山东省日照一中（日照市）2022届高三数学5月校际联合检测（二模）试题 理（含解析）新人教A版

2022年高三校际联合检测理科数学【试卷综析】试题的题型比例配置与高考要求一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，尤其在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，很多题由多个知识点构成，在适当的规划和难度控制下，效果明显，通过知识交汇的考查，对考生数学能力提出了较高的要求，提高了区分度，完全符合课改的要求和学生学习的实际情况.本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3．第II卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：锥体的体积公式：，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。球的体积公式：，其中R是球的半径。第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集等于A.B.C.D.【知识点】交集与补集的概念.【答案解析】C解析：解：因为利用排除；,显然不符合,故选C.【思路点拨】本题有效地借助与排除法，可以快速而准确的找到正确答案.2.如果复数的实部和虚部互为相反数，那么b等于A.B.C.D.【知识点】复数；复数的化简；实部与虚部的概念.-15-【答案解析】解析：解：因为，且实部和虚部互为相反数，【思路点拨】首先对复数进行分母有理化的化简，按题意得实部虚部互为相反数可求b的值.3.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充要条件的判断;不等式的解.【答案解析】A解析：解：因为解得且能推出，例如:令a=0,b=1,即0<1不能推出0<0,所以不能推出，故选A.【思路点拨】本题重点考查充要条件的双向性，有时可以用赋值法进行判断.4.在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为A.B.C.D.【知识点】余弦定理；三角函数的化简.【答案解析】D解析：解：由，，可求.【思路点拨】所给条件符合余弦定理公式形式，可变形为角B的余弦，然后进行化简即可.5.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为A.B.C.D.【知识点】绝对值不等式的解法；根与系数的关系.【答案解析】C解析：解：解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.【思路点拨】先解出绝对值不等式的解集，然后利用根与系数的关系得到a,b即可.6.已知函数的图象大致为-15-【知识点】函数的图像；组合函数的性质；特殊值法.【答案解析】A解析：解：，的图象始终位于的图象的上方，所以函数值为正数，排除当取时，，排除.【思路点拨】本题可根据题意利用定义域内组合函数的大小迅速排除B、D选项，然后找特殊值判定大小排除C.7.已知双曲线的渐近线方程为，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A.B.C.D.1【知识点】双曲线的简单性质【答案解析】A解析：解：由题意知在双曲线中得，在椭圆中，所以离心率为.【思路点拨】由题设条件可知双曲线焦点在x轴，可得a、b的关系，进而由离心率的公式，计算可得答案．8.三棱锥及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为A.B.C.D.【知识点】三视图.【答案解析】B解析：解：由正视图和侧视图可知底面,底边上的高为，所以为得为.【思路点拨】可根据三视图的数据找出三角形的关系求出数值.-15-9.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为A.B.C.D.【知识点】定积分在求面积中的应用;几何概型的计算【答案解析】B解析：解：由图可知阴影部分面积由几何概型可知概率为.【思路点拨】根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．10.设是定义在R上的偶函数，且时，，若在区间内，函数恰有1个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；组合函数性质.【答案解析】D解析：解：依题意得f(x＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图象恰有个交点，则有，解得或，即a的取值范围是，选.【思路点拨】依据题的条件可知函数为周期为4的函数结合组合函数的图像可知有一个交点的情况可分两种，求解即可.第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在的展开式中，系数为有理数的项共有___________项.【知识点】二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式.【答案解析】11解析：解：由于的通项公式为，-15-故当r=0，2，4，…，20时，系数为有理数，故有理数共有11项，【思路点拨】根据的通项公式为，可得当r=0，2，4，…，20时，系数为有理数，从而得出结论．12.阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的k值为____________.【知识点】程序框图；程序的计算.【答案解析】3解析：解:由程序框图可知输出的k为.【思路点拨】可按程序的运算过程进行运算，比较大小成立后输出结果.13.在中，，则____________.【知识点】向量的数量积、模的运算.【答案解析】2解析：解：由已知得：，代入=2【思路点拨】关键求出，然后代入即可.14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为，外接球体积为，则=___________.【知识点】类比推理；球体的体积公式.【答案解析】解析：解：内切球半径与外接球半径之比为，根据球体的体积公式，所以体积之比为.【思路点拨】本题主要是通过求内切球的半径关系来代入体积公式求值的问题，主要熟悉公式.15.已知有限集.如果A中元素满足，就称A为“复活集”，给出下列结论：-15-①集合是“复活集”；②是“复活集”，则；③不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且.其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号）【知识点】元素与集合的关系，元素与集合关系的判断【答案解析】①③④解析：解：易判断①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；③不妨设A中a1<a2<a3<…<an，由a1a2…an=a1+a2+…+an<nan，得<n，当n=2时，即有a1<2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”a，故③正确;当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”a只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由≥1×2×3×…×(n-1)，即有n>(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．【思路点拨】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理及反证法，逐一判断四个结论的正误，进而可得答案．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知函数的部分图象如图所示.（I）求函数的解析式，并写出的单调减区间；（II）已知的内角分别是A，B，C，若的值.【知识点】三角函数的图像；诱导公式；三角函数的性质.【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）解析：解：（Ⅰ）由图象最高点得，由周期得所以当时，，可得-15-因为所以故由图像可得的单调递减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,又，.【思路点拨】主要依据图像，相邻两个对称轴之间为半个周期可求周期，代入点求出，（Ⅱ）利用三角形的内角和与诱导公式可求出C的正弦值.17.（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差，等比数列满足（I）求数列和的通项公式；（II）设数列对任意均有，求数列的前n项和.【知识点】等差等比数列的基本性质；递推关系式；等比数列的前n项和公式.【答案解析】（I）（II）解析：解：(Ⅰ)由题意且成等比数列，又，，又………………………………5分(Ⅱ)，①-15-又，②①②得………………………………10分当时，当时，所以，……………12分【思路点拨】（I）先由成等比数列解得，可求出数列的通项公式；又得数列的通项公式；（II）首先根据，列出两式相减得到，最后转化为等比数列求和.18.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，，平面平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a.（I）求证：平面ACFE；（II）求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.【知识点】直线与平面垂直的定理；二面角的作法与证明；空间坐标系的建立；向量的坐标运算.【答案解析】(Ⅰ)略（Ⅱ）证明：(Ⅰ)在梯形中，，,四边形是等腰梯形，且-15-又平面平面，交线为，平面（Ⅱ）由(Ⅰ)知,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则过作,垂足为.令由得,,即二面角的大小就是向量与向量所夹的角.，即二面角的平面角的余弦值为.【思路点拨】(Ⅰ)证明线面垂直，一般可通线线垂直来证，而证线线垂直的过程往往通过证明直线垂直于另一条直线的平面来证明.（Ⅱ）计算二面角通过建立空间坐标系找到各点的坐标来求出二面角所在直线上向量之间的夹角来求出二面角的三角函数值.19.（本小题满分12分）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持，为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同学组成研究性学习小组，从某社区岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：-15-（I）求a，b的值，并估计本社区岁的人群中“光盘族”所占比例；（II）从年龄段在的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.（i）已知选取2人中1人来自中的前提下，求另一人来自年龄段中的概率；（ii）求2名领队的年龄之和的期望值（每个年龄段以中间值计算）.【知识点】离散型随机变量的期望与方差;分层抽样方法【答案解析】（Ⅰ）52%；（Ⅱ）（i）；（ii）81.25解析：解：（Ⅰ），,,样本中的“光盘族”人数为,样本中“光盘族”所占比例为%.……………4分（Ⅱ）（ⅰ）记事件A为“其中人来自年龄段”，事件B为“另一人来自年龄段”,所以概率为……………8分（ⅱ）设名领队的年龄之和为随机变量，则的取值为-15-所以……………12分【思路点拨】（1）根据第一组人数为50，频率为0.05，可得样本数为=1000，由此求得第五组的人数，可得第五组的频率b，求出样本中，“光盘族”的人数，可得社区[25，55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例．（2）（i）用分层抽样方法求出年龄段在[35，40）中抽取的人数和年龄段在[40，45）抽取的人数，由此利用条件概率公式能求出选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，另一人来自年龄段[40，45）中的概率．（ii）设2名领队的年龄之和为X，则X的所有可能取值为75，80，85，分虽求出P（X=75），P（X=80），P（X=85），由此能求出2名领队的年龄之和的期望值．20.（本小题满分13分）已知定点，过点F且与直线相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）若点A的坐标为，与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线于点S，T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.【知识点】抛物线的定义;直线与圆锥曲线的相交问题;定点恒成立问题.【答案解析】(Ⅰ)；（Ⅱ）以线段为直径的圆恒过两个定点.解析：解：(Ⅰ)由题意,点到点的距离等于它到直线的距离,故点的轨迹是以点为焦点,为准线的抛物线.∴曲线的方程为.（Ⅱ）设点的坐标分别为，依题意得，.由消去得，∴直线的斜，-15-故直线的方程为.令，得，∴点的坐标为.同理可得点的坐标为.∴.∴.设线段的中点坐标为，则.∴以线段为直径的圆的方程为.展开得令，得，解得或.∴以线段为直径的圆恒过两个定点.【思路点拨】（I）根据抛物线的定义可知曲线为抛物线；（II）联立直线方程可找出两交点之间的关系，求出ST的中点，建立以ST为直径的圆的方程，利用中点坐标的关系表示出圆的方程，可知有两个定点.21.（本小题满分14分）-15-已知，其中e为自然对数的底数.（I）若在是增函数，求实数的取值范围；（II）当时，求函数上的最小值；（III）求证：.【知识点】利用导数解决函数的单调性、最值、参数的取值范围；分类讨论的思想方法；放缩法证明不等式.【答案解析】（Ⅰ）（II）当时，；当时，；当时，.（III）略解析：解：（Ⅰ）由题意知在上恒成立.又，则在上恒成立，即在上恒成立.而当时，，所以，于是实数的取值范围是.………………………………4分（Ⅱ）当时，则.当，即时，；当，即时，.则的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.……6分因为，所以，①当，即时，在[]上单调递减，所以-15-②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以③当时，在[]上单调递增，所以.综上，当时，；当时，；当时，.…………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，，所以可得………………………………11分于是……………………………………14分【思路点拨】（Ⅰ）由是增函数，转化为在上恒成立.即在上恒成立.最后得实数的取值范围（II）当时，求出.利用在求出单调区间，然后用分类讨论的思想方法解得-15-（III）由（Ⅱ）可知，当时，，所以可得，然后利用放缩法证明不等式即可.-15-</a2<a3<…<an，由a1a2…an=a1+a2+…+an<nan，得<n，当n=2时，即有a1<2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”a，故③正确;当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”a只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由≥1×2×3×…×(n-1)，即有n>