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安徽省滁州市定远县西片区高二数学上学期期中试题文

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2022-2022学年度上学期期中考试高二文科数学2022.11考生注意:1、本卷考试范围:人教A版必修2。满分150分,考试时间120分钟;2、答题前请在答题卷上填写好自己的学校、姓名、班级、考号等信息;3、请将答案正确填写在答题卷指定的位置,在非答题区位置作答无效。第I卷(选择题60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。)1.若x+y-1=0(x>0,y>0),则的取值范围是(  )A.(0,+∞)B.(,2)C.[,2]D.(,1)2.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值范围是(  )A.(-∞,-2)B.[-2,2]C.[-,]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)3.已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l与圆C相交于P,Q两点,若|PQ|=2,则直线l的方程为(  )A.x=-1或4x+3y-4=0B.x=-1或4x-3y+4=0C.x=1或4x-3y+4=0D.x=1或4x+3y-4=04.已知底面为正方形,侧棱相等的四棱锥S-ABCD的直观图和正视图如图所示,则其侧视图的面积为(  )14\nA.B.C.2D.25.如图,△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′,其中A′B′=2,则△ABC的面积为(  )A.2B.4C.2D.46.如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为(  )A.B.C.D.7.如图,一个无盖的正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点,则蚂蚁爬行的最短距离是(  )A.B.1C.D.2+8.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )14\nA.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+9.在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF、GH相交于点P,那么(  )A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外10.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )A.B.C.D.11.下列命题正确的是(  )①两个平面平行,这两个平面内的直线都平行;②两个平面平行,其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面;③两个平面平行,其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行;④两个平面平行,各任取两平面的一条直线,它们不相交.A.①B.②③④C.①②③14\nD.①④12.如图在长方体中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1-BD-C的大小为(  )A.30°B.45°C.60°D.90°第II卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.一个几何体的三视图如图所示,则其侧视图的面积为________.14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,C1B1,C1D1的中点,点H在四边形A1ADD1的边及其内部运动,则H满足条件________时,有BH∥平面MNP.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下面结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;14\n③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④AD1与BD为异面直线.其中正确的结论的序号是________.16.已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,当取最大值时l的方程为____________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(1)求经过直线l1:x+3y-3=0,l2:x-y+1=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.(2)求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.18.(12分)已知圆C过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)问是否存在满足以下两个条件的直线l:①直线l的斜率为1;②直线l被圆C所截得的弦为AB,以AB为直径的圆C1过原点.若存在这样的直线l,请求出其方程;若不存在,请说明理由.19.(12分)A是△BCD平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点,(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.20.(12分)如图所示,P是△ABC所在平面外的一点,点A′,B′,C′分别是△PBC,△PCA,△PAB的重心.14\n(1)求证:平面ABC∥平面A′B′C′;(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、,AP=2,E、F依次是PB、PC的中点.(1)求证:PB⊥平面AEFD;(2)求直线EC与平面PAD所成角的正弦值.22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,PA⊥平面ABCD,M是PD的中点.(1)求证:OM∥平面PAB;(2)求证:平面PBD⊥平面PAC.14\n2022-2022学年度上学期期中考试高二文科数学答案解析1.B【解析】可以变形为,可把此式看做点(x,y)与点P(-1,-1)连线的斜率.∵(x,y)满足x+y-1=0(x>0,y>0),∴的范围就是点P(-1,-1)与线段x+y-1=0(x>0,y>0)相交斜率的范围.由图可知点P与x+y-1=0(x>0,y>0)的左端点连线的斜率为=2.点P与x+y-1=0(x>0,y>0)的右端点连线的斜率为=,∴的取值范围是(,2).故选B.14\n2.B【解析】∵C的方程为x2+y2-4x=0,故圆心为C(2,0),半径R=2.设两个切点分别为A、B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故有|PC|=R=2,∴圆心到直线y=k(x+1)的距离d≤|PC|=2,即d=≤2,解得k2≤8,可得-2≤k≤2,故选B.3.B【解析】当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),过圆C作CM⊥PQ,垂足为M,由于|PQ|=2,可求得|CM|=1.由|CM|==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.故选B.4.A【解析】由题意,侧视图与正视图是全等的三角形,面积为×2×=.5.D【解析】∵Rt△A′B′C′是一平面图形的直观图,直角边长为A′B′=2,∴直角三角形的面积是×2×2=2,∵平面图形与直观图的面积的比为2,∴原平面图形的面积是2×2=4.故选D.6.A【解析】=--=.7.C【解析】∵蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点,∴蚂蚁爬行的最短距离是如图BM的长度,∵无盖的正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,∴A1B=2+2=4,A1M=1,∴BM==.故选C.14\n8.C【解析】该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为,高为,所以体积为×()2×=,所以该几何体的体积为2π+.9.A【解析】∵EF属于一个面,而GH属于另一个面,且EF和HG相交于点P,∴P在两平面的交线上.∵AC是两平面的交线,所以点P必在直线AC上.故选A.10.D【解析】如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.12.A【解析】连接AC,交BD于点O,连接OC1,因为ABCD为正方形,则AC⊥BD,又CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD,则BD⊥平面CC1O,所以BD⊥OC1,所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角.又OC=AC=×AB=.在Rt△OCC1中,CC1=,14\n所以tan∠COC1==,所以∠COC1=30°,故选A.13.4+【解析】依题意得几何体的侧视图面积为22+×2×=4+.14.H∈线段A1D【解析】H∈线段A1D.理由如下,连接A1B,A1D,BD,CB1,因为M,N分别是C1C,C1B1的中点,所以MN∥CB1,因为CD∥A1B1,且CD=A1B1,所以四边形CDA1B1是平行四边形,所以CB1∥DA1,所以MN∥DA1,又MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.同理可证PN∥平面A1BD,又MN⊂平面MNP,PN⊂平面MNP,MN∩PN=N,所以平面A1BD∥平面MNP.又因为BH⊂平面A1BD,所以BH∥平面MNP.16.2x+y-5=0【解析】由题意可知直线l的斜率k<0,由直线的点斜式方程,得直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1.令x=0,代入方程得y=-2k+1,令y=0,代入方程得x=,∴直线l与x轴,y轴的交点坐标分别是点A(,0),点B(0,-2k+1).∴PA==,PB=,.14\n令t=,有(4-t)k2-4k+1-t=0,故Δ=16-4(4-t)(1-t)≥0.解得0≤t≤5,故t=5时,取最大值.此时,解得k=-2,直线l的方程为y=-2x-2k+1,即2x+y-5=0,故答案为2x+y-5=0.17.(1)方法一 由得∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1),再设平行于直线2x+y-3=0的直线方程为2x+y+c=0,把(0,1)代入所求的直线方程,得c=-1,故所求的直线方程为2x+y-1=0.方法二 设过直线l1、l2交点的直线方程为x+3y-3+λ(x-y+1)=0(λ∈R),即(λ+1)x+(3-λ)y+λ-3=0,由题意可知,=-2,解得λ=,∴所求直线方程为x+y-=0,即2x+y-1=0.(2)将已知方程以m为未知数,整理得(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m取值的任意性,由解得∴不论m取什么实数,所给的直线都经过一个定点(2,-3).18.(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得D=-6,E=4,F=4,所以圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)假设存在这样的直线l,其方程为y=x+b.设A(x1,y1),B(x2,y2),则联立消去y得2x2+2(b-1)x+b2+4b+4=0,(*)14\n∴∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2.∵AB为直径,圆C1过原点,∴∠AOB=90°,∴|OA|2+|OB|2=|AB|2,∴+++=(x1-x2)2+(y1-y2)2,得x1x2+y1y2=0,∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,即b2+4b+4+b(1-b)+b2=0,解得b=-1或b=-4.容易验证b=-1或b=-4时方程(*)有实根.故存在这样的直线l,其方程是x-y-1=0或x-y-4=0.19.(1)证明 用反证法.设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.(2)解 取CD的中点G,连接EG、FG,由于E、F分别是BC、AD的中点,则EGBD,FGAC,所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.由AC⊥BD,AC=BD,可得EG⊥GF,EG=GF.故等腰Rt△EGF中,有∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.20.(1)证明 分别连接PA′,PB′,PC′并延长交BC,AC,AB于点D,E,F,连接DE,EF,DF.∵点A′,C′分别是△PBC,△PAB的重心,∴PA′=PD,PC′=PF,∴A′C′∥DF.∵A′C′⊄平面ABC,DF⊂平面ABC,∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′=A′,A′C′,A′B′⊂平面A′B′C′,14\n∴平面ABC∥平面A′B′C′.(2)解 由(1)知A′C′∥DF且A′C′=DF,又DF∥AC且DF=AC,∴A′C′∥AC且A′C′=AC.同理,A′B′∥AB且A′B′=AB,B′C′∥BC且B′C′=BC,∴△A′B′C′∽△ABC,∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.21.(1)证明 ∵PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、,AP=2,且PA⊥平面ABCD,∴AB=2,AD=4.∵PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB.∵E是PB的中点,AP=AB,∴AE⊥PB.又AE,AD⊂平面AEFD,AE∩AD=A,∴PB⊥平面AEFD.(2)解 ∵PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA,又CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,取PA的中点G,CD的中点H,连接EG、GH、GD,则EG∥AB∥CD,且EG=AB=1,又CH=CD=AB=1,∴四边形EGHC是平行四边形,∴EC∥GH,∴∠HGD为直线EC与平面PAD所成的角.在Rt△GDH中,易求GH=3,14\n∴sin∠HGD===,∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为.22.14

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2022-08-25 20:31:51 页数:14
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文章作者:U-336598

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