山东省2022学年德州市高一上学期期末考试数学试题

山东省德州市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集ൌ12，3，4，5，6，，ൌ13，5，，ൌሼ6，，则晦ൌ晦A.ሼB.ʹǡC.13，5，6，D.13，4，【答案】B【解析】解：ൌ13，5，，ൌሼ6，，则ൌ13，5，6，，又全集ൌ12，3，4，5，6，，则晦ൌʹǡ．故选：B．根据并集与补集的定义，写出运算结果．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．ʹ.某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是.3ሼ.现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为晦年级一年级二年级三年级学生人数1200xyA.25B.26C.30D.32【答案】A【解析】解：由题意得高二年级学生数量为：ൌ3.3ሼൌ1ሼ，高三年级学生数量为ൌ31ʹ1ሼൌሼ，现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，设应在高三年级抽取的学生的人数为n，1则ൌ，解得ൌʹሼ．ሼ3故选：A．由题意得高二年级学生数量为1050，高三年级学生数量为750，由此用分层抽样的方法能求出应在高三年级抽取的学生的人数．本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，1/13\n考查运算求解能力，是基础题．3.函数ൌlog.ሼǡ晦的定义域是晦A.3晦B.3hC.3ǡ晦D.ǡh【答案】C【解析】解：函数ൌlog.ሼǡ晦，log.ሼǡ晦，ǡ1，解得3ǡ，函数y的定义域是3ǡ晦．故选：C．根据二次根式和对数函数的定义，求出使函数解析式有意义的自变量取值范围．本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题．ǡ.已知点sin1ሼcos1ሼ晦，则P在平面直角坐标系中位于晦A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B1【解析】解：sin1ሼൌsin333晦ൌsin3ൌ，ʹ3．cos1ሼൌcos333晦ൌcos3ൌʹ在平面直角坐标系中位于第二象限．故选：B．利用特殊角的三角函数值的符号，直接判断点所在象限即可．本题考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题．ሼ.如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率的近似值为晦A.3.1B.3.ʹC.3.3D.3.ǡ【答案】B【解析】解：由圆的面积公式得：圆ൌ，由正方形的面积公式得：正ൌǡ，由几何概型中的面积型可得：圆㌳ሼൌ，1正\n㌳ሼǡ所以ൌ3.ʹ，1故选：B．由圆的面积公式得：圆ൌ，由正方形的面积公式得：正ൌǡ，由几何概型中的面积圆㌳ሼ型结合随机模拟试验可得：ൌ，得解．1正本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．.根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y关于x的线性回归方程是㌳㌳，ൌǡǡ则表中m的值为晦x810111214y2125m2835A.26B.27C.28D.29【答案】A1111ʹ1ǡ【解析】解：由题意可得：ൌൌ11，ሼ㌳㌳由线性回归方程的性质可知：ൌ11ൌʹ，ǡǡʹ1ʹሼʹ3ሼ故ൌʹ，ൌʹ．ሼ故选：A．首先求得x的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解m的值即可．本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，属于中等题．lnʹ3晦.函数晦ൌ的零点个数为晦33晦A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：当时，由晦ൌ得lnൌʹ3，作出函数ൌln和ൌʹ3在时的图象如图：由图象知两个函数有两个交点，即此时函数晦在时有两个零点，11当时，由晦ൌ晦3ൌ得晦ൌ3，得33ൌ1，此时有一个零点，综上函数晦共有3个零点，故选：D．根据分段函数的表达式，分别求出当和时的零点个数即可．3/13\n本题主要考查函数零点个数的判断，利用分段函数的解析式，分别进行求解是解决本题的关键．.抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有晦A.3对B.2对C.1对D.0对【答案】C【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“2点或4点向上”，事件A与事件B是对立事件；事件A与事件C是互斥但不对立事件；事件B与事件C能同时发生，不是互斥事件．故互斥但不对立的共有1对．故选：C．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查互斥但不对立的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．㌳.为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据单位：晦制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为晦A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；1可得：甲地该月14时的平均气温：ʹʹʹ㌳3131晦ൌʹ㌳，ሼ1乙地该月14时的平均气温：ʹʹ㌳3313ʹ晦ൌ3，ሼ故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；\nʹ1ʹʹʹ甲地该月14时温度的方差为：ൌʹʹ㌳晦ʹʹ㌳晦ʹ㌳ʹ㌳晦31甲ሼʹ㌳晦ʹ31ʹ㌳晦ʹhൌ3.ʹ1ʹʹʹ乙地该月14时温度的方差为：ൌʹ3晦ʹ㌳3晦33晦31乙ሼ3晦ʹ3ʹ3晦ʹhൌʹ，ʹʹ故，甲乙所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差．故选：B．由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题1.已知扇形的周长为C，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为晦13A.㈳洠B.1radC.㈳洠D.2radʹʹ【答案】D【解析】解：设扇形的圆心角大小为㈳洠晦，半径为r，1ʹ根据扇形的面积为ൌ㈳，周长为ʹൌ䁠，扇形ʹ䁠得到ൌ，且ʹ，ʹ1䁠ʹ䁠ʹ䁠ʹ扇形ൌʹʹ晦ൌʹʹൌ，ʹ晦又ʹʹʹൌ，当且仅当ʹൌ，即ൌʹ时，“ൌ”成立，䁠ʹ此时扇形取得最大值为，对应圆心角为ൌʹ．1故选：D．根据扇形的面积和周长，写出面积公式，再利用基本不等式求出扇形的最大值，以及对应圆心角的值，即可得解．本题考查了扇形的面积与周长的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.下列函数中值域为R的有______．ʹʹʹ3A.晦ൌ31.晦ൌlgʹ晦䁠.晦ൌ.晦ൌ1ʹʹ【答案】ABD【解析】解：.晦ൌ31为增函数，函数的值域为R，满足条件．B.由ʹʹ得ʹ或ʹ，此时晦ൌlgʹʹ晦的值域为R，满足条件．ʹʹC.晦ൌ，ʹʹሼ/13\n当ʹ时，晦ൌʹǡ，当ʹ时，晦ൌʹǡh，真是晦，即函数的值域为晦，不满足条件．.晦ൌ31是增函数，函数的值域为R，满足条件．故答案为：ABD．分别判断函数的单调性和取值范围，结合函数的值域进行求解即可．本题主要考查函数值域的求解，结合函数单调性的性质是解决本题的关键．1ʹ.某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在ሼ晦元的学生有60人，则下列说法正确的是______．A.样本中支出在ሼ晦元的频率为.3B.样本中支出不少于40元的人数有132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在ሼ晦元【答案】BC【解析】解：由频率分布直方图得：在A中，样本中支出在ሼ晦元的频率为：1.1.ʹǡ.3晦1ൌ.3，故A错误；.3在B中，样本中支出不少于40元的人数有：ൌ13ʹ，故B正确；.3在C中，ൌൌʹ，故n的值为200，故C正确；.3D.若该校有2000名学生，则可能有600人支出在ሼ晦元，故D错误．故答案为：BC．在A中，样本中支出在ሼ晦元的频率为.3；在B中，样本中支出不少于40元的人.3数有：ൌ13ʹ；在C中，ൌൌʹ；.若该校有2000名学生，则可.3.3能有600人支出在ሼ晦元．本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．13.符号h表示不超过x的最大整数，如3.1ǡhൌ3，1.hൌʹ，定义函数：晦ൌh，则下列命题正确的是______．A..晦ൌ.ʹ\nB.当1ʹ时，晦ൌ1C.函数晦的定义域为R，值域为1晦D.函数晦是增函数、奇函数【答案】A，B，C【解析】解：晦ൌh表示数x的小数部分，则.晦ൌ1.ʹ晦ൌ.ʹ，故A正确；当1ʹ时，晦ൌhൌ1，故B正确；函数晦的定义域为R，值域为1晦，故C正确；当1时，晦ൌhൌ，当1ʹ时，晦ൌ1，当ൌ.ሼ时，.ሼ晦ൌ.ሼ，当ൌ1.ሼ时，1.ሼ晦ൌ.ሼ，则.ሼ晦ൌ1.ሼ晦，即有晦不为增函数，由1.ሼ晦ൌ.ሼ，1.ሼ晦ൌ.ሼ，可得1.ሼ晦ൌ1.ሼ晦，即有晦不为奇函数．故答案为：A，B，C．由题意可得晦表示数x的小数部分，可得.晦ൌ.ʹ，当1ʹ时，晦ൌ1，即可判断正确结论．本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．11ǡ.已知ൌʹ，ൌ1，且ൌ，则m的取值范围ʹ是______．1【答案】1hʹ【解析】因为ൌ，所以，1由已知ൌʹ，ൌ1得，ʹ11ʹ故m的取值范围是1h．ʹ1ʹ1故答案为：1．ʹ根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了集合的子集关系及其运算，属于简单题．1ሼ.已知㈳且㈳1，函数ൌ㈳ʹ的图象恒过定点P，若P在幂函数晦的图象上，则3晦ൌ______．【答案】27【解析】解：令ʹൌ，解得ൌʹ，此时ൌ1ൌ，指数函数ൌ㈳ʹ的图象恒过定点ʹ晦；设幂函数晦ൌ，为实数，由点P在晦的图象上，ʹൌ，/13\n解得ൌ3，晦ൌ3，3晦ൌ33ൌʹ．故答案为：27．根据指数函数的图象恒过定点，求出点P的坐标，代入幂函数的解析式求出晦，再计算3晦的值．本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，是基础题．11.已知sincosൌ，晦，则sincos晦ൌ______；tanൌ______．ሼ1ʹǡ【答案】ʹሼ31【解析】解：sincosൌ，ሼʹ11ʹsincos晦ൌ1ʹsincosൌ，即sincosൌ．ʹሼʹሼ1ʹsincos晦ൌsincosൌ；ʹሼʹǡ㌳sincos晦ൌ1ʹsincosൌ，ʹሼ晦，sin，cos，即sincos，sincosൌ．ሼ1sincosൌሼǡ3联立，解得sinൌ，cosൌ．ሼሼsincosൌሼǡtanൌ．31ʹǡ故答案为：；．ʹሼ3把已知等式两边平方，求出sincos的值，再利用完全平方公式求出sincos的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得tan的值．本题考查同角三角函数间的基本关系，求得sincosൌ是关键，也是难点，属于中ሼ档题．1.已知偶函数晦的图象过点ʹ晦，且在区间晦上单调递减，则不等式晦的解集为______．【答案】ʹ晦ʹ晦【解析】解：偶函数晦的图象过点ʹ晦，且在区间晦上单调递减，函数晦的图象过点ʹ晦，且在区间晦上单调递增，作出函数晦的图象如图：\n则不等式晦等价为晦或晦，即ʹ或ʹ，即不等式的解集为ʹ晦ʹ晦，故答案为：ʹ晦ʹ晦根据函数奇偶性和单调性的性质作出晦的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出晦的图象是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）ʹ1.ʹሼǡʹ1.计算1晦晦ʹʹ3晦ʹ1ʹ晦lgʹሼʹlgʹloglog3㌳晦logʹʹ11㈳㈳1ʹ3晦已知：㈳ʹ㈳ʹൌ3，求ʹʹ㈳㈳ʹ31【答案】解：1晦原式ൌ1ʹǡʹǡ3ʹʹʹൌ1ʹ㌳ǡൌǡ；ʹ晦原式ൌlgሼlgʹlogʹlogʹൌ11ൌʹ；113晦㈳ʹ㈳ʹൌ3；11ʹ1㈳ʹ㈳ʹ晦ൌ㈳ʹ㈳ൌ㌳；㈳㈳1ൌ；㈳㈳1晦ʹൌ㈳ʹʹ㈳ʹൌǡ㌳；㈳ʹ㈳ʹൌǡ；㈳㈳1ʹ㌳1ൌൌ．㈳ʹ㈳ʹʹǡሼሼ【解析】1晦进行分数指数幂的运算即可；ʹ晦进行对数的运算即可；111ʹʹ㈳㈳1ʹ3晦根据㈳ʹ㈳ʹൌ3可求出㈳㈳ൌ，进而求出㈳㈳ൌǡ，带入ʹʹ即可．㈳㈳ʹ考查分数指数幂和对数的运算，完全平方式的运用．1㌳.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入单位：千元晦与月储蓄111单位：千元晦的数据资料，算得ൌ1ൌ，ൌ1ൌʹ，ൌ1ൌ1ǡ，1ʹൌൌ1ൌʹ.附：线性回归方程ൌ㈳中，，㈳ൌ，其中ൌ1ʹʹൌ1，为样本平均值．1晦求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ൌ㈳；ʹ晦判断变量x与y之间是正相关还是负相关；3晦若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．㌳/13\n11【答案】解：1晦由题意知，ൌ1，ൌ1ൌ，ൌ1ൌʹ，ʹʹʹൌൌ，ൌൌʹ1那么：ൌ1ʹൌ1，ʹൌ1ǡൌǡ．1ൌ1ǡ，1ʹൌʹ．ൌ1ൌ1ൌൌ11ǡ1由ൌൌ.3．ʹʹʹǡൌ1㈳ൌൌʹ.3ൌ.ǡ，故所求回归方程为ൌ.3.ǡ．ʹ晦由于变量y的值随x的值增加而增加，即ൌ.3．故x与y之间是正相关．3晦将ൌ代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为ൌ.3.ǡൌ1.千元晦．ሼʹሼ【解析】1晦由题意求出，，根据ൌ1，ൌ1，代入公式求值，又由㈳ൌ，得出㈳从而得到回归直线方程；ʹ晦变量y的值随x的值增加而增加，可知x与y之间是正相关还是负相关．3晦代入ൌ即可预测该家庭的月储蓄．本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．ʹ.已知角的终边上有一点ሼ㈳1ʹ㈳晦，其中㈳．1晦求sincos的值；ʹ晦求sincoscosʹsinʹ1的值．【答案】解：1晦角的终边上有一点ሼ㈳1ʹ㈳晦，其中㈳，ൌሼ㈳ൌ1ʹ㈳ൌʹሼ㈳ʹ1ǡǡ㈳ʹൌ13㈳，1ʹሼ当㈳时，ൌ13㈳，sinൌൌ，cosൌൌൌ，sincosൌ．1313131ʹሼ当㈳时，ൌ13㈳，sinൌൌ，cosൌൌൌ，sincosൌ．1313131ʹʹ晦由题意可得tanൌൌ，ሼʹʹsincosʹcosʹtanʹ1sincoscossin1ൌൌൌ．sinʹcosʹtanʹ11㌳【解析】1晦任意角的三角函数的定义，求得sin和cos的值，可得sincos的值．ʹ晦先求得tan的值，同角三角函数的基本关系，本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．ʹ1.现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者1，ʹ，3通晓日语，1，ʹ，3通晓俄语，䁠1，䁠ʹ通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．1晦列出基本事件空间；ʹ晦求1被选中的概率；3晦求1和䁠1不全被选中的概率．\n【答案】解：1晦现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者1，ʹ，3通晓日语，1，ʹ，3通晓俄语，䁠1，䁠ʹ通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．基本事件空间ൌ11䁠1晦，11䁠ʹ晦，1ʹ䁠1晦，1ʹ䁠ʹ晦，13䁠1晦，13䁠ʹ晦，ʹ1䁠1晦，ʹ1䁠ʹ晦，ʹʹ䁠1晦，ʹʹ䁠ʹ晦，ʹ3䁠1晦，ʹ3䁠ʹ晦，31䁠1晦，31䁠ʹ晦，3ʹ䁠1晦，3ʹ䁠ʹ晦，33䁠1晦，33䁠ʹ晦，共18个基本事件．ʹ晦由于每个基本事件被选中的机会相等，这些基本事件是等可能发生的，用M表示“1被选中”，则ൌ11䁠1晦，11䁠ʹ晦，1ʹ䁠1晦，1ʹ䁠ʹ晦，13䁠1晦，13䁠ʹ晦，含有6个基本事件，11被选中的概率晦ൌൌ．133晦用N表示“1和䁠1不全被选中”，则表示“1和䁠1全被选中”，ൌ11䁠1晦，ʹ1䁠1晦，31䁠1晦，含有3个基本事件，3ሼ1和䁠1不全被选中的概率晦ൌ1ൌ．1【解析】1晦利用列举法能求出基本事件空间．ʹ晦用M表示“1被选中”，利用列举法求出M中含有6个基本事件，由此能求出1被选中的概率．3晦用N表示“1和䁠1不全被选中”，则表示“1和䁠1全被选中”，利用对立事件概率计算公式能求出1和䁠1不全被选中的概率．本题考查基本事件空间、概率的求法，考查列举法、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．ʹʹ.据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有晦万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高，而进入企业工作的农民的人均年收入为㈳1㈳3晦元．1晦在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；ʹ晦为了保证传统农业的顺利进行，限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数ʹ的，当地政府如何引导农民，即x取何值时，能使300万农民的年总收入最大．3【答案】解：1晦由题意如果有晦万人进企业工作，设从事传统农业的所有农民的总收入为y，则ൌ1晦3晦ൌʹʹ3晦，3晦，11/13\n对称轴为ൌ1，抛物线开口向下，即当ൌ1时，y取得最大值为ൌʹǡ万元晦．即由100万人进企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为2400000万元．ʹ晦设300万农民的总收入为晦，ʹ，则晦ൌʹʹ3晦㈳ൌʹʹ㈳晦1ൌሼʹ㈳晦hʹ11ሼʹ㈳晦ʹ，对称轴为ൌሼʹ㈳晦ൌ1ሼ㈳，当1㈳ʹ时，1ሼ㈳ʹ，当ൌ1ሼ㈳时，晦取得最大值，当ʹ㈳3时，1ሼ㈳ʹ，当ൌʹ时，晦取得最大值．【解析】1晦根据题意建立函数关系结合二次函数的单调性的性质进行求解即可ʹ晦根据条件设300万农民的年总收入为晦，建立函数关系，利用一元二次函数的性质进行求解本题主要考查函数的应用问题，利用条件建立函数关系利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．ʹ3.对于函数晦ൌ㈳ʹ1晦1㈳晦，若存在实数，使晦ൌ成立，则称为晦关于参数m的不动点．1晦当㈳ൌ1，ൌʹ时，求晦关于参数1的不动点；ʹ晦若对于任意实数b，函数晦恒有关于参数1两个不动点，求a的取值范围；3晦当㈳ൌ1，ൌʹ时，函数晦在ʹh上存在两个关于参数m的不动点，试求参数m的取值范围．【答案】解：1晦当㈳ൌ1，ൌʹ时，晦ൌʹ3，由题意有ʹ3ൌ，即ʹʹ3ൌ，解得：ൌ1，ൌ3，故当㈳ൌ1，ൌʹ时，晦的关于参数1的两个不动点为1和3；ʹ晦晦ൌ㈳ʹ1晦1㈳晦恒有两个不动点，㈳ʹ1晦1ൌ，即㈳ʹ1ൌ恒有两个不等实根，ൌʹǡ㈳ǡ㈳晦恒成立，于是ൌǡ㈳晦ʹ1㈳，解得㈳1，故当且晦恒有关于参数1的两个相异的不动点时，㈳1；3晦由已知得ʹ31ൌ在ʹh上有两个不同解，即ʹ3晦1ൌ在ʹh上有两个不同解，令晦ൌʹ3晦1，晦ൌ1ʹ晦ൌ11ʹ所以ൌ3晦ʹǡ，3ʹʹ11解得：ሼ．ʹ【解析】1晦㈳ൌ1，ൌʹ时，解方程晦ൌ即可；ʹ晦晦ൌ即㈳ʹ1ൌ恒有两个不等实根，两次使用判别式即可得到；\n3晦问题转化为ʹ3晦1ൌ在ʹh上有两个不同解，再利用二次函数的图象列式可得．本题考查了二次函数的性质与图象，属中档题．13/13