四川省成都七中实验学校高二数学上学期期中试题理

成都七中实验学校2022--2022学年度期中考试高二数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I卷（选择题）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面3．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是A．B．C．D．4．圆和圆的公切线有A．1条B．条C．3条D．条5．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（　　）A.﹣3B.2C.﹣3或2D.3或﹣26．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（　　）A.B.C.D.7．若点在两条平行直线与之间，则整数的值为A．B．C．D．-14-\n8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A．B．C．D．9．如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（　　）（1）EP⊥AC；（2）EP∥BD；（3）EP∥面SBD；（4）EP⊥面SAC．A．1个B．2个C．3个D．4个10．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1　B．　　C．　　D．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为错误！未找到引用源。，若直线错误！未找到引用源。上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．12．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（右图），则二面角的余弦值为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）-14-\n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是　_________　．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为．15.已知直线l过点P（2，1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为　_________　．16.关于图中的正方体，下列说法正确的有：___________________．①点在线段上运动，棱锥体积不变；②点在线段上运动，二面角不变；③一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面在平面与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。三、解答题：本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点.(I)求证：平面平面；-14-\n（II）求证：平面C平面.18.（本小题满分12分）直线与坐标轴的交点是圆一条直径的两端点．（I）求圆的方程；（II）圆的弦长度为且过点，求弦所在直线的方程．19．（本小题满分12分）如图所示，正三棱柱的底面边长与侧棱长均为，为中点.（1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值.-14-\n20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱,,底面为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,,O为AD中点.(1)求直线与平面所成角的余弦值；(2)求点到平面的距离；(3)线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知圆，直线（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；-14-\n22．（本小题满分12分）点到的距离是点到的距离的倍．（I）求点的轨迹方程；（II）点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值．（III）若过的直线从左向右依次交第（II）问中的轨迹于不同两点，，，判断的取值范围并证明．-14-\n成都七中实验学校2022--2022学年度期中考试高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1．C．2.B.3．B．4．C．5．A．6．B．7．B．8．A．9.B.10．C．11．A．12．A．二、填空题：13．．14．．15．4.16．①②③．三、解答题：17．解：（I）直线与两坐标轴的交点分别为，．（2分）所以线段的中点为，．（4分）故所求圆的方程为．（6分）（II）设直线到原点距离为，则．（8分）若直线斜率不存在，不符合题意．若直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或．（11分）所以直线的方程为或．（12分）18.（1）连接与交于，则为中点，又为中点，所以∥，又平面，所以∥平面....................5（2）法一：（构造垂面，作线面角的平面角）取中点，连接，则，又，所以，从而平面，所以平面平面，作于，则平面，所以为直线与平面所成角的平面角，中，，所以，所以.-14-\n法二：（等体积法）设与平面的距离为，由得，等腰中，，所以，又，，代入求得，从而直线与平面所成的角的正弦值为..............................1219.（1）与平面所成角的余弦值为；（2）点到平面的距离；（3）存在，.【解析】试题分析：思路一、由PA=PD,O为AD中点，侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形中,易得所以可以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.思路二、（1）易得平面，所以即为所求.(2)由于，从而平面，所以可转化为求点到平面.(3)假设存在，过Q作，垂足为，过作，垂足为M，则即为二面角的平面角.设，利用求出，若，则存在，否则就不存在.试题解析：(1)在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,平面PAD，-14-\n所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形中,易得;所以以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系.则,,，;,易证:,所以平面的法向量,所以与平面所成角的余弦值为.4分（2），设平面PDC的法向量为，则，取得点到平面的距离.8分（3）假设存在，且设.因为所以，-14-\n设平面CAQ的法向量中，则取，得.平面CAD的一个法向量为，因为二面角QOCD的余弦值为，所以.整理化简得：或（舍去），所以存在，且13分考点：空间的角与距离.20.解法一：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．GHMABCDEFOMHGOFABECD因为二面角D－AC－B为直二面角，又在中，，．．…..6分（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．-14-\n∴就是二面角的平面角．…..9分在RtEGM中，，，，xyzABCDEFO∴,所以，二面角的余弦值为。…..12分解法二：（1）建立如图所示的直角坐标系O－xyz，则，．．．…..6分（2）设平面OEF的法向量为．由得解得．所以，．…..9分又因为平面AOF的法向量为，…..10分．…..11分且根据方向判断，二面角的大小为余弦为．…..12分21.（1）证明见解析；（2），为圆的轨迹方程；（3）或；-14-\n（1）由题可知，判断直线与圆的位置关系，我们常采取两种方法，圆心到直线的距离与半径的比较，若距离大于半径，则位置关系是相离，若距离等于半径，则位置关系是相切，若距离小于半径，则位置关系是相交；或是判断直线所经过的定点和圆的关系，点在圆内，则位置关系是相交，点在圆上，则位置关系是相切，点在圆外，则位置关系是相离；（2）关于求轨迹方程的问题，求哪个点的轨迹就设哪个点的坐标，通过题中的条件将x，y的关系式求出，即得轨迹方程；（3）过一点的直线用点斜式设出，再和圆的方程联立，由韦达定理以及，得出直线方程为或；试题解析：（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。∴圆心C到直线的距离，∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；OBMAC方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；（4分）（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，又因为,设，则，化简得：当M与P重合时，也满足上式。故弦AB中点的轨迹方程是。（8分）（Ⅲ）设，，由，∴，化简的①又由消去y得（*）∴②（10分）-14-\n由①②解得，带入（*）式解得，∴直线的方程为或。（12分）考点：直线与圆的位置关系中点轨迹方程直线方程的应用22．解：（I）设点，由题意可得，即．化简可得．（4分）（II）设，由题可得，代入上式消去可得，即的轨迹为，即．（6分）令．所以，，所以．因此的最大值为，最小值为．（9分）（注：用参数方程计算的参考给分）（III）的取值范围是．（10分）证明：设，且．因为，所以，且．（11分）设过的直线方程为（一定存在），与的轨迹方程联立，．消去得．，解得．而，，，因此，当且仅当时等号成立．所以-14-\n（），解得．（14分）（注：用平面几何方法得出结论的参考给分．）-14-