山东省潍坊市2022届高三数学上学期期中试卷理含解析

2022-2022学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）　一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（　　）A．B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}　2．（5分）（2022•眉山模拟）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（　　）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞　3．“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件　4．设等差数列{an}的前n项为Sn，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当Sn取最小值时，n=（　　）A．5B．6C．7D．8　5．若函数f（x）=loga（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的大致图象为（　　）A．B．C．D．　6．△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（　　）A．B．1C．2D．　-19-\n7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）A．C．D．　8．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣1，2）B．D．　9．若实数x，y满足不等式组，且目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则a=（　　）A．B．C．2D．3　10．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（　　）A．（﹣∞，）B．C．（﹣∞，﹣3]D．（﹣∞，5]　　二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知数列{an}的前n项和Sn=an+，则{an}的通项公式an=　　　　　　．　12．已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为　　　　　　．　13．如图，长方形四个顶点为O（0，0），A（，0），B（，2），C（0，2），若幂函数y=f（x）图象经过点B，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．-19-\n　14．某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为　　　　　　m．　15．已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是　　　　　　．（请把所有正确命题的序号都填上）　　三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．　-19-\n17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．　18．已知a＞0，给出下列两个命题：p：函数f（x）=ln（x+1）﹣ln小于零恒成立；q：关于x的方程x2+（1﹣a）x+1=0，一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．　19．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{bn}中，b1=1，前9项和等于27，令cn=2an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．　20．某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？　21．已知函数f（x）=ex﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（ex﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．-19-\n　　-19-\n2022-2022学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（　　）A．B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，由A为奇数集，求出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=A．B．1C．2D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．　7．已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）A．C．D．-19-\n考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（1）的值，通过讨论a的范围，得到不等式，从而求出a的范围．解答：解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．　8．已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在上有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）A．（﹣1，2）B．D．考点：两角和与差的正弦函数；函数的零点．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可知g（x）=sin2x+cos2x与直线y=m在上两个交点，数形结合可得m的取值范围．解答：解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在上两个交点．由于x∈，故2x+∈，故g（x）∈．令2x+=t，则t∈，函数y=h（t）=2sint与直线y=m在上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选B．点评：本题主要考查方程根的存在性及个数判断，两角和差的正弦公式，体现了转化与数形结合的数学思想，属于中档题．　-19-\n9．若实数x，y满足不等式组，且目标函数z=x﹣2y的最大值为1，则a=（　　）A．B．C．2D．3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由目标函数z=x﹣2y的最大值为1，确定约束条件中a的值即可．解答：解：约束条件为，由，解得A（2，）是最优解，直线x+2y﹣a=0过点A（2，），∴a=3，故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．　10．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（　　）A．（﹣∞，）B．C．（﹣∞，﹣3]D．（﹣∞，5]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论．解答：解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣4x，-19-\n∴f″（x）=x3﹣mx2﹣4．∵f（x）=x5﹣mx4﹣2x2在区间（1，3）上为“凹函数”，∴f″（x）＞0．∴x3﹣mx2﹣4＞0，x∈（1，3）．∴，∵在（1，3）上单调递增，∴在（1，3）上满足：＞1﹣4=﹣3．∴m≤﹣3．故答案为：C．点评：本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．　二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知数列{an}的前n项和Sn=an+，则{an}的通项公式an=　　．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：首先利用数列的递推关系求出，然后利用相减法得到，进一步求得数列是等比数列，利用关系式直接求出结果．解答：解：已知数列{an}的前n项和Sn=an+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{an}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，-19-\n解得：a1=1所以：=故答案为：点评：本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，等比数列通项公式的求法．　12．已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为　　．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，求得cosθ的值，再结合θ∈时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在是单调递递增；④若方程f（x）=m在上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是　①②④　．（请把所有正确命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣1，即可得到f（1）=0；②，利用y=f（x）为周期为2的偶函数，即可得到f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），从而可判断②；③，利用y=f（x）为周期为2的函数，及x∈时，y=f（x）单调递减，可判断函数y=f（x）在是单调递减函数，可判断③；④，由②知y=f（x）关于x=﹣2对称，从而可判断④．解答：解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，-19-\n∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间上单调递减，∴y=f（x）在区间上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．点评：本题考查考查命题的真假判断与应用，注重考查函数的单调性、周期性、对称性及函数的零点，考查分析与综合应用能力，属于难题．　三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．-19-\n专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF，证明四边形ABGF为平行四边形，可得AF∥BG，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（Ⅱ）证明BG⊥DE，BG⊥CD，可得BG⊥平面CDE，利用面面垂直的判定定理，即可得出结论解答：证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．　∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．　17．已知函数f（x）=sinx•cos（x﹣）+cos2x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；-19-\n（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S△ABC=，求b+c的值．考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）利用f（A）求得A，进而根据余弦定理构建b，c和a的关系，结合三角形的面积公式，即可求b+c的值．解答：解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cos2x﹣=sinxcosx+cos2x=sin（2x+）+由2x+∈（﹣+2kπ，+2kπ），可得函数f（x）的单调递增区间（﹣+kπ，+kπ）（k∈Z）；（Ⅱ）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴A=；在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=3，∵S△ABC==bc•，∴bc=2∴b+c=3．点评：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及三角形的面积公式的基本知识．　18．已知a＞0，给出下列两个命题：p：函数f（x）=ln（x+1）﹣ln小于零恒成立；q：关于x的方程x2+（1﹣a）x+1=0，一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．-19-\n考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据对数函数的单调性，二次函数的最值以及二次函数的图象即可求出命题p，q下a的取值范围，而根据p∨q为真名题，p∧q为假命题知p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下的a的取值范围再求并集即可．解答：解：由已知条件知ln（x+1）＜恒成立，即：恒成立，即：a在x∈（﹣1，2）上恒成立；函数在（﹣1，2）上的最大值为；∴；即p：a；设f（x）=x2+（1﹣a）x+1，则由命题q：，解得3；即q：3；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假；①若p真q假，则：，∴；②若p假q真，则：，∴a∈∅；-19-\n∴实数a的取值范围为．点评：考查对数函数的单调性，对数函数的定义域，以及配方法求二次函数的最值，二次函数的图象的运用，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．　19．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{bn}中，b1=1，前9项和等于27，令cn=2an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）直接利用前n项和公式及等比中项求出数列的通项公式．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论及等差数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出新数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{bn}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=-19-\n所以：令cn=2anbn==（n+1）（﹣2）n﹣1Tn=c1+c2+…+cn﹣1+cn=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2Tn=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：点评：本题考查的知识要点：等比数列通项公式和前n项和公式，等差数列的通项公式和前n项和公式，利用乘公比错位相减法求数列的和及相关的运算问题　20．某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据生产这批试剂厂家的生产成本有三个方面，可得函数关系P（x），利用配方法求出P（x）的最小值；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），利用导数，可得结论．解答：解：（Ⅰ）P（x）=÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；-19-\n（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查配方法，考查导数知识的综合运用，属于中档题．　21．已知函数f（x）=ex﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（ex﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f＜f（x）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数f（x）=ex﹣x﹣1的单调递减区间，可以先求函数f（x）=ex﹣x﹣1的导函数，然后由导函数式小于零求出x的范围，从而得到函数的减区间．（Ⅱ）对F（x）=f（x）﹣xlnx进行化简，构造函数h（x）=﹣xlnx（x＞0），研究函数h（x）的单调性和最值，即可确定F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，要证明f（g（x））＜f（x），只要证明g（x）＜x即可．解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（ex﹣x﹣1）′′=ex﹣1．由f′（x）＜0，得ex﹣1＜0，ex＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），-19-\n由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，ex﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即ex﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则ex﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（ex﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（ex﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（ex﹣1）＜lnx+lnex；即证：∀x＞0xex＞ex﹣1；所以，只要证：∀x＞0xex﹣ex+1＞0；令H（x）=xex﹣ex+1，则H′（x）=xex＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；-19-\n∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xex﹣ex+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f＜f（x）．点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于中档题．　-19-