安徽省宣城市郎溪中学高二数学上学期第一次月考试题直升部含解析

2022-2022学年安徽省宣城市郎溪中学直升部高二（上）第一次月考数学试卷　一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（　　）A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确　2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（　　）A．3B．9C．17D．51　3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（　　）A．8，5，17B．16，2，2C．16，3，1D．12，3，5　4．如图，程序运行后输出的结果为（　　）A．50B．5C．25D．0　5．数据5，7，7，8，10，11的方差是（　　）A．24B．10C．4D．2　6．已知两组样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，y1，y2，…ym的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（　　）A．B．C．D．　7．如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（　　）-21-\nA．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列　8．四进制数1320（4）化为二进制数是（　　）A．111000B．1111000C．111200D．111100　9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（　　）A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5　10．根据如下样本数据x34567y23799得到的回归方程=bx+a中，b=2，则a的值是（　　）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5　11．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8　12．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（　　）-21-\nA．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]　　二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13．若k进制数175（k）化为十进制数是125，那么k=　　　　　　．　14．下图程序中，当输入的a，b是两个正整数，且a＞b时，程序的功能是　　　　　　．　15．某校高二年级共有学生600名，从某次测试成绩中随机抽出50名同学的成绩，形成样本频率分布直方图如右上，据此估计全年级成绩不少于60分的人数为　　　　　　．　16．关于下列说法-21-\n①描述算法可以有不同的方式；②方差和标准差具有相同的单位；③根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关；④从总体中可以抽取不同的几个样本；⑤如果容量相同的两个样本的方差满足，那么推得总体也满足是错的．其中正确的有　　　　　　．（只填对应的序号）　　三、解答题（本大题共6个小题，共74分）17．（12分）（2022秋•宣城校级月考）有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12，14），6；[14，16），16；[16，18），18；[18，20），22；[20，22），20；[22，24），10；[24，26），8；（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图和频率折线图．　18．（12分）（2022秋•宣城校级月考）两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？　19．（12分）（2022秋•宣城校级月考）设计算法流程图，要求输入自变量x的值，输出函数的值，并写出计算机程序．　20．（12分）（2022秋•宣城校级月考）读右侧程序框图（1）依据程序框图写出程序；（2）当输入的x和n的值分别为1和100时，求输出的S的值．-21-\n　21．（13分）（2022•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．　22．（13分）（2022秋•武汉校级期末）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．-21-\n　　2022-2022学年安徽省宣城市郎溪中学直升部高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（　　）A．总体容量越大，估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大，估计越精确D．样本容量越小，估计越精确【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【专题】阅读型．【分析】用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，对于同一个总体，样本容量越大，估计的越准确．【解答】解：∵用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，∴样本容量越大，估计的越准确，故选C．【点评】本题考查抽样和样本估计总体的实际应用，注意在一个总体中抽取一定的样本估计总体，估计的是否准确，只与样本在总体中所占的比例有关．　2．用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（　　）A．3B．9C．17D．51【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题．【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．　-21-\n3．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少（　　）A．8，5，17B．16，2，2C．16，3，1D．12，3，5【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据所给的三个层次的人数，得到公司的总人数，利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以三个层次的人数，得到结果．【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行身体健康检查，∴每个个体被抽到的概率是，∴职员要抽取160×人，中级管理人员30×人，高级管理人员10×人，即抽取三个层次的人数分别是16，3，1故选C．【点评】本题考查分层抽样方法，解题的主要依据是每个个体被抽到的概率相等，主要是一些比较小的数字的运算，本题是一个基础题．　4．如图，程序运行后输出的结果为（　　）A．50B．5C．25D．0【考点】伪代码．【专题】计算题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出a的值，模拟程序的循环过程，并用表格对程序运行过程中的数据进行分析，不难得到正确的答案．-21-\n【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环aj循环前/01第一圈是12第二圈是33第三圈是14第四圈是05第五圈是06第四圈否故最后输出的值为：0故选D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．　5．数据5，7，7，8，10，11的方差是（　　）A．24B．10C．4D．2【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】先求出数据5，7，7，8，10，11的平均数，再求出数据5，7，7，8，10，11的方差．【解答】解：∵数据5，7，7，8，10，11的平均数为：=（5+7+7+8+10+11）=8，∴数据5，7，7，8，10，11的方差：S2=[（5﹣8）2+（7﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]=4．故选：C．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．　6．已知两组样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，y1，y2，…ym的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（　　）A．B．C．D．【考点】众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】首先根据所给的两组数据的个数和平均数做出这两组数据的和，把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，要求两组数据合成一组的平均数，只要用两组数据的和除以数据的个数即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…xn的平均数为h，-21-\ny1，y2，…ym的平均数为k，∴第一组数据的和是nh，第二组数据的和是mk，把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，所有数据的和是nh+mk，∴这组数据的平均数是，故选B．【点评】本题考查两组数据的平均数，考查平均数的做法和意义，实际上这是一个加权平均数的做法，本题是一个基础题．　7．如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（　　）A．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】操作型．【分析】逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此不难推断程序的功能．【解答】解：逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此程序的功能为求a，b，c三个数的最小数．故答案选B【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案．　-21-\n8．四进制数1320（4）化为二进制数是（　　）A．111000B．1111000C．111200D．111100【考点】进位制．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】首先把四进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以4的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以2，倒序取余即可．．【解答】解：1320（4）=1×43+3×42+2×41+0×40=120（10）120÷2=60…060÷2=30…030÷2=15…015÷2=7…17÷2=3…13÷2=1…11÷2=0…1故：120（10）=1111000（2）故：1320（4）=120（10）=1111000（2）（10分）故选：B．【点评】本题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之间的转化，原理都是相同的，属于基础题．　9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（　　）A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5【考点】排序问题与算法的多样性．【专题】计算题．【分析】把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．【解答】解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=[（3x4+4x3+5x2+6x+7）x+8]+1={{{[（3x+4）x+5]x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．【点评】本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算，不是求具体的运算值而是要我们观察乘法和加法的运算次数，本题是一个基础题．　10．根据如下样本数据x34567y23799得到的回归方程=bx+a中，b=2，则a的值是（　　）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【考点】线性回归方程．-21-\n【专题】计算题；概率与统计．【分析】由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．【解答】解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（2+3+7+9+9）=6，∵回归方程为=bx+a中，b=2，且回归直线过点（5，6），∴6=10+a，解得a=﹣4，故选：C．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．　11．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．　12．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（　　）-21-\nA．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S=t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础．　二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13．若k进制数175（k）化为十进制数是125，那么k=　8　．【考点】进位制．【专题】算法和程序框图．【分析】由175（k）=1×k2+7×k1+5×k0=125，解出即可．【解答】解：175（k）=1×k2+7×k1+5×k0=k2+7k+5=125，化为k2+7k﹣120=0，0＜k＜10．解得k=8．故答案为：8．【点评】本题考查了k进制数化为十进制数的方法，考查了计算能力，属于基础题．　14．下图程序中，当输入的a，b是两个正整数，且a＞b时，程序的功能是　输出a，b最大公约数．　．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】首先读程序，然后分析循环结构体．最后根据辗转相减法的定义进行判断．【解答】解：根据题意，第1步：输入两个正整数a，b（a＞b）；第2步：把|a﹣b|的差赋予r；第3步：把b赋给a，把r赋给b；直到b=0第4步：输出a，b的最大公约数．故答案为：输出a，b最大公约数．-21-\n【点评】本题考查循环结构，属于基础题，对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数．　15．某校高二年级共有学生600名，从某次测试成绩中随机抽出50名同学的成绩，形成样本频率分布直方图如右上，据此估计全年级成绩不少于60分的人数为　480　．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故答案为：480．【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．　16．关于下列说法①描述算法可以有不同的方式；②方差和标准差具有相同的单位；③根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关；④从总体中可以抽取不同的几个样本；⑤如果容量相同的两个样本的方差满足，那么推得总体也满足是错的．其中正确的有　①④　．（只填对应的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】概率与统计．【分析】根据算法的多样性，可判断①；根据方差和标准差的关系，可判断②；根据样本估计总体的特征，可判断③⑤；根据样本是随机性，可判断④；【解答】解：①根据算法的多样性，可知描述算法可以有不同的方式，故正确；②方差是标准差的平方，故方差和标准差具有不同的单位，故错误；③根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量有关，样本容量越大，误差越小，故错误；④从总体中可以抽取不同的几个样本，故正确；-21-\n⑤如果容量相同的两个样本的方差满足，那么推得总体也满足是正确的，故错误．故正确的说法有：①④，故答案为：①④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了算法和统计学的相关概念，难度中档．　三、解答题（本大题共6个小题，共74分）17．（12分）（2022秋•宣城校级月考）有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12，14），6；[14，16），16；[16，18），18；[18，20），22；[20，22），20；[22，24），10；[24，26），8；（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图和频率折线图．【考点】频率分布直方图．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（1）由题中的所给数据，列成表格，即可得到频率分布表中的数据；（2）由频率分布表中的数据，在横轴为数据，纵轴为频率/组距，即可得到频率分布直方图，从而可得频率折线图．【解答】解：（1）样本的频率分布表；分组频数频率fi/△x[12，14）60.060.020[14，16）160.160.053[16，18）180.180.060[18，20）220.220.073[20，22）200.200.067[22，24）100.100.033[24，26）80.080.027（2）频率分布直方图和频率折线图如图-21-\n【点评】本题考查样本的频率分布表、频率分布直方图和频率折线图．解决总体分布估计问题的一般步骤如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计．　18．（12分）（2022秋•宣城校级月考）两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量质检员从两台机床的产品中各抽取4件进行测量，结果如下：机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910如果你是质量检测员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】由已知条件分别求出两组数据的平均数和方差，进行比较能判断哪台机床生产的零件质量更符合要求．【解答】解：机床甲的数据的平均数：==10．机床乙的数据的平均数：==10，机床甲的方差=[（10﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10.2﹣10）2+（10﹣10）2]=0.02，机床乙的方差=[（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10﹣10）2]=0.005，∵=，＞，∴乙台机床生产的零件质量更符合要求．【点评】本题考查平均数、方差的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．　19．（12分）（2022秋•宣城校级月考）设计算法流程图，要求输入自变量x的值，输出函数的值，并写出计算机程序．【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中分段函数的解析式，然后根据分类标准，设置两个判断框的并设置出判断框中的条件，再由函数各段的解析式，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图，再编写满足题意的程序．【解答】解：计算机程序如下：输入x；-21-\nifx＜0，thenf（x）：=2∙x+3；elseifx=0，thenf（x）：=0；elsef（x）：=1/2∙x^2﹣5．输出f（x）．算法流程图如图：【点评】本题考查了设计程序框图解决实际问题．主要考查编写程序解决分段函数问题．　20．（12分）（2022秋•宣城校级月考）读右侧程序框图（1）依据程序框图写出程序；（2）当输入的x和n的值分别为1和100时，求输出的S的值．-21-\n【考点】程序框图．【专题】点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．【分析】（1）先判定循环的结构，然后选择对应的循环语句，对照流程图进行逐句写成语句即可．（2）模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，x，S，i的值，当i=100时不满足条件100＜100，退出循环，输出S的值，用裂项法求和即可得解．【解答】解：（1）程序如下：INPUTx，nS=0i=0WHILEi＜na=xx=x/（x+1）a=axS=S+ai=i+1WENDPRINTSEND（2）当输入的x和n的值分别为1和100时，执行程序，可得：x=1，n=100S=0，i=0-21-\n满足条件0＜100，a=1，x=，a=，S=，i=1满足条件1＜100，a=，x=，a=，S=+，i=2满足条件2＜100，a=，x=，a=，S=++，i=3满足条件3＜100，a=，x=，a=，S=+++，i=4…满足条件99＜100，a=，x=，a=，S=++++…+，i=100不满足条件100＜100，退出循环，输出S的值．由于S=++++…+=+…+=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．故输出的S的值为．【点评】本题考查考生的读图、试图运行能力，考查了将当型循环结构的流程图转化成算法语句，属于基础题．　21．（13分）（2022•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；-21-\n（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD的法向量为=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为=（x2，y2，z2），∵•=0且•=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=-21-\n【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．　22．（13分）（2022秋•武汉校级期末）如图，已知圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，半径为1，点A（0，3）．（Ⅰ）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|（O为坐标原点），求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）求出圆心C的坐标，设出点A作圆C的切线方程，利用点到直线的距离等于半径，然后求切线的方程；（Ⅱ）设出圆C的方程，点M的坐标，利用|MA|=2|MO|，求出M的轨迹，通过两个圆的位置关系，求圆心C的横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得圆心C（3，2），过点A作圆C的切线斜率存在，设A点的圆C的切线的方程：y=kx+3，即kx﹣y+3=0．由题意，，解得k=0，k=，所求切线方程为：y=3或3x+4y﹣12=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l：y=2x﹣4上，∴圆C的方程设为：（x﹣a）2+（y﹣（2a﹣4））2=1，设M（x，y），由|MA|=2|MO|，可得：，化简可得x2+（y+1）2=4，点M在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M（x，y）在圆上，∴圆C和圆D有公共点，则|2﹣1|≤|CD|≤2+1，-21-\n∴1≤3，即1，5a2﹣12a+8≥0，可得a∈R，由5a2﹣12a≤0，可得0，圆心C的横坐标a的取值范围：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．　-21-