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安徽省宿松县凉亭中学2022届高三数学上学期第二次月考试卷理
安徽省宿松县凉亭中学2022届高三数学上学期第二次月考试卷理
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安徽省宿松县凉亭中学2022届上学期高三第二次月考数学试卷(理)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则()A.B.C.D.2.等差数列中,,,则的前8项的和为()A.32B.64C.108D.1283.已知,,,则a,b,c的大小关系是()A.B.C.D.4.已知,,∥,则=()A.B.5C.D.5.平面向量满足,且,,则在方向上的投影为()A.B.2C.D.6.在中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,其中,若函数的极大值是,则的面积等于()A.1B.C.2D.7.已知,,则=()A.B.C.D.8.下列说法中正确的是()A.若命题:,,则:,.B.命题:“若,则或”的逆否命题是:“若且,则”.C.“”是“为偶函数”的充要条件.D.命题p:若,则是的充分不必要条件;命题q:若幂函数的图像过点,则.则是假命题.9.先将函数的图像上所有点向右平移个单位,再向上平移1个单位后得到函数的图像,则下列正确的是()12\nA.的周期是B.是奇函数C.的图像关于点对称D.在区间上单调递增10.已知中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形11.定义在R上的函数满足,其中是的导函数,为自然对数的底数,则下列正确的是()A.B.C.D.12.已知定义在R上的函数是偶函数,当时,,若关于的方程(),有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数是定义在R上的奇函数,其图像是一条连续不断的曲线,且,则_________.14.在正方形ABCD中,M是BD的中点,且,函数的图象为曲线,若曲线存在与直线垂直的切线(为自然对数的底数),则实数a的取值范围是__________.15.等比数列中,、是关于x方程的两个根,其中点在直线上,且,则的值是_______.16.如图,已知正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点.以A为圆心,AE为半径,作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点,则的最小值为__________.三、解答题:本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列满足.12\n(1)求数列的通项公式;(2)令,,求证:.18.(本小题满分12分)如图,是圆的直径,是圆上异于A、B的一个动点,垂直于圆所在的平面,∥,,.(1)求证:平面;(2)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知某校的数学专业开设了A、B、C、D四门选修课,甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门.(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率;(2)若甲和乙要选同一门课,求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)如图,设椭圆C:的离心率,椭圆C上一点M到左、右两个焦点、的距离之和是4.(1)求椭圆C的方程;(2)直线与椭圆C交于P、Q两点,P点位于第一象限,A、B是椭圆上位于直线两侧的动点,若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值.12\n21.(本小题满分12分)已知函数,=.(1)当,存在x0[,e](e为自然对数的底数),使,求实数a的取值范围;(2)当时,设,在的图象上是否存在不同的两点A,B,使得?请说明理由.请考生从22、23题中任选一题作答;如果多做,则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,⊙的半径为6,线段与⊙相交于点、,,,与⊙相交于点.(1)求长;(2)当时,求证:.23.(本小题满分10分)选修4—5:坐标系与参数方程在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足,记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)求曲线C2上的点到直线的距离的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数.(1)解不等式;(2)若对任意,都存在,使得成立,求实数的取值范围.12\n参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则()A.B.C.D.【答案】A【命题意图】本题旨在考查集合的运算、函数的定义域、解不等式,属容易题.【解析】,,,选A.2.等差数列中,,,则的前8项的和为()A.32B.64C.108D.128【答案】B【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和,性质,属容易题.【解析】,,选B.3.已知,,,则a,b,c的大小关系是()A.B.C.D.【答案】A【命题意图】本题考查幂(或指数函数)和对数函数的单调性,属容易题.【解析】,由在R上单调递增,得>,又,,故选A.4.已知,,∥,则=()A.B.5C.D.【答案】D【命题意图】本题考查向量共线向量定理、模长计算和坐标运算,属容易题.【解析】∥,选D.5.平面向量满足,且,,则在方向上的投影为()A.B.2C.D.【答案】C【命题意图】本题旨在考查向量的数量积运算、投影的概念.【解析】,选C.6.在中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,其中,若函数的极大值是,则的面积等于()A.1B.C.2D.【答案】B【命题立意】本题综合导数的极值的知识考查解三角形的有关知识.【解析】,易知,12\n从而,选B.7.已知,,则=()A.B.C.D.【答案】C【命题立意】本题考查三角恒等变形、涉及公式的逆用、角的变换,体现简化计算的思想,属中等题.【解析】,,原式,选C.8.下列说法中正确的是()A.若命题:,,则:,.B.命题:“若,则或”的逆否命题是:“若且,则”.C.“”是“为偶函数”的充要条件.D.命题p:若,则是的充分不必要条件;命题q:若幂函数的图像过点,则.则是假命题.【答案】B【命题立意】本题考查命题、充要条件和逻辑等有关知识,综合题较强.【解析】A选项错误,:,;C选项错误,是的充分不必要条件;D选项错误,命题p、q均为真,则为真命题.9.先将函数的图像上所有点向右平移个单位,再向上平移1个单位后得到函数的图像,则下列正确的是()A.的周期是B.是奇函数C.的图像关于点对称D.在区间上单调递增【答案】D【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及性质,属中等题.【解析】的周期显然是,A错;是偶函数,B错;,一个对称中心是,C错;D是正确的.12\n10.已知中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若,则是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【答案】C【命题立意】本题重点考查正、余弦定理和基本不等式求最值,难度中等.【解析】,故(当且仅当),此时,故选C.注:排除法也可以.11.定义在R上的函数满足,其中是的导函数,为自然对数的底数,则下列正确的是()A.B.C.D.【答案】B【命题立意】本题考查导数的运算及构造函数思想,函数的单调性以及不等式思想,属中等偏难题.【解析】,是增函数,,,即A、B错误;C、D一对一错,对于C:,两边同时加,得,故选C.12.已知定义在R上的函数是偶函数,当时,,若关于的方程(),有且仅有6个不同实数根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【命题立意】本题考查分段函数的图像,换元法,涉及数形结合、方程、转化思想,属难题.【解析】的图像如图所示,,当时,的最大值是2,;当时,的最小值是0,是部分图像的渐近线.设,依题意,符合题意有两种情况:(1),此时,则;12\n(2),,此时,则;综上,,选C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数是定义在R上的奇函数,其图像是一条连续不断的曲线,且,则_________.【答案】0.【命题立意】本题考查对称性、周期性,属容易题.【解析】由已知,对称中心,则,.14.在正方形ABCD中,M是BD的中点,且,函数的图象为曲线,若曲线存在与直线垂直的切线(为自然对数的底数),则实数a的取值范围是__________.【答案】【命题立意】本题旨在考查向量共线、导数的几何意义,导数及其应用,有一定综合性.【解析】B、D、M三点共线得,由题可得,由于曲线C存在与直线垂直的切线,则有解,即有解,.15.等比数列中,、是关于x方程的两个根,其中点在直线上,且,则的值是_______.【答案】3.【命题立意】本题考查定积分的计算,等比数列的性质,属易错题.【解析】,10,于是,,,,从而,.16.如图,已知正方形ABCD的边长为2,点E为AB的中点.以A为圆心,AE为半径,作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点,则的最小值为__________.【答案】.【命题立意】本题考查平面向量数量积,最值,意在考查分析能力,转化能力,中等题.【解析】以点为坐标原点,建立如图的平面直角坐标系,则,,设,,,12\n(其中),当时,取得最小值.三、解答题:本大题共6小题,满分70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)令,,求证:.【命题意图】考查数列的求和;求通项公式.【解析】(1),两式相减得,又,.……6分(2)……12分18.(本小题满分12分)如图,是圆的直径,是圆上异于A、B的一个动点,垂直于圆所在的平面,∥,,.(1)求证:平面;(2)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【命题意图】考查立体几何中线面关系的判定和性质;空间向量知识的运用及二面角的计算.【解析】(1)∵DC⊥面ABC,∴DC⊥BC,又∵AB是的直径,∴AC⊥BCAC∩DC=C,面ACD,∴BC⊥平面ACD又∵DC//EB,DC=EB,∴四边形BCDE是平行四边形,∴DE//BC∴DE⊥平面ACD.……4分(2)如图,以C为原点建立空间直角坐标系,则,……6分设平面ADE的一个法向量,则,令得…8分设平面ABE的一个法向量,,令得,……10分12\n,∴所求余弦值为.……12分19.(本小题满分12分)已知某校的数学专业开设了A、B、C、D四门选修课,甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门.(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率;(2)若甲和乙要选同一门课,求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望.【命题意图】考查古典概率,离散型随机变量的分布列和期望.【解析】(1)3名学生选择的选修课所有不同选法有43=64种;(2分)各人互不相同的选法有种,互不相同的概率:……5分(2)选修课A被这3名学生选修的人数X:0,1,2,3,……6分,,,所以X的分布列为X0123P……10分数学期望EX=……12分.(注:不列表格不扣分)20.(本小题满分12分)如图,设椭圆C:的离心率,椭圆C上一点M到左、右两个焦点、的距离之和是4.(1)求椭圆C的方程;(2)直线与椭圆C交于P、Q两点,P点位于第一象限,A、B是椭圆上位于直线两侧的动点,若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值.【命题意图】考查椭圆的定义及基本量的计算,直线和椭圆的位置关系,设而不求和函数思想.【解析】(1)依题意,∴椭圆C方程为:……4分(2)易知,设,AB:……6分与椭圆联立得,,……8分的最大值是.……12分12\n21.(本小题满分12分)已知函数,=.(1)当,存在x0[,e](e为自然对数的底数),使,求实数a的取值范围;(2)当时,设,在的图象上是否存在不同的两点A,B,使得?请说明理由.【命题意图】本题考查导数的几何意义、运算及应用,涉及分离变量、构造函数、换元法以及转化思想.【解析】(1)可化为,令,则∴当时,;当时,;又∵,,则.……5分(2),;;;故可化为,即……7分又即①,令,①式可化为,……9分令,,∴在(1,+∞)上递增…11分∴;∴无零点,故A、B两点不存在.……12分请考生从22、23题中任选一题作答;如果多做,则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,⊙的半径为6,线段与⊙相交于点、,,,与⊙相交于点.(1)求长;(2)当时,求证:.【解析】(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB.∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴,∵OC=OD=6,AC=4,12\n∴,∴BD=9.……5分(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A.∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO.∴AD=AO……10分23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足,记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)求曲线C2上的点到直线的距离的最大值.【解析】(1)设P(ρ,θ),M(ρ1,θ),ρ1sinθ=2,ρρ1=4.消ρ1,得C2:ρ=2sinθ.…5分(2)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2.C2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C3的距离d=,故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1+.……10分24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数.(1)解不等式;(2)若对任意,都存在,使得成立,求实数的取值范围.【解析】(1)由得,得不等式的解为……5分(2)因为任意,都有,使得成立,所以,又,,所以,解得或,所以实数的取值范围为或……10分12
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