山东省德州市一中2022届高三数学1月月考试题 理（含解析）新人教A版

山东省德州一中2022届高三上学期1月月考理科数学试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、导数、函数模型、函数的性质、三角函数，数列，椭圆，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.集合等于A.B.C.D.【知识点】集合及其运算A1【答案】A【解析】由{4},则，a=2,b=4,所以。【思路点拨】根据交集求出a,b值，再求并集。【题文】2.已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件A2【答案】A【解析】由得0<a<1,是的充分而不必要条件。【思路点拨】先求出a的范围求出充分而不必要条件。【题文】3.正项等比数列的公比为2，若，则的值是a.8b.16c.32d.64【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案】c【解析】由=，，=32.【思路点拨】根据等比数列的性质得。【题文】4.已知命题：命题.则下列判断正确的是a.p是假命题b.q是真命题c.是真命题d.是真命题【知识点】命题及其关系a214【答案】c【解析】由重要不等式得正确，得不正确，则是真命题【思路点拨】先判断p,q的真假，再求结果。【题文】5.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是a.b.c.d.【知识点】空间中的平行关系垂直关系g4g5【答案】d【解析】在a选项中，可能有n⊂α，故a错误；在b选项中，可能有n⊂α，故b错误；在c选项中，两平面有可能相交，故c错误；在d选项中，由平面与平面垂直的判定定理得d正确．【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【题文】6.若变量满足条件，则的取值范围为a.b.c.d.【知识点】简单的线性规划问题e5【答案】c【解析】由约束条件作出可行域如图，14联立，解得a（-，-1）；联立，解得c（，）．令z=x+2y，则y=-+．由图可知，当直线y=-+过a时，直线在y轴上的截距最小，z最小为-；当直线y=-+，过c时，直线在y轴上的截距最大，z最大为．∴x+2y的取值范围为[-，]．【思路点拨】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得答案．【题文】7.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是a.b.c.d.【知识点】函数的单调性奇偶性b3b4【答案】b【解析】由奇偶性得为偶函数，当x<0时为减函数，又因为为偶函数且为函数，所以选b。【思路点拨】先求出已知函数的奇偶性和单调性，再确定答案。【题文】8.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则a.上单调递减b.上单调递减c.上单调递增d.上单调递增14【知识点】三角函数的图象与性质c3【答案】a【解析】∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵t==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z可解得：kπ≤x≤kπ+，k∈z，当k=0时，x∈[0,]，即g（x）在（0，）上单调递减．【思路点拨】化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由周期可求ω，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间．【题文】9.设函数的零点为的零点为，若可以是a.b.c.d.【知识点】函数与方程b9【答案】d【解析】选项a：x1=1，选项b：x1=2，选项c：x1=1，选项d：x1=；14∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（）=2+1-2＞0，g（）=+-2＜0，则x2∈（，）故选d．【思路点拨】首先确定选项a、b、c、d中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到答案．【题文】10.定义在r上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为a.b.c.d.【知识点】导数的应用b12【答案】b【解析】设g（x）=exf（x）-ex，（x∈r），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]，∵f′（x）＞1-f（x），∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex-1，∴g（x）＞-1，又∵g（0）=e0f（0）-e0=-1，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）.【思路点拨】构造函数g（x）=exf（x）-ex，（x∈r），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.【题文】11.已知向量共线，则t=▲.【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算f2【答案】1【解析】由题意得=（），又与共线，则3t-3=0,t=1.【思路点拨】先求出=（），再根据与共线求得t.【题文】12.设为锐角，若▲.【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切c5【答案】-14【解析】由为锐角cos()=,则sin（)=，sin()=sin（（)-）=sin（)cos-cos()sin=-【思路点拨】先求出sin（)=，再sin()=sin（（)-）=sin（)cos-cos()sin=-【题文】13.若，则=▲.【知识点】定积分与微积分基本定理b13【答案】-【解析】由题意设f(x)=,由得1+3a=a,得a=-，所以=（）=-【思路点拨】先由得f（x）,再求出积分值。【题文】14.已知直线及直线截圆c所得的弦长均为8，则圆c的面积是▲.【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系h4【答案】【解析】设圆心到直线的距离为d,则2d==6,又因为弦长为8，根据勾股定理得r=5,则s=.【思路点拨】先求出点到直线的距离，根据勾股定理得r求出面积。【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是▲.14【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案】32【解析】如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，=32.【思路点拨】先还原几何体再根据体积公式求得。三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）【题文】16.（本小题满分12分）在中，角a、b、c所对的边分别为，且（i）求角c的大小；（ii）若，的面积，求a、c的值.【知识点】解三角形c8【答案】（1）c=（ii）1【解析】（1）由,可得2sinccosa=2sinb-sina,即2sinccosa=2sin（a+c）-sina，即2sinccosa=2sinacosc+2cosasinc-sina整理得2sinacosc-sina=0，即sina(2cosc-)=0,又a,c，则sina>0,cosC=14C=.(2)由，C=，=.a.a.=,又则=，故，即，由，=2c=2=1,由余弦定理，即.a.整理得4-1=，=1，a=1.【思路点拨】由,可得2sinCcosA=2sinB-sinA,2sinAcosC-sinA=0,C=.由余弦定理,4-1=，=1，a=1【题文】17.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，为AB的中点，且（I）求证：；（II）求二面角的平面的正弦值.【知识点】单元综合G12【答案】（I）略（II）【解析】(1)如图14（I）三棱柱ABC-为直三棱柱，平面ABC，又CD平面ABCA,又CA=CB,D为AB中点，,由=A,所以，又，，又,CD=C,面又,（II）又（1）得面，交于点E，过A作AF于点F，连接EF面AEF，EF，则为所求二面角A--D的平面角，在RT中，=2，AD=2，=2，AE==,同理求得：AF==,所以sin==故二面角的平面的正弦值。【思路点拨】面,又,.AE==,AF==,所以sin==,故二面角的平面的正弦值。【题文】18.（本小题满分12分）若数列的前n项和为，且满足：14.（I）若数列是等差数列，求的通项公式.（II）若，求.【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案】(1)4n-6（）（II）4802【解析】(1)由题意可得，设数列{}公差为d，当n=1时，即=（2d）+(33d)=64d=4整理可得32d=2当n=2时，6-2=22，即（2d）+(33d)+（46d）=910d=22联立求得=-2，d=4,4n-6.等差数列{}的通项公式4n-6（）（2）因为=6，所以=6（，联立得12n-6(n)=+[()+…….()]=2+[(123-6)+(126-6)+……(1248-6)]=4802【思路点拨】由32d=2，910d=22求，=+[()+…….()]求出。【题文】19.（本小题满分12分）某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资（单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.（I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；（II）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？（参考数据：）14【知识点】函数模型及其应用B10【答案】（I）f(x)=3lmx+3(x>0)（II）21.124万元【解析】（I）设函数f(x)的定义域为（0，+）且，因为点（1,3）在直线y=kx上，故有k=3,又曲线y=f(x)在直线y=3x在点（1,3）处相切，故有，则甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为f(x)=3lmx+3(x>0)由题意得乙产品投资与利润的关系式为：g(x)=m.,将点（4,4）代入上式，可得m=2所以乙产品的利润与投资资金间的关系式为g(x)=2.(x>0)（II）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且则公司所得利润为Y=3lnx+3+2,故有，，解得,,解得，所以x=15为函数的极大值，也是函数的最大值点，=32.708+13=21.124万元所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润为21.124万元。【思路点拨】由，则甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为f(x)=3lmx+3(x>0)，由，，解得,,解得，所以x=15为函数的极大值，也是函数的最大值点，=32.708+13=21.124万元【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足O为坐标原点.（I）求椭圆的方程;（II）求的最值.14【知识点】椭圆及其几何性质H5【答案】（1）（II）最大值为2，最小值为-2【解析】（1）由椭圆的离心率为可得：=，即a=,又2a==4a=2,c=2,椭圆方程为。（II）设直线AB的方程为y=kx+m,设A（B联立整理得（1+2）+4mx+2=0,,,=-,(k+m)(k+m)==则，=2-,-2=2-4，，当k=0，即直线AB平行于x轴时，最小值为-2，当斜率不存在时有，，，，将A坐标代入椭圆方程，可得，所以==，最大值为2，最小值为-2.【思路点拨】：=，即a=,又2a==4得，利用向量的数量积求得。【题文】21.（本小题满分14分）设函数.（I）当时，求的极值；14（II）设A、B是曲线上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与轴平行，直线AB的斜率为，是否存在，使得若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【知识点】导数的应用B12【答案】（1）=,=（II）不存在【解析】（1）函数的定义域为（0，+）当m=时，=0，得x=2或x=x(0,)（，2）2（2，+）-0+0-单调递减单调递增单调递减由上表可知=,=(2)设A（B，由题意可得又，为方程的两个正根，故且，即mln-+mln-=m(ln-ln)-若存在实数m使得m-k=1，则k==-1+m即ln-ln=，又，所以-2ln=0，，令h(t)=t--2lnt,(0<t<1),1+>0所以h(t)在（0,1）上单调递增，h(t)</t<1),1+></a<1,是的充分而不必要条件。【思路点拨】先求出a的范围求出充分而不必要条件。【题文】3.正项等比数列的公比为2，若，则的值是a.8b.16c.32d.64【知识点】等比数列及等比数列前n项和d3【答案】c【解析】由=，，=32.【思路点拨】根据等比数列的性质得。【题文】4.已知命题：命题.则下列判断正确的是a.p是假命题b.q是真命题c.是真命题d.是真命题【知识点】命题及其关系a214【答案】c【解析】由重要不等式得正确，得不正确，则是真命题【思路点拨】先判断p,q的真假，再求结果。【题文】5.已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是a.b.c.d.【知识点】空间中的平行关系垂直关系g4g5【答案】d【解析】在a选项中，可能有n⊂α，故a错误；在b选项中，可能有n⊂α，故b错误；在c选项中，两平面有可能相交，故c错误；在d选项中，由平面与平面垂直的判定定理得d正确．【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【题文】6.若变量满足条件，则的取值范围为a.b.c.d.【知识点】简单的线性规划问题e5【答案】c【解析】由约束条件作出可行域如图，14联立，解得a（-，-1）；联立，解得c（，）．令z=x+2y，则y=-+．由图可知，当直线y=-+过a时，直线在y轴上的截距最小，z最小为-；当直线y=-+，过c时，直线在y轴上的截距最大，z最大为．∴x+2y的取值范围为[-，]．【思路点拨】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得答案．【题文】7.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上单调性也相同的是a.b.c.d.【知识点】函数的单调性奇偶性b3b4【答案】b【解析】由奇偶性得为偶函数，当x<0时为减函数，又因为为偶函数且为函数，所以选b。【思路点拨】先求出已知函数的奇偶性和单调性，再确定答案。【题文】8.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则a.上单调递减b.上单调递减c.上单调递增d.上单调递增14【知识点】三角函数的图象与性质c3【答案】a【解析】∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵t==π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向左平移个单位得函数y=g（x）的图象，则y=g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，∴令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z可解得：kπ≤x≤kπ+，k∈z，当k=0时，x∈[0,]，即g（x）在（0，）上单调递减．【思路点拨】化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由周期可求ω，从而得f（x）=sin（2x+），向左平移个单位得函数g（x）=cos2x的图象，从而可求单调区间．【题文】9.设函数的零点为的零点为，若可以是a.b.c.d.【知识点】函数与方程b9【答案】d【解析】选项a：x1=1，选项b：x1=2，选项c：x1=1，选项d：x1=；14∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（）=2+1-2＞0，g（）=+-2＜0，则x2∈（，）故选d．【思路点拨】首先确定选项a、b、c、d中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到答案．【题文】10.定义在r上的函数满足：的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为a.b.c.d.【知识点】导数的应用b12【答案】b【解析】设g（x）=exf（x）-ex，（x∈r），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]，∵f′（x）＞1-f（x），∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex-1，∴g（x）＞-1，又∵g（0）=e0f（0）-e0=-1，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）.【思路点拨】构造函数g（x）=exf（x）-ex，（x∈r），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.【题文】11.已知向量共线，则t=▲.【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算f2【答案】1【解析】由题意得=（），又与共线，则3t-3=0,t=1.【思路点拨】先求出=（），再根据与共线求得t.【题文】12.设为锐角，若▲.【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切c5【答案】-14【解析】由为锐角cos()=,则sin（)=，sin()=sin（（)-）=sin（)cos-cos()sin=-【思路点拨】先求出sin（)=，再sin()=sin（（)-）=sin（)cos-cos()sin=-【题文】13.若，则=▲.【知识点】定积分与微积分基本定理b13【答案】-【解析】由题意设f(x)=,由得1+3a=a,得a=-，所以=（）=-【思路点拨】先由得f（x）,再求出积分值。【题文】14.已知直线及直线截圆c所得的弦长均为8，则圆c的面积是▲.【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系h4【答案】【解析】设圆心到直线的距离为d,则2d==6,又因为弦长为8，根据勾股定理得r=5,则s=.【思路点拨】先求出点到直线的距离，根据勾股定理得r求出面积。【题文】15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是▲.14【知识点】空间几何体的三视图和直观图g2【答案】32【解析】如图，红色虚线表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，=32.【思路点拨】先还原几何体再根据体积公式求得。三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）【题文】16.（本小题满分12分）在中，角a、b、c所对的边分别为，且（i）求角c的大小；（ii）若，的面积，求a、c的值.【知识点】解三角形c8【答案】（1）c=（ii）1【解析】（1）由,可得2sinccosa=2sinb-sina,即2sinccosa=2sin（a+c）-sina，即2sinccosa=2sinacosc+2cosasinc-sina整理得2sinacosc-sina=0，即sina(2cosc-)=0,又a,c，则sina>