安徽省江南十校2022届高三数学上学期期末大联考试题 理（含解析）新人教A版

安徽省江南十校2022届高三上学期期末大联考【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、命题，数列，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷一、选择题【题文】1．设复数z满足（1+i）=2-i(i为虚数单位，表示复数z的共轭复数），则在复平面上复数z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】A【解析】由（1+i）=2-i，得===，故z=.【思路点拨】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，则z可求．【题文】2．将甲、乙两名篮球运动员在5场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分，则下列结论正确的是A．，且甲队员比乙队员成绩稳定B．，且乙队员比甲队员成绩稳定C．，且甲队员比乙队员成绩稳定D．且乙队员比甲队员成绩稳定【知识点】用样本估计总体I2【答案】B【解析】根据茎叶图，知；甲的平均成绩为乙的平均成绩为15\n甲的方差为s甲2=×[（14-25.6）2+（25-25.6）2+（26-25.6）2+（30-25.6）2+（33-25.6）2]=41.84，乙的方差为s乙2=[（16-22.6）2+（20-22.6）2+（22-22.6）2+（24-22.6）2+（31-22.6）2]=24.64；∴，s甲2＞s乙2；即甲运动员比乙运动员平均得分高，乙队员比甲队员成绩稳定．【思路点拨】计算甲乙二人的平均数与方差，比较计算结果即可．【题文】3．如图，若输入n的值为4，则输出A的值为A.3B.-2C-D【知识点】算法与程序框图L1【答案】A【解析】执行程序框图，第1次运行：A=-2，i=1；第2次运行：A=-，i=2；第3次运行：A=，i=3；第4次运行：A=3，i=4；结束循环，输出A的值为3．【思路点拨】执行程序框图，写出每次循环得到的A，i的值，当i=4时，结束循环，输出A的值为3．【题文】4．设是首项为,公差为d(d0)的等差数列，为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d=A.-1BCD【知识点】等差数列及等差数列前n项和D215\n【答案】A【解析】∵S1=a1=，S2=2a1+d=d-1，S4=4a1+6d=6d-2，且S1，S2，S4成等比数列，则(d-1)2=(-)•(6d-2)，解得：d=-1或d=0（舍）．【思路点拨】由等差数列的前n项和得到S1，S2，S4，再由S1，S2，S4成等比数列列式求得d的值．【题文】5．已知,b=ln0.1,c=lm1，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】A【解析】∵a=20.1＞1，b=ln0.1＜0，0＜c=sin1＜1，∴a＞b＞c．【思路点拨】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【题文】6．设函数f(x)(x)满足f(x+2)=2f(x)+x,且当时，f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大整数，则f(5.5)=A．8.5B．10.5C．12.5D．14.5【知识点】函数的奇偶性与周期性B4【答案】B【解析】由题意f（x+2）=2f（x）+x得：f（5.5）=2f（3.5）+3.5=2[2f（1.5）+1.5]+3.5=4f（1.5）+6.5=4×1+6.5=10.5．【思路点拨】此题类似于函数的周期性，应先将f（5.5）转化到区间[0，2]上来，然后取整求解．【题文】7．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是(t为参数)，曲线C的极坐标方程是则直线l被曲线C截得的弦长为AB.6C.12D7【知识点】选修4-4参数与参数方程N3【答案】C【解析】由（t为参数）得，直线l普通方程是：y=x-15\n，由ρsin2θ=3cosθ得，ρ2sin2θ=3ρcosθ，即y2=3x，则抛物线y2=3x的焦点是F（，0），所以直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设直线l与曲线C交于点A（x1、y1）、B（x2、y2），由得，16x2-168x+9=0，所以△＞0，且x1+x2=，所以|AB|=x1+x2+p=+=12，【思路点拨】先将参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，判断出直线l过抛物线y2=3x焦点F（，0），设出交点坐标联立方程消去y后，再由韦达定理求出x1+x2，代入焦点弦公式求值即可．【题文】8．设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是若若，，则若，l与所成的角与m与所成的角相等，则若，，则。【知识点】空间中的平行关系，垂直关系G4G5【答案】D【解析】对于A，l可能在平面内也可能在平面外，错误，对于B，l可能在平面内，错误，对于C，l,m可能平行，相交，异面，错误。对于D，因为，所以又因为，所以，正确。【思路点拨】根据线面平行垂直关系得到。【题文】9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.44+B40+4C44+4D44+215\n【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．则该几何体的表面积S=4××22+4×2×4+22-π×12+×4×π×12=44+π．【思路点拨】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥和一个长方体去掉一个半球的组合体．解出即可．【题文】10．已知点A(1，-1),B(4，0),C(2，2)平面区域D是由所有满足=λ+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域，若区域D的面积为8，则的最小值为A．5B．4C．9D．5+4【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案】C【解析】如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．∵=（3，1），=（1，3），=（-2，2），∴||=，||=，15\n||=2．∴cos∠CAB===，sin∠CAB=．∴四边形EFGH的面积S=(a-1)×(b-1)××=8，∴（a-1）（b-1）=1，即+=1．∴4a+b=（4a+b）(+)=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a=3时取等号．∴4a+b的最小值为9．【思路点拨】如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的夹角公式可得cos∠CAB=，利用四边形EFGH的面积S=(a-1)×(b-1)××=8，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【题文】第II卷二填空题【题文】11.椭圆（a>b>0）上任意一点P到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】【解析】由题意得2a=6故a=3,又离心率e=,所以c=1,=8,故椭圆方程为。【思路点拨】离心率e=,所以c=1,=8,故椭圆方程为。15\n【题文】12.已知m>0,实数x,y满足若z=x+2y的最大值为2，则实数m=【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】1【解析】做出不等式组所表示的可行域如图所示，由图可知z=x+2y在点（0，m）处取得最大值，故0+2m=2,得m=1.【思路点拨】做出不等式组所表示的可行域,由图可知z=x+2y在点（0，m）处取得最大值，故0+2m=2,得m=1.【题文】13设直线（k+1）x+（k+2）y-2=0与两坐标轴围成的三角形面积为，则【知识点】数列求和D4【答案】【解析】令y=0,得x=,令x=0,得y=,所以所以2=2=【思路点拨】得求和。【题文】14已知二项展开式（1+ax）5=1+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，集合A={80，40，32，10}，若ai∈A（i=1，2，3，4，5），则a=【知识点】二项式定理J3【答案】2【解析】由二项式定理，可得，（1+ax）5=1+ax+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则有a1=5a，a2=10a2，a3=10a3，a4=5a4，a5=a5．由于集合A={80，40，32，10}，且ai∈15\nA（i=1，2，3，4，5），则ai＞0，即a＞0，若a=1，则显然不成立，即a＞1，则a1为较小的，若a1=32或40，则显然不成立，若a1=10，则a=2，a1=10，a2=40，a3=80，a4=80，a5=32．成立．【思路点拨】运用二项式定理展开，可得对应项的系数，再由条件判断a＞1，对a1讨论，即可得到所求值．【题文】15已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1（x∈R），则下列命题正确的是（写出所有正确命题序号）（1）f(x)为周期函数（2）f(x)的图像关于x=对称（3）f(x)的最小值为（4）f(x)的单调递减区间[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（5）f(x)在（0，nπ）内恰有2022个零点，n取值范围1.007.5＜n＜1008．【知识点】单元综合B14【答案】①③④【解析】f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1=-sin2x-1．∵f（x+π）=f（x），∴f（x）是周期为π的函数，①正确；∵f()≠f()，∴f（x）的图象不关于x=对称，②错误；∵f（x）是周期为π的函数，故只需研究f（x）在（0，π]上的最小值，当0≤sin2x≤1时，即x∈（0，]时，f（x）=-sin2x-1，令t=，则f（x）转化为g（t）=-t2+t，t∈[1，]，求得g（t）∈[-2，0]；当-1≤sin2x≤0时，即x∈（，π]时，同理求得g（t）∈[0，]．∴f（x）的最小值为-2，命题③正确；由③可知，当x∈（0，]，即t∈[1，]时，g（t）在[1，]上单调递减，f（x）=在（0，]上递增，在(，]上递减，∴f（x）在（0，]上递减，在(，]上递增．当x∈（，π]时，15\n同理可得f（x）在(，]上递增，在(，π]上递减．∵f（x）为连续函数，故f（x）在[，]上递增．又f（x）的周期为π，∴f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z），④正确；由已知函数解析式知，当且仅当sin2x=0时，f（x）=0，当x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为，π，∵2022=2×1007+1，∴当1007.5＜n≤1008时，f（x）在（0，nπ）内恰有2022个零点，命题⑤错误．【思路点拨】把函数f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1化为f（x）=-sin2x-1，然后直接由周期的定义求周期判断①；由f()≠f()判断②；换元后利用二次函数求最值判断③；借助于复合函数的单调性判断④；求出函数在（0，π]内的零点后分析使得f（x）在（0，nπ）内恰有2022个零点的n的取值范围判断⑤．三、解答题【题文】16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的（I）求角A的大小；（II）若cosB是方程的值。【知识点】解三角形C8【答案】（Ⅰ）（II）【解析】（Ⅰ）已知等式（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a-b）=c（c-b），即b2+c2-a2=bc，∴cosA==，则A=；（Ⅱ）方程3x2-10x+3=0，解得：x1=，x2=3，由cosB≤1，得到cosB=，∴sinB==，则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×15\n=．【思路点拨】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；（Ⅱ）求出已知方程的解确定出cosB的值，进而求出sinB的值，利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．【题文】17．已知函数是自然对数的底数，（I）讨论在其定义域上的单调性；（II）当取得最小值时x的值。【知识点】导数的应用B12【答案】（Ⅰ）函数f（x）在（-∞，）和（，+∞）为增函数，在（，）为减函数（II）当a＜0时，x的值为，当a≥0时，x的值为0【解析】（Ⅰ）f′（x）=[（x2+（a+2）x+a]•ex，△=（a+2）2-4a=（a-2）2，≥0，恒成立令f′（x）=0，解得x1=，x2=，当f′（x）＞0，解得x＞x2，或x＜x1，当f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，故函数f（x）在（-∞，）和（，+∞）为增函数，在（，）为减函数（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x2处取得极小值，当x2＞0，即＞0，解得a＜0时，x2∈[0，+∞），则f（x）在x=处取得极小值，当x2≤0，解得a≥0时，x2∈15\n[0，+∞），则f（x）在x=0处取得极小值，综上所述，当a＜0时，x的值为，当a≥0时，x的值为0【思路点拨】（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在x2处取得极小值，分当x2＞0，x2≤0，两种情况讨论即可【题文】18．全国高中数学联合竞赛于每年10月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中，加试有4题，小明参加了今年的竞赛，他能够容对加试的第一、二、三、四题的概率分别为0.5，0.5,0.2,0.2，且答对各题互不影响。（I）求小明在加试中至少答对3题的概率；（II）记X为小明在加试中答对的题的个数，求X的分布列和数学期望。【知识点】离散型随机变量及其分布列K6【答案】（1）0.01（II）1.4【解析】（1）设小明能够答对加试的第一，二，三，四题分别为事件Ai（i=1，2，3，4）．则小明在加试中至少答对3题的概率P（X=3或4）=P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)+P（A1A2A3A4）=0.5×0.5×0.2×（1-0.2）×2+0.5×0.2×0.2×（1-0.5）×2+0.5×0.5×0.2×0.2=0.08+0.02+0.01=0.11．（2）类比（1）可得：P（X=0）=（1-0.5）×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）=0.16，P（X=1）=0.5×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）×2+（1-0.5）×（1-0.5）×0.2×（1-0.2）×2=0.32+0.08=0.4，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01．P（X=2）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]=1-（0.16+0.4+0.1+0.01）=0.33．可得随机变量X的分布列： X 0 1 2 3 4 P（X） 0.16 0.4 0.33 0.1 0.01∴E（X）=0×0.16+1×0.4+2×0.33+3×0.1+4×0.01=1.4．【思路点拨】（1）利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）类比（1）可得：P（X=0）=（1-0.5）×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2），P（X=1）=0.5×（1-0.5）×（1-0.2）×（1-0.2）×2+（1-0.5）×（1-0.5）×0.2×（1-0.2）×2=0.32+0.08，P（X=3）=0.08+0.02=0.1，P（X=4）=0.01．P（X=2）=1-[P（X=0）+P（X=1）+P（X=3）+P（X=4）]．再利用数学期望的计算公式即可得出．【题文】19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD且PB与底面ABCD,所成的角为，E为PB的中点，过A,E,D三点的平面记为，PC与的交点为Q（Ⅰ）试确定Q位置并证明；（Ⅱ）求被α分上下两部分体积比．（Ⅲ）若=2，截面面积3，求α二面正切值．15\n【知识点】单元综合G12【答案】（Ⅰ）Q为PC的中点（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）Q为PC的中点．理由证明如下：因为AD∥BC，AB⊄平面PBC，故AD∥平面PBC．又由于平面α∩平面PBC=EQ，故AD∥EQ．所以：BC∥EQ．又E为PB的中点，故Q为PC的中点．（Ⅱ）如图连接EQ，DQ，因为：PA⊥平面ABCD，所以PB与平面ABCD所成的角为∠PBA=45°故：PA=AB又因为：E为PB的中点，所以PE⊥AE．因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB．又PA⊥平面ABCD得到：AD⊥PA，又PA∩AB=A故：PE⊥平面α设：PA=h，AD=2a，四棱锥P-ABCD被平面α所分成的上下两部分分别为V1和V2则：EQ=a又因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥AE．V=•PE•SAEQD=h•(a+2a)h=h2V下=PA•SABCD-V上=ah2,=（Ⅲ）过E作EF⊥DQ，连接PF，因为PE⊥平面α，所以PE⊥DF又由于EF∩PE=E，所以DF⊥平面PEF，则：DF⊥PF所以：∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角．因为：PA=2，即h=2，截面AEQD的面积为3．所以：SAEQD=(a+2a)h=3解得：a=15\n又因为：AD∥EQ，且EQ=AD，故：S△EQD=SAEQD=1QD==2又S△EQD=EF•DQ=1解得：EF=1．PE=PB=在直角三角形PEF中，tan∠PFE==即：平面α与平面PCD所成的二面角的正切值为．【思路点拨】（Ⅰ）利用线面平行和线线平行之间的转化求出结论．（Ⅱ）利用线面的垂直，进一步算出锥体的体积运算求出比值．（Ⅲ）通过做出二面角的平面角求出相关的量，进一步解直角三角形求得结果【题文】20．已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上，圆D为三角形OEF的外接圆，圆C的方程为，过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=（I）求圆D的方程；（II）试用d表示,并求的最小值。【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案】（Ⅰ）x2+（y-2）2=4（II）6【解析】（Ⅰ）设E（x1，x12），F（x2，x22），x1＞x2，∵△OEF是正三角形，∴×解得x1=，则E（，3），同理，F（-，3），∴外接圆的圆心为（0，2），半径为2，故圆D的方程为x2+（y-2）2=4．（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），∴|DC|=5，由圆的几何性质，得：|DC|-1≤|DM|≤|DC|+1，即4≤|DM|≤6，又|DA|=2，在Rt△DAM中，由勾股定理，得：d=|MA|=，∴2≤d≤4，设∠DMA=θ，则tanθ=，15\n∴cos∠AMB=cos2θ=cos2θ-sin2θ===，∴=||•||cos∠AMB=d2•，令t=d2+4，则t∈[16，36]，∴==t+-12，令f（t）=t+-12，t∈[16，36]，则f′（t）=1-=＞0，∴f（t）在[16，36]上单调递增，当t=d2+4=16，即d=2时，取得最小值为6．【思路点拨】（Ⅰ）设E（x1，x12），F（x2，x22），x1＞x2，由已知得E（，3），F（-，3），由此能求出圆D的方程．（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），从而|DC|=5，由圆的向何性质，得4≤|DM|≤6，2≤d≤4，由此能求出,取得最小值为6．【题文】21．设数列{}各项均为正数，且满足{an}，an1=an-an2．（I）求证：对一切n≥2，都有an≤（II）已知前n项和S，n≥2，都有S2n-Sn-1＜ln2．【知识点】单元综合D5【答案】（Ⅰ）略（II）略【解析】（Ⅰ）∵数列{an}各项均为正数，且满足an+1=an-an2，∴a2=a1-a12＞0，解得0＜a1＜1，当n=2时，a3=a2-a22=-(a1-)2≤，不等式成立，假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即ak≤，则当n=k+1时，ak+1=ak-ak2=-(ak-)2≤-（-）2=＜=，∴15\n当n=k+1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有an≤．（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）-，x＞0则f′(x)=-=＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，则f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，令x=，代入上式，得＜ln(n+2)-ln(n+1)，对一切n≥2，S2n-Sn-1=an+an+1+an+2+…+a2n≤+++…+＜ln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+…+ln（2n+2）-ln（2n+1）=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2．∴对一切n≥2，都有S2n-Sn-1＜ln2．．【思路点拨】（Ⅰ）由已知得0＜a1＜1，当n=2时，a3=a2-a22=-(a1-)2≤，不等式成立，假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，由已知推导出不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有an≤．（Ⅱ）设f（x）=ln（x+1）-，x＞0则f′(x)=-=＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，ln（x+1）＞，令x=，代入上式，得＜ln(n+2)-ln(n+1)，由此能证明对一切n≥2，都有S2n-Sn-1＜ln2．15