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安徽省安庆市怀宁中学2022届高三数学下学期期初试卷理含解析
安徽省安庆市怀宁中学2022届高三数学下学期期初试卷理含解析
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2022-2022学年安徽省安庆市怀宁中学高三(下)期初数学试卷(理科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.已知集合M={x||x﹣1|<1},集合N={x|x2﹣2x<3},则M∩∁RN=()A.{x|0<x<2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|﹣1<x≤0或2≤x<3}D.∅2.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(﹣2)=()A.﹣1B.1C.﹣5D.53.已知直线l,m,平面α,β满足l⊥α,m⊂β,则“l⊥m”是“α∥β”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.在△ABC中,M是AB边所在直线上任意一点,若=﹣2+λ,则λ=()A.1B.2C.3D.45.由直线y=,y=2,曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是()A.2ln2B.2ln2﹣1C.ln2D.6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为,则它的正视图为()20A.B.C.D.7.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1),a1a2a3=27,则a6=()A.27B.81C.243D.7298.设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕关于f的极小值a﹐试问下列哪一个选项是正确的()A.﹣20<a<﹣10B.﹣10<a<0C.0<a<10D.10<a<209.已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:﹣=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,a1,a2又分别是两曲线的离心率,若PF1⊥PF2,则4e12+e22的最小值为()A.B.4C.D.910.设函数f(x)=x2﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,2)B.(0,4)C.(6,+∞)D.(7,+∞)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)11.已知三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD=2,则直线AD与底面BCD所成角为__________.12.已知tanβ=,sin(α+β)=,且α,β∈(0,π),则sinα的值为__________.2013.若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是__________.14.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为__________.15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠B=30°,△ABC的面积为,则AC边上的中线BD的最小值__________.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x﹣)+cosx﹣a,x∈[0,].(1)若函数f(x)的最大值为1,求实数a的值;(2)若方程f(x)=1有两解,求实数a的取值范围.17.已知数列{an},Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N*)(Ⅰ)求证:数列{an+}为等比数列;(Ⅱ)记Tn=S1+S2+…+Sn,求Tn的表达式.18.为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.(Ⅰ)当x∈[30,50]时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损?(Ⅱ)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少.2019.(13分)已知四棱锥中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=120°,PA=b.(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC;(Ⅱ)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角O﹣PM﹣D的正切值为,求a:b的值.20.(13分)已知是平面上的两个定点,动点P满足.(1)求动点P的轨迹方程;(2)已知圆方程为x2+y2=2,过圆上任意一点作圆的切线,切线与(1)中的轨迹交于A,B两点,O为坐标原点,设Q为AB的中点,求|OQ|长度的取值范围.21.(13分)已知函数f(x)=x4+ax3+bx2+c,其图象在y轴上的截距为﹣5,在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,又当x=0,x=2时取得极小值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)能否找到垂直于x轴的直线,使函数f(x)的图象关于此直线对称,并证明你的结论;(Ⅲ)设使关于x的方程f(x)=λ2x2﹣5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3,3],λ∈A恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.2022-2022学年安徽省安庆市怀宁中学高三(下)期初数学试卷(理科)20一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).1.已知集合M={x||x﹣1|<1},集合N={x|x2﹣2x<3},则M∩∁RN=()A.{x|0<x<2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|﹣1<x≤0或2≤x<3}D.∅考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:分别求出关于M,N的不等式的解集,求出N的补集,从而求出其与M的交集.解答:解:∵M={x||x﹣1|<1}={x|0<x<2},N={x|(x﹣3)(x+1)<0}={x|﹣1<x<3},∴∁RN={x|x≥3或x≤﹣1},∴M∩∁RN=∅,故选:D.点评:本题考查了集合的运算,是一道基础题.2.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(﹣2)=()A.﹣1B.1C.﹣5D.5考点:函数奇偶性的性质;抽象函数及其应用.专题:函数的性质及应用.分析:根据函数y=f(x)+x是偶函数,可知f(﹣2)+(﹣2)=f(2)+2,而f(2)=1,从而可求出f(﹣2)的值.解答:解:令y=g(x)=f(x)+x,∵f(2)=1,∴g(2)=f(2)+2=1+2=3,∵函数g(x)=f(x)+x是偶函数,∴g(﹣2)=3=f(﹣2)+(﹣2),解得f(﹣2)=5.故选D.点评:本题主要考查了函数的奇偶性,以及抽象函数及其应用,同时考查了转化的思想,属于基础题.3.已知直线l,m,平面α,β满足l⊥α,m⊂β,则“l⊥m”是“α∥β”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:当α∥β时,由线面垂直的性质可得l⊥m,故必要性成立;当l⊥m时,不一定有α∥β,故充分性不成立.解答:解:由于l⊥α,α∥β可得l⊥β,又m⊂β,故有l⊥m,故必要性成立.当l⊥α,直线m⊂平面β,l⊥m时,若直线m是α与β的交线时,α⊥β,不一定有α∥β,故充分性不成立.所以,l⊥m是α∥β的必要不充分条件,20故选;C.点评:本题考查充分条件、必要条件的定义,两个平面平行的判定,证明充分性不成立是解题的难点.4.在△ABC中,M是AB边所在直线上任意一点,若=﹣2+λ,则λ=()A.1B.2C.3D.4考点:平面向量的基本定理及其意义.专题:计算题;平面向量及应用.分析:根据A、M、B三点共线,可得存在实数μ使=μ成立,化简整理得=,结合已知等式建立关于λ、μ的方程组,解之即可得到实数λ的值.解答:解:∵△ABC中,M是AB边所在直线上任意一点,∴存在实数μ,使得=μ,即化简得=,∵=﹣2+λ,∴结合平面向量基本定理,得,解之得λ=3,μ=﹣故选:C点评:本题给出A、M、B三点共线,求用向量、表示的表达式,着重考查了平面向量的线性运算和平面向量基本定理等知识,属于基础题.5.由直线y=,y=2,曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是()A.2ln2B.2ln2﹣1C.ln2D.考点:定积分.专题:导数的综合应用.分析:利用定积分的几何意义,首先利用定积分表示出图形的面积,求出原函数,计算即可.解答:解:由题意,直线y=,y=2,曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分,20面积为=lny=ln2﹣ln=2ln2;故选A.点评:本题考查定积分的运用,利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积,考查了学生的计算能力,属于基础题.6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为,则它的正视图为()A.B.C.D.考点:简单空间图形的三视图.专题:探究型;空间位置关系与距离.分析:由几何体的侧视图和俯视图,可知几何体为组合体,上方为棱锥,下方为正方体,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点,由此可得结论.解答:解:由几何体的侧视图和俯视图,可知几何体为组合体,上方为棱锥,下方为正方体由俯视图可得,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点,顶点到正方体上底面的距离为1由此可知B满足条件故选B.20点评:本题考查三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题.7.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1),a1a2a3=27,则a6=()A.27B.81C.243D.729考点:等比数列的性质.专题:计算题.分析:利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a23=27从而可求a2,结合S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1)考虑n=1可得,S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比q,代入等比数列的通项公式可求a6解答:解:利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a23=27即a2=3因为S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1)所以n=1时有,S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1,q=3所以,a6=1×35=243故选C点评:本题主要考查了等比数列的性质,等比数列的前n项和公式及通项公式,属基础题.8.设f为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕关于f的极小值a﹐试问下列哪一个选项是正确的()A.﹣20<a<﹣10B.﹣10<a<0C.0<a<10D.10<a<20考点:利用导数研究函数的极值.专题:计算题;作图题;函数的性质及应用.分析:方程f(x)﹣k=0的相异实根数可化为方程f(x)=k的相异实根数,方程f(x)=k的相异实根数可化为函数y=f(x)与水平线y=k两图形的交点数﹒则依据表格可画出其图象的大致形状,从而判断极小值的取值范围.解答:解﹕方程f(x)﹣k=0的相异实根数可化为方程f(x)=k的相异实根数,方程f(x)=k的相异实根数可化为函数y=f(x)与水平线y=k两图形的交点数﹒依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕(1)当f(x)的最高次项系数为正时,(2)当f(x)的最高次项系数为负时,20因极小值点a位于水平线y=0与y=﹣10之间﹐所以其y坐标α(即极小值)的范围为﹣10<α<0﹒故选:B﹒点评:本题考查了方程的根与函数的图象的应用及数形结合思想的应用,属于中档题.9.已知椭圆C1:+=1(a1>b1>0)与双曲线C2:﹣=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,a1,a2又分别是两曲线的离心率,若PF1⊥PF2,则4e12+e22的最小值为()A.B.4C.D.9考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴为2a2,令P在双曲线的右支上,由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出,由此能求出4e12+e22的最小值.解答:解:由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴为2a2,令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2,①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1,②又∵PF1⊥PF2,∴=4c2,③①2+②2,得=,④将④代入③,得,∴4e12+==+=≥=.故选:C.20点评:本题考查4e12+e22的最小值的求法,是中档题,解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义,注意均值定理的合理运用.10.设函数f(x)=x2﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0与g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,2)B.(0,4)C.(6,+∞)D.(7,+∞)考点:二次函数的性质.专题:函数的性质及应用.分析:通过讨论a=0,a>0,a<0结合函数的单调性从而得到a的范围.解答:解:a=0时,g(x)=0,不存在g(x0)<0,a<0时,由g(x)=ax﹣2a单调递减且过点(2,0),当x>2时g(x)=ax﹣2a<0,而x>2时f(x)>7﹣a>0,不存在f(x0)<0,a>0时,由g(x)=ax﹣2a单调递增且过点(2,0)知:当x<2时g(x)=ax﹣2a<0,则命题转化为不等式x2﹣ax+a+3<0在(﹣∞,2)上有解,若<2即0<a<4,此时需满足f()=﹣+a+3<0,解得a>6(舍)或a<﹣2(舍),当≥2即a≥4时,此时需满足f(2)=7﹣a<0,解得a>7,综上可得实数a的取值范围是(7,+∞),故选:D.点评:本题考查了函数的单调性,考查了分类讨论思想,是一道中档题.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)11.已知三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD=2,则直线AD与底面BCD所成角为60°.考点:直线与平面所成的角.专题:空间角.分析:根据线面角的定义,找出直线AD在底面BCD上的射影即可得到结论.解答:解:取BC的中点E,连结AE,DE,∵AB=AC=BD=CD=2,∴AE⊥BC,DE⊥BC,则BC⊥面AED,则AD在底面BCD的射影为DE,则∠ADE即为直线AD与底面BCD所成的角,∵AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD=2,∴AE=,DE=,则三角形ADE为正三角形,则∠ADE=60°,故答案为:60°20点评:本题考查异面直线所成的角,转化为平面角是解决问题关键,属中档题.12.已知tanβ=,sin(α+β)=,且α,β∈(0,π),则sinα的值为.考点:两角和与差的正弦函数.专题:三角函数的求值.分析:求得sinβ和cosβ的值,根据已知条件判断出α+β的范围,进而求得cos(α+β)的值,最后利用正弦的两角和公式求得答案.解答:解:∵α,β∈(0,π),tanβ=,sin(α+β)=,∴sinβ=,cosβ=,0<β<,∴0<α+β<,∵0<sin(α+β)=<,∴0<α+β<,或<α+β<π,∵tanβ=>1,∴>β>,∴<α+β<π,∴cos(α+β)=﹣=﹣,∴sinα=sin(α+β﹣β)=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ=×+×=.故答案为:.点评:本题主要考查了两角和与差的正弦函数.解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步.2013.若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是(﹣4,2).考点:简单线性规划的应用.专题:计算题;数形结合.分析:先根据约束条件画出可行域,设z=ax+2y,再利用z的几何意义求最值,只需利用直线之间的斜率间的关系,求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点(1,0)处取得最小值,从而得到a的取值范围即可.解答:解:可行域为△ABC,如图,当a=0时,显然成立.当a>0时,直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣>kAC=﹣1,a<2.当a<0时,k=﹣<kAB=2a>﹣4.综合得﹣4<a<2,故答案为:(﹣4,2).点评:借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.14.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为y2=3x..考点:抛物线的标准方程.专题:计算题;数形结合;待定系数法.分析:根据过抛物线y220=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,作AM、BN垂直准线于点M、N,根据|BC|=2|BF|,且|AF|=3,和抛物线的定义,可得∠NCB=30°,设A(x1,y1),B(x2,y2),|BF|=x,而,,且,,可求得p的值,即求得抛物线的方程.解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),作AM、BN垂直准线于点M、N,则|BN|=|BF|,又|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|,∴∠NCB=30°,有|AC|=2|AM|=6,设|BF|=x,则2x+x+3=6⇒x=1,而,,且,∴,得y2=3x.故答案为:y2=3x.点评:此题是个中档题.考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程.体现了数形结合的思想,特别是解析几何,一定注意对几何图形的研究,以便简化计算.15.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知∠B=30°,△ABC的面积为,则AC边上的中线BD的最小值.考点:正弦定理.专题:计算题;解三角形.分析:求出ac=6,||2=()2=,利用基本不等式计算可得AC边上的中线BD的最小值.解答:解:∵∠B=30°,△ABC的面积为,∴=,∴ac=6∴||2=()2=≥=,当且仅当a=c=时取等号,∴AC边上的中线BD的最小值为.点评:本题考查余弦定理和基本不等式,涉及向量的运算和三角形的面积公式,属中档题.20三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x﹣)+cosx﹣a,x∈[0,].(1)若函数f(x)的最大值为1,求实数a的值;(2)若方程f(x)=1有两解,求实数a的取值范围.考点:三角函数中的恒等变换应用.专题:三角函数的图像与性质.分析:(1)利用两角和差的正弦公式可得:函数f(x)=﹣a.由于x∈[0,],可得∈,∈.可得f(x)max=2﹣a=1,解出即可.(2)方程f(x)=1,化为=a+1,由于x∈[0,],可得∈.要使方程f(x)=1有两解,可得,解出即可.解答:解:(1)函数f(x)=sin(x+)+sin(x﹣)+cosx﹣a=+cosx﹣a=﹣a.∵x∈[0,],∴∈.∴∈.∴f(x)max=2﹣a=1,∴a=1.(2)方程f(x)=1,化为=a+1,∵x∈[0,],∴∈.要使方程f(x)=1有两解,则,解得a∈.点评:本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.17.已知数列{an},Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N*)(Ⅰ)求证:数列{an+}为等比数列;(Ⅱ)记Tn=S1+S2+…+Sn,求Tn的表达式.20考点:数列的求和;等比关系的确定.专题:等差数列与等比数列.分析:(Ⅰ)由3an=2Sn+n,类比可得3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1(n≥2),两式相减,整理即证得数列{an+}是以为首项,3为公比的等比数列;(Ⅱ)由(Ⅰ)得an+=•3n⇒an=(3n﹣1),Sn=﹣,分组求和,利用等比数列与等差数列的求和公式,即可求得Tn的表达式.解答:(Ⅰ)证明:∵3an=2Sn+n,∴3an﹣1=2Sn﹣1+n﹣1(n≥2),两式相减得:3(an﹣an﹣1)=2an+1(n≥2),∴an=3an﹣1+1(n≥2),∴an+=3(an﹣1+),又a1+=,∴数列{an+}是以为首项,3为公比的等比数列;(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得an+=•3n﹣1=•3n,∴an=•3n﹣=(3n﹣1),∴Sn=[(3+32+…+3n)﹣n]=(﹣n)=﹣,∴Tn=S1+S2+…+Sn=(32+33+…+3n+3n+1)﹣﹣(1+2+…+n)=•﹣﹣=﹣.点评:本题考查数列的求和,着重考查等比关系的确定,突出考查分组求和,熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键,属于难题.18.为了保护环境,某工厂在政府部门的支持下,进行技术改进:把二氧化碳转化为某种化工产品,经测算,该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:,且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品.20(Ⅰ)当x∈[30,50]时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,则国家至少需要补贴多少万元,该工厂才不亏损?(Ⅱ)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少.考点:函数最值的应用.专题:综合题;函数的性质及应用.分析:(Ⅰ)利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品,及处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系,可得利润函数,利用配方法,即可求得结论;(Ⅱ)求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数,再分段求出函数的最值,比较其大小,即可求得结论.解答:解:(Ⅰ)当x∈[30,50]时,设该工厂获利为S,则S=20x﹣(x2﹣40x+1600)=﹣(x﹣30)2﹣700所以当x∈[30,50]时,S<0,因此,该工厂不会获利,所以国家至少需要补贴700万元,才能使工厂不亏损(Ⅱ)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为:①当x∈[10,30)时,P(x)=,∴P′(x)==∴x∈[10,20)时,P′(x)<0,P(x)为减函数;x∈时,P′(x)>0,P(x)为增函数,∴x=20时,P(x)取得最小值,即P=48;②当x∈[30,50]时,P(x)=﹣40≥﹣40=40当且仅当x=,即x=40∈[30,50]时,P(x)取得最小值P(40)=40∵48>40,∴当处理量为40吨时,每吨的平均处理成本最少.点评:本题考查函数模型的构建,考查函数最值的求解,正确运用求函数最值的方法是关键.19.(13分)已知四棱锥中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=120°,PA=b.(Ⅰ)求证:平面PBD⊥平面PAC;(Ⅱ)设AC与BD交于点O,M为OC中点,若二面角O﹣PM﹣D的正切值为,求a:b的值.20考点:平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题.专题:综合题;空间向量及应用.分析:(I)根据线面垂直的判定,证明BD⊥平面PAC,利用面面垂直的判定,证明平面PBD⊥平面PAC.(II)过O作OH⊥PM交PM于H,连HD,则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角,利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为,即可求a:b的值.解答:解:(I)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,又ABCD为菱形,所以AC⊥BD,因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.(II)解:过O作OH⊥PM交PM于H,连HD,因为DO⊥平面PAC,由三垂线定理可得DH⊥PM,所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角又,且从而∴所以9a2=16b2,即.点评:本题考查线面垂直、面面垂直的判定,考查面面角,解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定,作出面面角.2020.(13分)已知是平面上的两个定点,动点P满足.(1)求动点P的轨迹方程;(2)已知圆方程为x2+y2=2,过圆上任意一点作圆的切线,切线与(1)中的轨迹交于A,B两点,O为坐标原点,设Q为AB的中点,求|OQ|长度的取值范围.考点:直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)由是平面上的两个定点,动点P满足.可得椭圆的a,c的值,进而求出b值,可得动点P的轨迹方程;(2)如果圆的切线斜率不存在,可得,如果圆的切线斜率存在,设圆的切线方程为y=kx+m,联立椭圆方程,由韦达定理及直线AB与圆x2+y2=2相切,可得OA⊥OB,进而由弦长公式和基本不等式可求出|OQ|长度的取值范围.解答:解:(1)∵是平面上的两个定点,动点P满足.依椭圆的定义知,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且,所以动点P的轨迹方程为.(2)如果圆的切线斜率不存在,则AB方程为,此时,.如果圆的切线斜率存在,设圆的切线方程为y=kx+m,代入椭圆方程得:(1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣6=0①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2为方程①的解,所以②因为x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=,把②式代入得:③又因为直线AB与圆x2+y2=2相切,所以,即m2=2(1+k2),20代入③式得x1x2+y1y2=0,因此OA⊥OB,所以.由m2=2(1+k2)得,因为,所以(当且仅当k=0时取等号).k≠0时,,因此|AB|≤3(当且仅当时取等号).综上,,所以.点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程,解答(1)的关键是熟练掌握椭圆的定义,而(2)的综合性强,运算强度大,是高考常见的压轴题型,属于难题.21.(13分)已知函数f(x)=x4+ax3+bx2+c,其图象在y轴上的截距为﹣5,在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,又当x=0,x=2时取得极小值.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)能否找到垂直于x轴的直线,使函数f(x)的图象关于此直线对称,并证明你的结论;(Ⅲ)设使关于x的方程f(x)=λ2x2﹣5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2.试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3,3],λ∈A恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件.专题:计算题;综合题.分析:(Ⅰ)利用函数在y轴上的截距为﹣5,可求得c=﹣5.根据函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,可得x=1时取得极大值,当x=0,x=2时函数f(x)取得极小值.可知x=0,x=1,x=2为函数f(x)的三个极值点,从而f'(x)=0的三个根为0,1,2,∴由此可求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)假设存在对称轴方程为x=t,则f(t+x)=f(t﹣x)对x∈R恒成立.代入化简得(t﹣1)x3+(t3﹣3t2+2t)x=0对x∈R恒成立,从而可出对称轴x=1.(Ⅲ)x4﹣4x3+4x2﹣5=λ2x2﹣5恰好有三个不同的根,等价于x4﹣4x3+4x2﹣λ2x2=0恰好有三个不同的根,由于x=0是一个根,所以方程x2﹣4x+4﹣λ2=0应有两个非零的不相等的实数根,从而可求λ的取值范围.要使m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3,3],λ∈A恒成立,可转化为m2+tm+2≤0对任意t∈[﹣3,3]恒成立,构造函数g(t)=tm+m2+2,只要20,从而可知不存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3,3],λ∈A恒成立.解答:解:(Ⅰ)∵函数f(x)=x4+ax3+bx2+c,在y轴上的截距为﹣5,∴c=﹣5.∵函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,∴x=1时取得极大值,又当x=0,x=2时函数f(x)取得极小值.∴x=0,x=1,x=2为函数f(x)的三个极值点,即f'(x)=0的三个根为0,1,2,∴f'(x)=4x3+3ax2+2bx=4x(x﹣1)(x﹣2))=4x3﹣12x2+8x.∴a=﹣4,b=4,∴函数f(x)的解析式:f(x)=x4﹣4x3+4x2﹣5.(Ⅱ)若函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为x=t,则f(t+x)=f(t﹣x)对x∈R恒成立.即:(t+x)4﹣4(t+x)3+4(t+x)2﹣5=(t﹣x)4﹣4(t﹣x)3+4(t﹣x)2﹣5.化简得(t﹣1)x3+(t3﹣3t2+2t)x=0对x∈R恒成立.∴∴t=1.即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x=1.(Ⅲ)x4﹣4x3+4x2﹣5=λ2x2﹣5恰好有三个不同的根,即x4﹣4x3+4x2﹣λ2x2=0恰好有三个不同的根,即x2(x2﹣4x+4﹣λ2)=0,∵x=0是一个根,∴方程x2﹣4x+4﹣λ2=0应有两个非零的不相等的实数根,∴△=16﹣4(4﹣λ2)=4λ2>0,且x1x2=4﹣λ2≠0,∴λ≠0,﹣2,2.若存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3,3],λ∈A恒成立.∵|x1﹣x2|==2|λ|>0,要使m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3,3],λ∈A恒成立,只要m2+tm+2≤0对任意t∈[﹣3,3]恒成立,令g(t)=tm+m2+2,则g(t)是关于t的线性函数.∴只要解得,无解∴不存在实数m,使得不等式m2+tm+2≤|x1﹣x2|对任意t∈[﹣3,3],λ∈A恒成立.点评:本题考查多项式的导数、函数的图象性质、二次方程根的判断,等价转换、化归思想等数学思想方法.解题时对恒成立问题的处理是关键.20
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