四川省2022学年眉山市高一上学期期末考试数学试题

四川省眉山市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集ൌ12，3，4，，集合ൌሼ，则ൌ䁙A.B.ሼC.12，D.12，3，4，【答案】C【解析】解：全集ൌ12，3，4，，集合ൌሼ，ൌ12，．故选：C．根据补集的定义求出M补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.计算：21212ൌ䁙A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】解：21212ൌlgሼlg2ൌlg1ͲͲൌ2．故选：B．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边1经过点䁙，则sin的值是䁙221A.B.C.D.22【答案】D【解析】解：角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，1终边经过点䁙，22则sinൌ，2故选：D．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin的值．1/11\n本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．ሼ.函数䁙ൌ12sin22是䁙A.偶函数且最小正周期为B.奇函数且最小正周期为22C.偶函数且最小正周期为D.奇函数且最小正周期为【答案】A【解析】解：由题意可得：䁙ൌcosሼ，2所以该函数图象关于y轴对称，属于偶函数，且周期为ൌൌ．ሼ2故选：A．先将函数运用二倍角公式化简为ൌ化sin䁙的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法.一般都要把三角函数化简为ൌ化sin䁙的形式再解题．1.设10，，1，2，，则使函数ൌ的定义域为R且为奇函数的所有a2的值有䁙A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：当ൌ1时，ൌ1的定义域是㐴Ͳ，且为奇函数，不符合题意；当ൌͲ时，函数ൌͲ的定义域是㐴Ͳ且为偶函数，不符合题意；11当ൌ时，函数ൌ2的定义域是㐴Ͳ且为非奇非偶函数，不符合题意；2当ൌ1时，函数ൌ的定义域是R且为奇函数，满足题意；当ൌ2时，函数ൌ2的定义域是R且为偶函数，不符合题意；当ൌ时，函数ൌ的定义域是R且为奇函数，满足题意；满足题意的的值为1，3．故选：B．1分别验证ൌ1，0，，1，2，3知当ൌ1或ൌ时，函数ൌ的定义域是R且2为奇函数．本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．6.设集合化ൌ㐴Ͳ2Ͳ22，ൌ㐴，若化，则实数a的取值范围是䁙A.㐴ͲB.㐴Ͳ2Ͳ22C.㐴2Ͳ22D.㐴Ͳ2Ͳ22【答案】C\n【解析】集合化ൌ㐴Ͳ2Ͳ22，ൌ㐴，因为化，所以2Ͳ22；故选：C．根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了子集及其运算，属于简单题．7.为了得到函数ൌsin䁙2的图象，只需把函数ൌsin2的图象上所有的䁙A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度6C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度6【答案】D【解析】解：由ൌsin䁙2ൌsin2䁙，6即把函数ൌsin2的图象向右平移个单位长度可得到函数ൌsin䁙2的图象，6故选：D．由三角函数图象的平移可得：把函数ൌsin2的图象向右平移个单位长度可得到函6数ൌsin䁙2的图象，得解．本题考查了三角函数图象的平移，属简单题．8.函数ൌsin䁙的部分图象如图，则，可以取的一组值是䁙A.ൌൌ2ሼB.ൌൌ6C.ൌൌሼሼD.ൌൌሼሼ【答案】D【解析】解：ൌ1ൌ2，ሼൌ8，ൌ，ሼ又由1ൌሼ2/11\n得ൌ．ሼ故选：D．由图象可知/ሼൌ1ൌ2，可求出，再由最大值求出．本题考查函数ൌsin䁙的部分图象求解析式，由最值与平衡位置确定周期求，由最值点求的方法．9.已知定义在R上的函数䁙的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x123f䁙6.12.9.那么函数䁙一定存在零点的区间是䁙A.䁙1B.䁙12C.䁙2D.䁙【答案】C【解析】解：由于䁙2䀀Ͳ，䁙Ͳ，根据函数零点的存在定理可知故函数f䁙在区间䁙2内一定有零点，其他区间不好判断．故选：C．利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．1110.设函数䁙ൌ，则满足䁙的x的取值范围是䁙1log䀀111A.ͲB.洠C.Ͳ洠D.99【答案】A111【解析】解：函数䁙ൌ1log䀀1，则由䁙可得1，或䀀11log．解可得Ͳ1，解可得䀀1，综合可得x的取值范围是Ͳ，故选：A．1䀀1由题意可得1，或1log，分别求得、的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的性质，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题．\n11.同时具有性质“周期为，图象关于直线ൌ对称，在洠上是增函数”的函6数是䁙A.ൌsin䁙B.ൌcos䁙2C.ൌcos䁙2D.ൌsin䁙22666【答案】D2【解析】解：化.函数的周期ൌ1ൌሼ，不满足条件．2B.函数的周期ൌ，当ൌ时，ൌsin䁙不对ൌsin1，则函数关于ൌ26称，不满足条件．2C.函数的周期ൌ，当ൌ时，ൌcos䁙ൌcosൌͲ，则函数关于䁙Ͳ对称，62不满足条件．2D.函数的周期ൌ，当ൌ时，ൌsin䁙ൌsinൌ1，该函数关于关于直线ൌ62对称，在洠上是增函数，满足条件．6故选：D．根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查三角函数的性质，根据三角函数的周期性对称性和单调性的性质是解决本题的关键．12.已知奇函数䁙的定义域为㐴Ͳ，当䀀Ͳ时，䁙ൌ2，若函数䁙ൌ䁙的零点恰有两个，则实数a的取值范围是䁙A.ͲB.ͲC.1D.Ͳ或ൌ1【答案】A【解析】解：䁙是奇函数，䁙ൌ䁙是奇函数，䁙恰好有两个零点，䁙在䁙Ͳ上只有1个零点．当䀀Ͳ时，䁙ൌ22，䁙在䁙Ͳ上单调递增，䁙ͲൌͲ．故选：A．利用奇偶性可知䁙在䁙Ͳ上只有1个零点，根据䁙在䁙Ͳ上的单调性即可列出不等式，求出a的范围．本题考查了函数零点与函数单调性的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数䁙ൌሼlg䁙1的定义域为______．【答案】䁙1ሼ洠/11\nሼͲ【解析】解：要使函数有意义，则，1䀀Ͳሼ即，䀀11ሼ．即函数䁙的定义域为䁙1ሼ洠．故答案为：䁙1ሼ洠．ሼͲ根据函数的解析式，列出不等式组，求出解集即可．1䀀Ͳ本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．sin214.若tanൌ，则的值等于______．cos2【答案】6【解析】解：tanൌ，sin22sincosൌൌ2tanൌ6，cos2cos2故答案为：6．sin2由于tanൌ，将化简为2tan，问题解决了．cos2sin2本题考查同角三角函数间的基本关系，将化简为2tan是关键，属于基础题．cos215.设定义在R上的函数䁙的周期为，当Ͳ时，䁙ൌcos，则2䁙ൌ______．61【答案】2【解析】解：定义在R上的函数䁙的周期为，2则：䁙ൌ䁙，2当Ͳ时，䁙ൌcos，221故：䁙ൌ䁙ൌ䁙ൌcosൌ．62621故答案为：．2直接利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质的应用．16.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线ൌ，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则ሼm的值为______．\n【答案】5【解析】解：5秒后甲桶和乙桶的水量相等，ൌ1，函数ൌ䁙ൌ满足䁙ൌ2111即ൌln，得ൌln，22当k秒后甲桶中的水只有升，即䁙ൌ，ሼሼ1111即lnൌlnൌ2ln，2ሼ2即ൌ1Ͳ，经过了ൌ1Ͳൌ秒，即ൌ，故答案为：5．根据5秒后甲桶和乙桶的水量相等，得到n的值，由䁙ൌ建立关于k的方程，结合ሼ对数恒等式进行求解即可．本题主要考查函数的应用问题，结合指数幂和对数的运算法则是解决本题的关键.本题的难点在于正确读懂题意．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）1217.已知cosൌ，䁙2，求sin䁙以及tan䁙的值．16ሼ12【答案】解：cosൌ，䁙2，sinൌ，tanൌ，111212112sin䁙ൌsincoscossinൌൌ；666121226tantan17ሼ12tan䁙ൌൌൌ．ሼ1tantan1䁙117ሼ12【解析】利用同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式即可得出．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式是解题的关键．18.已知函数䁙ൌ2sincoscos2sin2.䁙1求函数䁙的最小正周期和单调递减区间；䁙2求函数䁙的最大值及取得最大值时x的取值集合．22【答案】解：䁙1䁙ൌ2sincoscossinൌsin2cos2ൌ2sin䁙2，ሼ2则函数的周期ൌൌ，2由222，，2ሼ2即，，88即函数的单调递减区间为洠，．88䁙2当sin䁙2ൌ1时，函数䁙取得最大值2，ሼ7/11\n此时2ൌ2，即ൌ，，ሼ28即函数䁙取得最大值是x的取值范围是㐴ൌ．8【解析】䁙1䁙用三角函数的倍角公式斤先化简，结合三角函数的辅助角公式进行化简进行求解䁙2根据三角函数最值性质进行求解即可本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为䁙ൌ化sin䁙是解决本题的关键．19.科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度䁙单位：瓦/平方米有关.在实际测量时，常用䁙单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：ൌlg䁙是常数，其中Ͳൌ11Ͳ12瓦/平方米.如风吹落叶沙Ͳ沙声的强度ൌ11Ͳ11瓦/平方米，它的强弱等级ൌ1Ͳ分贝．䁙1已知生活中几种声音的强度如表：声音来源声音大小风吹落叶沙沙声轻声耳语很嘈杂的马路强度䁙瓦/平方米11Ͳ1111Ͳ1Ͳ11Ͳ强弱等级䁙分贝10m90求a和m的值䁙2为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．【答案】解：䁙1将Ͳൌ11Ͳ12瓦/平方米，ൌ11Ͳ11瓦/平方米代入ൌlg，Ͳ11Ͳ11得1Ͳൌlgൌlg1Ͳൌ，11Ͳ1211Ͳ1Ͳ即ൌ1Ͳ，ൌ1Ͳlgൌ1Ͳlg1ͲͲൌ2Ͳ．11Ͳ12䁙2由题意得Ͳ，得1ͲlgͲ，11Ͳ12得lg，即1Ͳ，11Ͳ1211Ͳ12即1Ͳ1Ͳ12ൌ1Ͳ7，答：此时声音强度I的最大值为1Ͳ7瓦/平方米．【解析】䁙1根据条件代入关系式，即可求出a和m的值；䁙2解不等式Ͳ即可．本题主要考查函数的应用问题，解对数的运算法则是解决本题的关键．\n20.已知函数䁙ൌsin䁙．ሼ2䁙Ⅰ若䁙ൌ，求sincos的值；2䁙Ⅱ设函数䁙ൌ2䁙洠cos䁙2，求函数䁙的值域．622【答案】解：䁙Ⅰ䁙ൌsin䁙ൌsincoscossinൌ䁙sincosൌ，ሼሼሼ22sincosൌ，䁙Ⅱ䁙ൌ222䁙sincos洠cos2cossin2sin2661ൌ1sin2cos2sin222ൌsin2cos2122ൌsin䁙2111洠，6所以䁙的值域为：11洠．【解析】䁙Ⅰ利用两角差的正弦公式可得；䁙Ⅱ利用二倍角、两角和的余弦公式、辅助角公式可得．本题考查了三角函数的恒等变换应用.属中档题．21.已知二次函数䁙有两个零点0和2，且䁙最小值是1，函数䁙与䁙的图象关于原点对称．䁙1求䁙和䁙的解析式；䁙2若䁙ൌ䁙䁙在区间11洠上是增函数，求实数的取值范围．【答案】解：䁙1二次函数䁙有两个零点0和2，设䁙ൌ䁙2ൌ22䁙䀀Ͳ.䁙图象的对称轴是ൌ1，䁙1ൌ1，即2ൌ1，ൌ1，䁙ൌ22．函数䁙的图象与䁙的图象关于原点对称，䁙ൌ䁙ൌ22．䁙2由䁙1得䁙ൌ22䁙22ൌ䁙122䁙1．当ൌ1时，䁙ൌሼ满足在区间11洠上是增函数；1当1时，䁙图象对称轴是ൌ11则1，1又1，解得1；1当䀀1时，同理需1，19/11\n又䀀1，解得1Ͳ．综上，满足条件的实数的取值范围是䁙Ͳ洠．【解析】䁙1根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求䁙和䁙的解析式；䁙2根据䁙ൌ䁙䁙在区间11洠上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数的取值范围．本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．22.已知函数䁙ൌ2，䁙．2䁙1若函数䁙ൌ2为奇函数，求实数a的值；22䁙2设函数䁙ൌ2222䁙，且䁙ൌ䁙䁙，已知䁙䀀2对任意的䁙1恒成立，求a的取值范围．【答案】解：䁙1函数䁙ൌ2为奇函数，定义域为R，关于原点对称，2䁙ൌ䁙，即22ൌ䁙22，1化简得：䁙2䁙1ൌͲ，即ൌ1；2䁙2䁙ൌ䁙䁙ൌ22，ሼ21由䁙䀀2，化简得，2䀀，ሼ2设ൌ2，䁙2，则2ሼሼ䀀Ͳ，䁙䀀2对任意的䁙1恒成立，对任意䁙2，不等式2ሼሼ䀀Ͳ恒成立．2注意到1䀀1，分离参数得对任意䁙2恒成立．ሼ䁙121设䁙ൌ，䁙2，即䁙쳌．1ሼ21䁙ൌൌ䁙12，11可知䁙在䁙2上单调递增，䁙䀀䁙2ൌሼ．1ሼൌ1．ሼ故a的取值范围为䁙1洠．【解析】䁙1由函数䁙ൌ2为奇函数，利用䁙ൌ䁙列式即可求得ൌ1；21䁙2䁙ൌ䁙䁙ൌ22，由䁙䀀2，得2䀀，设ൌ2，ሼ2ሼ22䁙2，则2ሼሼ䀀Ͳ，分离参数a，得到对任意䁙2恒ሼ䁙1成立，再由函数的单调性求得䁙在䁙2上的最小值得答案．\n本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．11/11