山东省滕州市第二中学2022学年高二数学上学期期中试题 文

2022-2022学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试数学文试题一、选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．关于空间两条直线、与平面，下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．，则D．若则2．命题“若，则”的逆否命题为（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为A．B．C．D．4．设斜率为2的直线过抛物线的焦点，且和轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为A．B．C．D．5．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0的值为A．e2B．eC．D．ln26．双曲线的渐近线与圆相切，则A．B．2C．3D．67．设、分别为双曲线，的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．-8-\n8．设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为A．B．C．D．9．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A．2B．3C．D．10．的顶点，的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的___必要不充分_____条件．13．如果直线l将圆C：（x－2）2＋（y＋3）2＝13平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为________．14．若函数f（x）＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________15．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为．16．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_______________．17．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．-8-\n三、解答题：本大题共5小题,共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题12分）已知命题函数在定义域上单调递增；命题不等式对任意实数恒成立．若是真命题，求实数的取值范围．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．19．（本题12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积．20．（本题13分）已知椭圆C：x2＋2y2＝4．（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．21．（本题14分）如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO＝．（1）求新桥BC的长．（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？22．（本题14分）设抛物线过点（是大于零的常数）．（1）求抛物线的方程；（2）若是抛物线的焦点，斜率为1的直线交抛物线A,B两点,轴负半轴上的点满足，直线相交于点，当时，求直线的方程．-8-\n-8-\n2022-2022学年度山东省滕州市第二中学高二第一学期期中考试数学文试题参考答案1-10AADBBABDAC11．212．略13．14．[2，＋∞）15．16．217．三、解答题：本大题共5小题,共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解　由2x2＋ax－a2＝0得（2x－a）（x＋a）＝0,∴x＝或x＝－a，∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2．又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2．∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2．∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2．∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2．即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．19．（1）解　∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ（λ≠0），则由点（4，－）在双曲线上，可得λ＝42－（－）2＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6．（2）证明　∵点M（3，m）在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1（－2，0），F2（2，0），∴·＝（－2－3，－m）·（2－3，－m）＝（－3）2－（2）2＋m2＝9－12＋3＝0，∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．（3）解　＝×4×|m|＝6．20．解：（1）由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．因此a＝2，c＝．故椭圆C的离心率e＝＝．（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．-8-\n因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．又x＋2y＝4，所以|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝＋（y0－2）2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4　（0＜x≤4）．因为＋≥4（0＜x≤4），当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8．故线段AB长度的最小值为2．21．解：方法一：（1）如图所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．由条件知A（0,60）,C（170，0），直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－．又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB＝．设点B的坐标为（a，b），则kBC＝＝－，kAB＝＝，解得a＝80,b＝120，所以BC＝＝150．因此新桥BC的长是150m．（2）设保护区的边界圆M的半径为rm,OM＝dm（0≤d≤60）．由条件知，直线BC的方程为y＝－（x－170），即4x＋3y－680＝0．由于圆M与直线BC相切，故点M（0,d）到直线BC的距离是r，即r＝＝．因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以-8-\n即解得10≤d≤35．故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大，所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．方法二：（1）如图所示，延长OA,CB交于点F．因为tan∠FCO＝，所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝．因为OA＝60，OC＝170，所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝＝，从而AF＝OF－OA＝．因为OA⊥OC,所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝．又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，从而BC＝CF－BF＝150．因此新桥BC的长是150m．（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm（0≤d≤60）．因为OA⊥OC,所以sin∠CFO＝cos∠FCO．故由（1）知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝．因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以即-8-\n解得10≤d≤35．故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大，所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大．22．（1）（2）和-8-