安徽省宣城中学2022届高三数学上学期入学试题文含解析

2022-2022学年安徽省宣城中学高三（上）入学数学试卷（文科）　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）　2．设z=+i，则|z|=（　　）A．B．C．D．2　3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　）A．y=cos2x，x∈RB．y=x3+1，x∈RC．y=，x∈RD．y=log2|x|，x∈R且x≠0　4．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件　5．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）A．B．C．D．　6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）-17-A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π　7．设x，y满足约束条件，且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3　8．已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　）A．（1，+∞）B．表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，这个函数叫做“取整函数”则+++…+=　　　　　　．　15．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为　　　　　　．　　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）（2022秋•宣城校级月考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC﹣ccosA．（1）求A；-17-（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．　17．（12分）（2022•河北）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．　18．（12分）（2022•河北）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．　19．（12分）（2022秋•宣城校级月考）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？-17-A药B药0．1．2．3．　20．（13分）（2022•宣威市一模）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．又f（1）=﹣2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）解关于x的不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．　21．（14分）（2022•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．　　2022-2022学年安徽省宣城中学高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}，-17-故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．　2．设z=+i，则|z|=（　　）A．B．C．D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先求z，再利用求模的公式求出|z|．解答：解：z=+i=+i=．故|z|==．故选B．点评：本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．　3．下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）内是增函数的为（　　）A．y=cos2x，x∈RB．y=x3+1，x∈RC．y=，x∈RD．y=log2|x|，x∈R且x≠0考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据余弦函数的单调性，奇函数、偶函数的定义，以及对数函数的单调性即可找出正确选项．解答：解：A．y=cos2x在（1，]上单调递减，即该函数在（1，2）内不是增函数，∴该选项错误；B．y=x3+1，可分别让x取﹣1，1即可得到该函数是非奇非偶函数，∴该选项错误；C．y=，把x换上﹣x，便可得到该函数为奇函数，∴该选项错误；D．y=log2|x|，该函数显然是偶函数，并且x∈（1，2）时，y=log2x，该函数是增函数，∴该选项正确．-17-故选：D．点评：考查余弦函数的单调性，奇函数和偶函数的定义，以及对数函数的单调性．　4．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角形中的三角函数值问题，是一道基础题．　5．设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．解答：解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴-17-∴故选C．点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．　6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π考点：由三视图求面积、体积．专题：压轴题；图表型．分析：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，-17-半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力　7．设x，y满足约束条件，且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，a=0时最小值不等于7，a＜0时目标函数无最小值，a＞0时化目标函数为直线方程斜截式，由图看出最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数，由对应的z值等于7求解a的值．解答：解：由约束条件作可行域如图，-17-联立，解得．∴A（）．当a=0时A为（），z=x+ay=x，无最小值，不满足题意；当a＜0时，由z=x+ay得，要使z最小，则直线在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；当a＞0时，由z=x+ay得，由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小．此时z=，解得：a=3或a=﹣5（舍）．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，解答的关键是注意分类讨论，是中档题．　8．已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　）A．（1，+∞）B．表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，这个函数叫做“取整函数”则+++…+=　4923　．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：由于====…==0，有9个0；==…=1，有90个1；==…==2，有900个2；==…==3，有1011个3，代入可求和可得答案．解答：解：∵====…==0，有9个0==…=1，有90个1==…==2，有900个2==…==3，有1011个3则++++…+=9×0+90×1+990×2+1011×3=4923故答案为：4923．-17-点评：本题以新定义为载体，主要考查了对数函数值的基本运算，解题的关键：是对对数值准确取整的计算与理解．　15．对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：①q=0时，f（x）为奇函数②y=f（x）的图象关于（0，q）对称③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根④方程f（x）=0至多有两个实数根其中正确命题的序号为　①②③　．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根．解答：解：①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=﹣（舍去正根），故③正确．④q=0，p=﹣1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=﹣1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．故答案为：①②③点评：本题考查命题的真假判断和应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.-17-16．（12分）（2022秋•宣城校级月考）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由c=asinC﹣ccosA，由正弦定理可得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，化为=，即可得出．（2）由a=2，△ABC的面积为，可得bc=4．由余弦定理可得：，化为b+c=4．联立解出即可．解答：解：（1）∵△ABC中，c=asinC﹣ccosA，由正弦定理可得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵sinC≠0，∴1=sinA﹣cosA=2，即=，∵∈，∴=，∴A=．（2）∵a=2，△ABC的面积为，∴，化为bc=4．由余弦定理可得：，化为b+c=4．联立，解得b=c=2．∴b=c=2．点评：本题考查了正弦定理余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　-17-17．（12分）（2022•河北）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．解答：证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．-17-点评：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．　18．（12分）（2022•河北）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．解答：解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故an=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为Sn，Sn=，①Sn=，②①﹣②得Sn==，解得Sn==2﹣．点评：本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．　-17-19．（12分）（2022秋•宣城校级月考）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药B药0．1．2．3．考点：茎叶图；极差、方差与标准差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（2）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．解答：解：（1）设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y．由观测结果可得=（0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5）=2.3，=（0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2）=1.6．-17-由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2、3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0、1上，由此可看出A药的疗效更好．点评：熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键．　20．（13分）（2022•宣威市一模）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．又f（1）=﹣2．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）在区间上的最大值；（3）解关于x的不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．分析：（1）先求f（0）=0，再取y=﹣x，则f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，故可得函数为奇函数；（2）先判断函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，再求f（﹣3）=﹣f（3）=6，从而可求函数的最大值；（3）利用函数为奇函数，可整理得f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2），利用f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，可得ax2﹣2x＞ax﹣2，故问题转化为解不等式．解答：解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0…1′取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数．…3′（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，…4′∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），又f（x）为奇函数∴f（x1）＞f（x2）-17-∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．∴对任意x∈，恒有f（x）≤f（﹣3）…6′而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6，∴f（﹣3）=﹣f（3）=6，∴f（x）在上的最大值为6…8′（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2），进一步得f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2），而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴ax2﹣2x＞ax﹣2…10′∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}当a＜0时，当0＜a＜2时，当a＞2时，…12′点评：本题考查抽象函数的性质，赋值法事常用方法，同时借助于函数的单调性，抽象函数的不等式问题可以转化为具体函数求解．　21．（14分）（2022•北京）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出即可；（II）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可．解答：解：（I）f′（x）=2x+xcosx，∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，∴f′（a）=0，f（a）=b，联立，-17-解得，故a=0，b=1．（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．于是当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）单调递增．当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴当x=0时，f（x）取得最小值f（0）=1，故当b＞1时，曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点．故b的取值范围是（1，+∞）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键．-17-