安徽省宣城市郎溪中学高一数学上学期第一次月考试卷含解析

2022-2022学年安徽省宣城市郎溪中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={3，4，5}，则∁U（M∩N）=()A．{2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，3，4，5}2．下列函数中，定义域为8．已知f（x）的定义域为，则f（x﹣1）的定义域是()A．B．C．D．9．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．B．C．D．10．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=()A．﹣2B．0C．1D．211．已知函数，是R上的减函数，则a的取值范围是()A．B．C．-14-\n12．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=()A．0B．1C．D．5二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=的定义域为__________．14．若f（x）=（x﹣a）（x+4）为偶函数，则实数a=__________．15．已知函数，则函数f（x）的值域为__________．16．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是__________．三、解答题（共6小题，满分70分）17．集合A={x|x2﹣px+15=0}和B={x|x2﹣ax﹣b=0}，若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，分别求实数p、a、b的值．18．求下列各题中的函数f（x）的解析式．（1）已知函数y=f（x）满足2f（x）+f=2x，x∈R且x≠0，求f（x）；（2）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，求f（x）．-14-\n19．集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x＜a}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围．（2）若A∪B={x|x＜1}，求a的取值范围．20．已知实数a≠0，函数f（x）=（1）若a=﹣3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1﹣a）=f（1+a），求a的值．21．已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3．（1）作出函数f（x）的大致图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值．22．（14分）设函数f（x）的定义域为R，对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=﹣4．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）证明：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．（3）求f（x）在区间上的最大值与最小值．-14-\n2022-2022学年安徽省宣城市郎溪中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={3，4，5}，则∁U（M∩N）=()A．{2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出M与N的交集，根据全集U求出交集的补集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={3，4，5}，∴M∩N={3，5}，则∁U（M∩N）={1，2，4}．故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．下列函数中，定义域为故选C；【点评】此题主要考查函数值的求解，是一道基础题；7．定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，则必有()A．f（x）在R上是增函数B．f（x）在R上是减函数C．函数f（x）是先增加后减少D．函数f（x）是先减少后增加【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】常规题型；函数的性质及应用．【分析】由单调性的定义说明单调性即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有＞0成立，-14-\n即对任意两个不相等实数a，b，若a＜b，总有f（a）＜f（b）成立，f（x）在R上是增函数．故选A．【点评】本题考查了函数单调性的变形应用，属于基础题．8．已知f（x）的定义域为，则f（x﹣1）的定义域是()A．B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域为，∴由﹣2≤x﹣1≤3得﹣1≤x≤4，故函数的定义域为，故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．9．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的定义域以及对应法则是否相同，推出结果即可．【解答】解：，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．-14-\n，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同函数．，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．故选：C．【点评】本题考查函数的定义的应用，是基本知识的考查．10．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=()A．﹣2B．0C．1D．2【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．11．已知函数，是R上的减函数，则a的取值范围是()A．B．C．【考点】函数单调性的性质．-14-\n【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）为R上的减函数知，x≥0时，二次函数f（x）=﹣x2+2ax﹣3﹣4a为减函数，从而便可得到a≤0，而根据减函数的定义便有﹣3a≥﹣3﹣4a，这样即可得出a的取值范围．【解答】解：f（x）为R上的减函数；∴根据二次函数的单调性及减函数定义得：；∴﹣3≤a≤0；∴a的取值范围为．故选B．【点评】考查减函数的定义，分段函数的单调性，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性．12．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=()A．0B．1C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；-14-\n令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．【点评】本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数y=的定义域为（﹣∞，1]∪∪∪即（﹣x﹣a）（﹣x+4）=（x﹣a）（x+4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案为：4．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题15．已知函数，则函数f（x）的值域为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．【解答】解：∵函数，∴f'（x）=1﹣，由f'（x）≥0，解得2≤x≤5，此时函数单调递增．由f'（x）≤0，解得1≤x≤2，此时函数单调递减．∴函数f（x）的最小值为f（2）=2，∵f（1）=1+4=5，f（5）=5+．-14-\n∴最大值为f（5）=，∴4，即函数的值域为：．故答案为：．【点评】本题主要考查函数的值域的求法，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．16．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．-14-\n满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．三、解答题（共6小题，满分70分）17．集合A={x|x2﹣px+15=0}和B={x|x2﹣ax﹣b=0}，若A∪B={2，3，5}，A∩B={3}，分别求实数p、a、b的值．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a，b，从而解决问题．【解答】解：因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，所以A={3，5}又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，，所以B={2，3}．所以方程x2﹣ax﹣b=0的二根为2和3．由韦达定理可得a=5，b=﹣6综上可知p=8，a=5，b=﹣6..【点评】本题考查学生的等价转化能力，将所求的取值化为相应的方程通过求解方程解出答案，正确进行转化是解决该题的关键．18．求下列各题中的函数f（x）的解析式．（1）已知函数y=f（x）满足2f（x）+f=2x，x∈R且x≠0，求f（x）；（2）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，求f（x）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．-14-\n【分析】（1）可将式子中的x换上，这样便可又得到一个关于的式子，这两个式子联立即可解出f（x）；（2）根据f（x）为二次函数，且f（0）=1，便可设f（x）=ax2+bx+1，而根据f（x+1）=f（x）+2x便可得到2ax+a+b=2x，从而便有，这样便可求出a，b，从而得出f（x）．【解答】解：（1）将式子2f（x）+=2x①中的x换上得到：②；①②联立解出f（x）=；（2）二次函数f（x）满足f（0）=1；∴设f（x）=ax2+bx+1，则：f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+bx+1+2ax+a+b；∴由f（x+1）=f（x）+2x得，ax2+bx+1+2ax+a+b=ax2+bx+1+2x；∴2ax+a+b=2x；∴；∴；∴f（x）=x2﹣x+1．【点评】考查函数解析式的概念及求法，构造关于f（x）的方程组求函数解析式的方法，待定系数求解析式的方法，以及多项式相等时，对应项的系数相等．19．集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x＜a}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围．（2）若A∪B={x|x＜1}，求a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【专题】计算题．【分析】（1）根据A与B，且A与B的交集及其空集，求出a的范围即可；（2）根据A与B的并集，由A与B求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x＜a}，且A∩B=∅，-14-\n∴a≤﹣1；（2）∵A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x＜a}，且A∪B={x|x＜1}，∴﹣1＜a≤1．【点评】此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握交集与并集的定义是解本题的关键．20．已知实数a≠0，函数f（x）=（1）若a=﹣3，求f（10），f（f（10））的值；（2）若f（1﹣a）=f（1+a），求a的值．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）写出分段函数，代入计算，可求f（10），f（f（10））的值；（2）分类讨论，利用f（1﹣a）=f（1+a），解方程，即可求a的值．【解答】解：（1）若a=﹣3，则f（x）=所以f（10）=﹣4，f（f（10））=f（﹣4）=﹣11．（2）当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1，所以2（1﹣a）+a=﹣（1+a）﹣2a，解得a=﹣，不合，舍去；当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1，所以﹣（1﹣a）﹣2a=2（1+a）+a，解得a=﹣，符合．综上可知，a=﹣．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，难度中等．21．已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣3．（1）作出函数f（x）的大致图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在上的最大值与最小值．-14-\n【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）写出分段函数解析式，结合二次函数的图象作图，由图象得函数的单调区间；（2）直接由图象得到函数f（x）在上的最大值与最小值．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2|x|﹣3=．图象如图：由图象知函数的单调减区间是（﹣∞，﹣1]，（0，1]．单调增区间是（﹣1，0]，（1，+∞）；（2）结合图象可知最小值为f（1）=f（﹣1）=﹣4，最大值为f（4）=5．【点评】本题考查了分段函数的图象，考查了由图象判断函数的单调性，并由函数单调性求函数的最值，是基础题．22．（14分）设函数f（x）的定义域为R，对任意实数x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时f（x）＜0且f（3）=﹣4．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）证明：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．（3）求f（x）在区间上的最大值与最小值．-14-\n【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=﹣x可得f（﹣x）=﹣f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论f（x）为奇函数，（2）再利用函数单调性的定义由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，（3）根据单调性，以及f（3）=﹣4，得到f（x）在上有最大值和最小值．【解答】（1）证明：令x=y=0知f（0）=0，令x+y=0知f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．（2）证明：任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．（3）解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数∴f（x）在上有最大值和最小值最小值为f（9）=f（6）+f（3）=f（3）+f（3）+f（3）=3f（3）=﹣12；最大值为f（﹣9）=﹣f（9）=12．【点评】本题考查的知识点是抽象函数，函数单调性与性质，是对函数性质及应用的综合考查，属于中档题．-14-