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安徽省滁州市定远县育才学校2022学年高二数学下学期期末考试试题理普通班含解析
安徽省滁州市定远县育才学校2022学年高二数学下学期期末考试试题理普通班含解析
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育才学校2022-2022学年度第二学期期末考试卷高二(普通班)理科数学第I卷(选择题60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。)1.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1【答案】A【解析】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0﹣1”的否定是:.故选:A.2.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出,反过来,若则成立,故为必要不充分条件.3.已知全集U={x∈Z|0<x<10},集合A={1,2,3,4},B={x|x=2a,a∈A},则(∁UA)∩B=( )A.{6,8}B.{2,4}C.{2,6,8}D.{4,8}【答案】A【解析】【分析】先化简已知条件,再求.【详解】由题得因为,.故答案为:A-13-\n【点睛】本题主要考查集合的化简,考查集合的补集和交集运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平.4.在等比数列{an}中,Sn是它的前n项和,若q=2,且a2与2a4的等差中项为18,则S5=( )A.-62B.62C.32D.-32【答案】B【解析】【分析】先根据a2与2a4的等差中项为18求出,再利用等比数列的前n项和求S5.【详解】因为a2与2a4的等差中项为18,所以,所以.故答案为:B【点睛】(1)本题主要考查等比数列的通项和前n项和,考查等差中项,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)等比数列的前项和公式:.5.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a6=( )A.B.C..D.1【答案】B【解析】【分析】设等差数列{an}和{}的公差为d,可得an=a1+(n﹣1)d,=+(n﹣1)d,于是==+d,=+2d,化简整理可得a1,d,即可得出.【详解】设等差数列{an}和{}的公差为d,则an=a1+(n﹣1)d,=+(n﹣1)d,∴==+d,=+2d,平方化为:a1+d=d2+2d,2a1+3d=4d2+4d,-13-\n可得:a1=d﹣d2,代入a1+d=d2+2d,化为d(2d﹣1)=0,解得d=0或.d=0时,可得a1=0,舍去.∴,a1=.∴a6=.故答案为:B【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和,意在考查学生岁这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的关键是利用==+d,=+2d求出d.6.已知函数y=f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x、y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=,则a2017的值为( )A.4033B.3029C.2249D.2209【答案】A【解析】【分析】因为是选择题,可用特殊函数来研究,根据条件,底数小于1的指数函数符合题意,可令f(x)=()n,从而很容易地求得则a1=f(0)=1,再由f(an+1)=(n∈N*),得到an+1=an+2,由等差数列的定义求得结果.【详解】根据题意,不妨设f(x)=()n,则a1=f(0)=1,∵f(an+1)=(n∈N*),(n∈N*),∴an+1=an+2,∴数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列∴an=2n﹣1∴a2022=4034-1=4033故答案为:A-13-\n【点睛】本题主要考查抽象函数及其应用.抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的,它虽然没有具体的表达式,但是有一定的对应法则,满足一定的性质,这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键.对于客观题不妨灵活处理,进而来提高效率,拓展思路,提高能力.7.若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},则函数y=loga|x|的图象大致是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|0<y≤1},得0<a<1.y=loga|x|在上为单调递减,排除B,C,D又因为y=loga|x|为偶函数,函数图象关于y轴对称,故A正确.故选A.8.函数f(x)=,则不等式f(x)>2的解集为( )A.(-2,4)B.(-4,-2)∪(-1,2)C.(1,2)∪(,+∞)D.(,+∞)【答案】C【解析】当时,有,又因为,所以为增函数,则有,故有;当时,有,因为是增函数,所以有,解得,故有。综上。故选C9.已知函数f(x)=ax,其中a>0,且a≠1,如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于( )A.1B.aC.2D.a2【答案】A【解析】【分析】-13-\n由已知可得,再根据指数运算性质得解.【详解】因为以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,所以.因为f(x)=ax,所以f(x1)·f(x2)=.故答案为:A【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平.10.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=0对称,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,若a=f(-3),b=f,c=f(2),则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【答案】D【解析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数,当时,,函数单增,;,,因为,且函数单增,故,即,故选D.11.若关于x的方程|x4-x3|=ax在R上存在4个不同的实根,则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据方程和函数的关系转化为函数,利用参数分离法,构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性和极值,利用数形结合进行求解即可.【详解】当x=0时,0=0,∴0为方程的一个根.当x>0时,方程|x4﹣x3|=ax等价为a=|x3﹣x2|,令f(x)=x3﹣x2,f′(x)=3x2﹣2x,由f′(x)<0得0<x<,由f′(x)>0得x<0或x>,∴f(x)在(0,)上递减,在上递增,又f(1)=0,-13-\n∴当x=时,函数f(x)取得极小值f()=﹣,则|f(x)|取得极大值|f()|=,∴设的图象如下图所示,则由题可知当直线y=a与g(x)的图象有3个交点时0<a<,此时方程|x4﹣x3|=ax在R上存在4个不同的实根,故.故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查函数与方程的应用,考查利用导数求函数的单调区间,考查函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点,其一是分离参数得到a=|x3﹣x2|,其二是利用导数分析函数的单调性得到函数的图像12.对于函数f(x)和g(x),设α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是( )A.[2,4]B.C.D.[2,3]【答案】D【解析】试题分析:易知函数的零点为,设函数的一个零点为,若函数和互为“零点关联函数”,根据定义,得,即,作出函数的图象,因为,要使函数-13-\n的一个零点在区间上,则,即,解得;故选D.考点:1.新定义函数;2.函数的零点.【难点点睛】本题以新定义函数为载体考查函数的零点的分布范围,属于中档题;解决此类问题的关键在于:正确理解新定义“零点关联函数”,抓住实质,合理与所学知识点建立联系,如本题中新定义的实质是两个函数的零点的差不超过1,进而利用零点存在定理进行求解,这也是学生解决此类问题的难点所在.第II卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分。)13.已知命题p:∀x∈R,x2-a≥0,命题q:∃x0∈R,+2ax0+2-a=0.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为________.【答案】.【解析】【分析】先化简每一个命题得到a的取值范围,再把两个范围求交集得解.【详解】因为命题p:∀x∈R,x2-a≥0,所以a≤0,因为命题q:∃x0∈R,+2ax0+2-a=0,所以因为命题“p且q”是真命题,所以两个命题都是真命题,所以.-13-\n【点睛】(1)本题主要考查全称命题和特称命题,考查复合命题的真假,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀:真“非”假,假“非”真,一真“或”为真,两真“且”才真.14.=________.【答案】-1.【解析】,故答案为.15.已知正项数列{an}满足,若a1=2,则数列{an}的前n项和为________.【答案】.【解析】【分析】先化简得到数列{an}是一个等比数列和其公比,再求数列{an}的前n项和.【详解】因为,所以,因为数列各项是正项,所以,所以数列是等比数列,且其公比为3,所以数列{an}的前n项和为.故答案为:【点睛】(1)本题主要考查等比数列性质的判定,考查等比数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)解答本题的关键是得到.16.已知函数f(x)=mx2+(2-m)x+n(m>0),当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1恒成立,则=________.【答案】.【解析】-13-\n试题分析:由题意得,,因此,从而,考点:二次函数性质三、解答题(本大题共6个小题,共70分。)17.设命题幂函数在上单调递减。命题在上有解;若为假,为真,求的取值范围.【答案】.【解析】试题分析:由真可得,由真可得 ,为假,为真等价于一真一假,讨论两种情况,分别列不等式组,求解后再求并集即可.试题解析:若正确,则, 若正确, 为假,为真,∴一真一假 即的取值范围为.18.已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B;(2)若A⊆B,求实数m的取值范围;(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.【答案】(1)A∪B={x|-2<x<3}.(2)(-∞,-2].(3)[0,+∞).【解析】试题分析:(1)m=-1,用轴表示两个集合,做并集运算,注意空心点,实心点。(2)由于A⊆B,首先要保证1-m>2m,即集合B非空,然后由数轴表示关系,注意等号是否可取-13-\n。(3)空集有两种情况,一种是集合B为空集,一种是集合B非空,此时用数灿表示,写出代数关系,注意等号是否可取。试题解析:(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},则A∪B={x|-2<x<3}(2)由A⊆B知,解得,即m的取值范围是(3)由A∩B=∅得①若,即时,B=∅符合题意②若,即时,需或得或∅,即综上知,即实数的取值范围为19.等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn;数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)求.【答案】(1)an=n,bn=2n-1.(2).【解析】试题分析:(1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,{bn}的公比为q,运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,解方程可得公差和公比,即可得到所求通项公式;(2)明确通项的表达式,利用错位相减法求和.试题解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,等比数列{bn}的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有解得或(舍去).-13-\n故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1),即==2,故++…+=2=2=.20.已知等差数列{an},等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,2a3-b3=1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn.【答案】(1)an=bn=1或an=2n-1,bn=3n-1.(2)Sn=n或Sn=(n-1)×3n+1.【解析】【分析】(1)先解方程组得到,即得数列{an},{bn}的通项公式.(2)利用错位相减求数列{cn}的前n项和Sn.【详解】(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由已知可得,解得.从而an=bn=1或an=2n-1,bn=3n-1.(2)①当an=bn=1时,cn=1,所以Sn=n;②当an=2n-1,bn=3n-1时,cn=(2n-1)×3n-1,Sn=1+3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1,3Sn=3+3×32+5×33+7×34+…+(2n-1)×3n,从而有(1-3)Sn=1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n-1)×3n=1+2(3+32+…+3n-1)-(2n-1)×3n=1+2×-(2n-1)×3n=-2(n-1)×3n-2,故Sn=(n-1)×3n+1.-13-\n综合①②,得Sn=n或Sn=(n-1)×3n+1.【点睛】(1)本题主要考查等比等差数列通项的求法,考查错位相减求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列,其中是等差数列,是等比数列,则采用错位相减法.21.已知函数,,,其中为常数且,令函数.(1)求函数的表达式,并求其定义域;(2)当时,求函数的值域.【答案】(1),,.(2).【解析】解:(1)f(x)=,x∈[0,a],(a>0).(2)函数f(x)的定义域为[0,],令+1=t,则x=(t-1)2,t∈[1,],f(x)=F(t)==,∵t=时,t=±2∉[1,],又t∈[1,]时,t+单调递减,F(t)单调递增,F(t)∈[,].即函数f(x)的值域为[,].22.已知时,函数,对任意实数都有,且,当时,(1)判断的奇偶性;(2)判断在上的单调性,并给出证明;(3)若且,求的取值范围.【答案】(1)偶函数.(2)见解析.-13-\n(3).【解析】【分析】(1)利用赋值法得到,即得函数的奇偶性.(2)利用函数单调性的定义严格证明.(3)先求出,再解不等式.【详解】(1)令,则,,为偶函数.(2)设,,∵时,,∴,∴,故在上是增函数.(3)∵,又∴∵,∴,即,又故.【点睛】(1)本题主要考查抽象函数的单调性、奇偶性的证明,考查函数的图像和性质的运用,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)用定义法判断函数的单调性的一般步骤:①取值,设,且;②作差,求;③变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等);④判断的正负符号;⑤根据函数单调性的定义下结论.-13-
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