山东省滕州市第三中学2022学年高二数学上学期期中试题

2022-2022学年度山东省滕州市第三中学高二第一学期期中考试数学试题考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1．下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆x2+y2-2x-15=0的半径，则椭圆的标准方程是A．B．C．D．3．过A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的弦共有（）A．16条B．17条C．32条D．34条4．函数在上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．B．C．D．5．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线上的射影分别M、N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对6．有下列四个命题：①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若，则有实根”的逆否命题；④命题“若，则”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．47．方程与-9-\n的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（）8．已知动点满足，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．一个圆的圆心为椭圆的右焦点F，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点P,直线PF（F为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知点P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则的最小值是（）A．8B．C．10D．11．若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则的面积是（）A．4B．2C．1D．12．已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为,则的最小值为（）A．B．C．D．-9-\n第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．过椭圆的焦点F的弦中最短弦长是．14．过抛物线的焦点作直线,直线交抛物线于两点，若线段AB中点的横坐标为，则．15．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为．16．设点是椭圆与圆的一个交点，分别是椭圆的左、右焦点，且，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（本题满分10分）已知半径为的圆的圆心M在轴上，圆心M的横坐标是整数，且圆M与直线相切．求：（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设直线与圆M相交于两点，求实数的取值范围．18．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点．（Ⅰ）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到的距离最小，并求最小值．19．（本题满分12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N，问是否存在实数使;若存在求出的值；若不存在说明理由。20．（本题满分12分）-9-\n如图,已知四棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,四边形是菱形,,是的中点,是的中点．（Ⅰ）求证:平面．（Ⅱ）求二面角的余弦值．21．（本题满分12分）设过点的直线分别与轴和轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过的直线与轨迹交于两点，求的取值范围．22．（本题满分12分）如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，若直线绕点F任意转动，恒有,求的取值范围．2022-2022学年度山东省滕州市第三中学高二第一学期期中考试数学试题参考答案-9-\n选择题：1．B2．D3．C4．D5．C6．B7．A8．B9．D10．B11．C12．A二、填空题：13．14．2415．16．三、解答题18．解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设消去x得则，=（Ⅱ），19．（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得由于直线与椭圆有两个交点，即从而-9-\n又，则即所以不存在实数使20．证明（Ⅰ）取的中点,连接．由题意知且,且,所以且,即四边形是平行四边形,所以,又平面,平面所以平面．（Ⅱ）以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,,则,平面的法向量,设是平面的法向量,-9-\n由,令,得又二面角的平面角是锐角,所以二面角的平面角的余弦值是21．解：（Ⅰ）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（-x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴=（x，y-b），=（a-x，-y），=（-x，y），，∵=3且∴，解得点P的轨迹M的方程为．（Ⅱ）设过F（2，0）的直线方程为y=kx-2k，联立，得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），∴=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]=（1+k2）（+4）=，-9-\n∴当k2→∞的最小值→；当k=0时，的最大值为1．∴的取值范围是（，1]． 22．解法一：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以,即1＝，解得因此，椭圆方程为（Ⅱ）设（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：整理得所以因为恒有，所以AOB恒为钝角．即恒成立．又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立．当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0．a2<a2b2-b2,a2<（a2-1）b2=b4,因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,-9-\n解得a>或a<（舍去），即a>,综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）．解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1．因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2（1+yA2）<4yA2,yA2>1，即>1,解得a>或a<（舍去），即a>．（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）．设直线AB的方程为y=k（x-1）代入得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,故x1+x2=因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以x21+y21+x22+y22<（x2-x1）2+（y2-y1）2,得x1x2+y1y2<0恒成立．x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2=（1+k2）．由题意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<0对kR恒成立．①当a2-a2b2+b2>0时，不合题意；②当a2-a2b2+b2=0时，a=;③当a2-a2b2+b2<0时，a2-a2（a2-1）+（a2-1）<0，a4-3a2+1>0,解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a．综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）．-9-