9是增函数，x＞2时，y=-x2+4x-9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f（x）=e的单调递增区间是（-∞，2）．13/13\n故选：D．利用指数函数的单调性以及二次函数的性质，转化求解即可．本题考查复合函数的单调性的判断．二次函数的性质的应用，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解：由于函数f（x）=loga|x|+1（0＜a＜1）是偶函数，图象关于y轴对称．当x＞0时，f（x）=logax+1，是减函数．当x＜0时，f（x）=loga（-x）+1，是增函数．再由图象过（1，1）、（-1，1）可得，应选A，故选：A．函数是偶函数，图象关于y轴对称，x＞0时，单调递减；x＜0时，单调递增，且图象过（1，1）、（-1，1），由此得出结论．本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：0＜0.45＜0.40=1，50.4＞50=1，log30.4＜log31=0；∴b＞a＞c．故选：D．容易得出：0＜0.45＜1，50.4＞1，log30.4＜0，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义．7.【答案】A【解析】解：由题意可得：3r=3，解得r=1．∴该扇形的面积==sin1．故选：A．由题意可得：3r=3，解得r．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f（x）=1gx+x-2是连续增函数，因为f（1）=-1＜0，f（2）=lg2+2-2＞0，所以f（1）f（2）＜0，由零点存在定理可知，函数的零点在（1，2）．故选：C．利用函数的单调性以及连续性，通过零点判定定理推出选项即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：∵奇函数的定义域关于原点对称，所以a+b=0∵奇函数的图象关于原点对称，∴f（-x）=-f（x）13/13\n即ax2-x+c=-ax2-x-c∴2ax2+2c=0对于任意的x都成立∴a=c=0，则b=0．∴a+b+c+2=2．故选：D．利用奇函数的定义可知其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，从而建立关于a，b，c的方程，即可的结果．本题考查了奇函数的定义及特点，注意函数定义域的特点，是个基础题．10.【答案】C【解析】解：f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，开始分段函数是减函数，所以：，解得a∈[]．故选：C．判断函数的单调性．利用分段函数，结合单调性棱长不等式组求解即可．本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：由函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，则g（x）=log3x，所以g（x12）+g（x22）+…g（x20222）+g（x20222）=log3（x1•x2…x2022）2=2log3x1•x2…x2022=2log381=8，故选：B．由反函数的求法得：由函数f（x）=3x，函数g（x）是f（x）的反函数，则g（x）=log3x，由对数的运算求值得：g（x12）+g（x22）+…g（x20222）+g（x20222）=2log3x1•x2…x2022=2log381=8，得解本题考查了反函数的求法及对数的运算求值，属中档题12.【答案】C【解析】解：令m=f（x），则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可13/13\n变为h（m）=m2-（1+t）m+t，设m1，m2为关于m的函数h（m）=m2-（1+t）m+t的零点，则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点等价于函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的交点之和为3个，则需函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的位置关系如图所示，又h（1）=0，由图可知：0＜m1＜1=m2，由韦达定理可得：t=m1×m2=m1∈（0，1），故选：C．由函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系得：关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t可变为h（m）=m2-（1+t）m+t，设m1，m2为关于m的函数h（m）=m2-（1+t）m+t的零点，则关于x的函数g（x）=f2（x）-（1+t）f（x）+t有三个不同的零点等价于函数m=f（x）的图象与直线m=m1，m=m2的交点之和为3个，由韦达定理得：因为h（1）=0，由图可知：0＜m1＜1=m2，由韦达定理可得：t=m1×m2=m1∈（0，1），得解本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系及韦达定理，属中档题13.【答案】4【解析】解：∵函数f（x）=，∴f（4）=1-log24=1-2=-1，f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．故答案为：4．由已知条件利用分段函数的性质得f[f（4）]=f（-1）=21-（-1）=4．本题考查分段函数的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．14.【答案】[-4，0]【解析】13/13\n解：令，则y=t2-4t=（t-2）2-4，当t=4时，ymax=0；当t=2时，ymin=-4；故函数f（x）=4x-2x+2，x∈[-1，2]的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．令，则y=t2-4t，利用二次函数的性质求解．本题考查函数的值域求法，运用换元法，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：由题意，可知：二次函数f（x）=x2-2ax+1的开口向上，且对称轴为x=a．∴在区间（0，2]上，要使f（x）≥0恒成立．①当a≤0时，必须有f（0）≥0，∵f（0）=1≥0，∴a≤0满足题意．②当0＜a≤2时，必须有f（a）≥0，∵f（a）=a2-2a2+1=1-a2≥0，解得：-1≤a≤1∵0＜a≤2．∴0＜a≤1．③当a＞2时，必须有f（2）≥0，∵f（2）=4-4a+1=5-4a≥0，解得：a≤．∵前提条件是a＞2，∴a≤不符合题意．综上所述，可得a的取值范围为（-∞，1]．故答案为：1．本题可根据二次函数的特点对参数a进行分类讨论，因为x的定义域为（0，2]，所以就要分a在定义域左边、中间、右边来分类，分别考虑使f（x）≥0恒成立时a的取值范围，最后综合a的取值范围即可得到实数a的最大值．本题主要考查二次函数定义域确定，而对称轴不确定的情况下对称轴进行分类讨论的题型，本题属中档题．16.【答案】[2，+∞）【解析】解：∵f（x）=，∴f（x）-=，设g（x）=f（x）-=，13/13\n则g（-x）=-=-==-g（x），即g（x）是奇函数，g（x）==-=-1+，则g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∵f（x）=+g（x）∴f（4-m）-f（m）≥8-4m，等价为（4-m）2+g（4-m）-g（m）-•m2≥8-4m，即g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，即g（4-m）-g（m）≥0，即g（4-m）≥g（m）∵g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∴4-m≤m，即m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）根据条件进行转化，构造函数g（x）=f（x）-=，研究函数g（x）的奇偶性和单调性，利用函数单调性的性质进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，利用函数性质研究函数的单调性，结合函数单调性进行转化是解决本题的关键，综合性较强．17.【答案】解：（1）原式=lg(43×255×1625)=lg106=6．（2）原式=2×(−6)−3a23+12−16b12+13−56=4a．【解析】（1）利用对数运算性质即可得出．（2）利用指数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）当a=13时，B={x|x＜1}，A={x|x2-5x-6≤0}={x|-1≤x≤6}，则∁RA={x|x＞6或x＜-1}，则B∩（∁RA）={x|x＜-1}（2）若A∪B=B，则A⊆B，B={x|x-3a＜0}={x|x＜3a}．则3a＞6，即a＞2，即实数a的取值范围是（2，+∞）．【解析】（1）结合补集和交集的定义进行计算即可．（2）根据A∪B=B得A⊆B，结合子集关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件，结合交集补集的定义是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）由售价为x元，可得该商品每个涨价x-50元，其销售量将减少10（x-50）个．即有利润y=（10+x-50）（500-10（x-50））=10（x-40）（100-x）13/13\n=10（-x2+140x-4000）（2）y=（10+x-50）（500-10（x-50））=10（-（x-70）2+900），当x=70时，y取得最大值，且为9000元．故每个商品的售价为70元能够使得利润y元最大，利润的最大值为9000元．【解析】（1）可得该商品每个涨价x-50元，其销售量将减少10（x-50）个．即有利润y=（10+x-50）（500-10（x-50）），（2）利用函数的解析式，结合二次函数的性质运用配方，即可得到最大值及x的值．本题考查二次函数的最值问题，列出函数的解析式，运用配方，是解决二次函数的常用方法．20.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=x(1−x),(x<1)x(x−1),(x≥1)，则函数y=f（x）的图象如图所示，（2）函数y=f（x）零点的个数等价于函数y=x|x-1|的图象与直线y=a的交点个数，由（1）得：①当a＜0或a＞14时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=14时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜14时，函数y=f（x）零点的个数3个，故答案为：①当a＜0或a＞14时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=14时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜14时，函数y=f（x）零点的个数3个，【解析】（1）由当a=0时，f（x）=，则可作出函数y=f（x）的图象，（2）函数y=f（x）零点的个数等价于函数y=x|x-1|的图象与直线y=a的交点个数，由（1）得：①当a＜0或a时，函数y=f（x）零点的个数1个，②当a=0或a=时，函数y=f（x）零点的个数2个，③当0＜a＜时，函数y=f（x）零点的个数3个，得解．本题考查了分段函数图象的作法及函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系，属中档题．13/13\n21.【答案】解：（1）令x=y≠0，则f（1）=f（x）-f（x）=0，再令x=1，y=-1可得f（-1）=f（1）-f（-1）=-f（-1），∴f（-1）=0．令y=-1可得f（-x）=f（x）-f（-1）=f（x），∴f（x）是偶函数．（2）∵f（2）=f（4）-f（2），∴f（2）=12f（4）=1，又f（x-5）-f（3x）=f（x2−5x3），∴f（x2−5x3）≤f（2），∵f（x）是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，∴-2≤x2−5x3≤2且x2−5x3≠0，解得-1≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6．∴不等式的解集为{x|x≤x＜0或0＜x≤2或3≤x＜5或5＜x≤6}【解析】（1）先计算f（1）=0，再令x=1，y=-1可得f（-1），令y=-1即可得出f（-x）=f（x）；（2）计算f（2）=1，故而不等式等价于f（）≤f（2），根据f（x）的单调性和奇偶性列不等式得出解集．本题考查了抽象函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题．22.【答案】解：（1）根据题意，若f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x），则有log2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，变形可得2ax=log2（2-x+1）-log2（2x+1）=-x，解可得a=-12，故a=-12；（2）当a＞0时，函数y=log2（2x+1）和函数y=ax都是增函数，则函数f（x）=log2（2x+1）+ax为增函数，（3）根据题意，函数f（x）=log2（2x+1）+ax，有f（0）=1，则f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1即f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=f（0）又由（2）的结论，当a＞0时，函数f（x）=log2（2x+1）+ax为增函数，则有f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）=0，即log2（2x+1）-1og4（2x-1）=a，变形可得：1og4(2x+1)22x−1=a，设g（x）=1og4(2x+1)22x−1，若方程f[f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）]=1在区间[1，2]上恰有两个不同的实数解，则函数g（x）的图象与y=a有2个交点，对于g（x）=1og4(2x+1)22x−1，设h（x）=(2x+1)22x−1，则h（x）=(2x+1)22x−1=[(2x−1)+2]22x−1=（2x-1）+42x−1+4，又由1≤x≤2，则1≤2x-1≤3，则h（x）min=6，13/13\nh（1）=9，h（2）=253，则h（x）max=9，若函数g（x）的图象与y=a有2个交点，必有log46＜a≤log49，故a的取值范围为（log46，log49]．【解析】（1）根据题意，由函数的性质定义可得f（-x）=f（x），则有log2（2-x+1）+a（-x）=log2（2x+1）+ax，变形分析可得答案；（2）根据题意，分析可得函数y=log2（2x+1）和函数y=ax都是R上的增函数，据此可得f（x）的单调性；（3）根据题意，由函数的解析式分析可得f（0）=1，结合函数的单调性分析，原方程等价于f（x）-a（1+x）-1og4（2x-1）=0，变形可得：1og4=a，设g（x）=1og4，分析可得函数g（x）的图象与y=a有2个交点，设h（x）=，分析函数h（x）的单调性以及最值，据此分析可得答案．本题考查函数与方程的应用，注意分析函数f（x）在a＞0时的单调性，属于基础题．13/13