山东省聊城一中2022届高三数学上学期期中试卷理含解析

2022-2022学年山东省聊城一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1．设复数z满足z•（1+i）=2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知A是数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°4．已知f（x）=sinx﹣x，命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，则()A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题，5．已知函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（x﹣k）的大致图象是()A．B．C．D．-19-\n6．设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tan2α=()A．B．﹣C．D．﹣7．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则()A．a5+a7＞a4+a8B．a5+a7＜a4+a8C．a5+a7=a4+a8D．|a5+a7|＞|a4+a8|8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位9．已知点M（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积是()A．1B．2C．4D．810．已知函数f（x）=ex﹣（x＜0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知等差数列{an}的首项a1=1，前五项之和S5=25，则{an}的通项an=__________．12．已知f（x）=|log3x|，若f（a）=f（b）且a≠b．则的取值范围是__________．13．曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为__________．-19-\n14．已知平面向量=（﹣2，m），=（1，），且（﹣）⊥，则实数m的值为__________．15．设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的序号有__________．①f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；②函数g（x）=x在区间[0，1]上是“友谊函数”；③若f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，则f（x1）≤f（x2）．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．18．已知函数f（x）=（2cosωx+sinωx）sinωx﹣sin2（+ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．20．（13分）数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1﹣an（n∈N+）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．-19-\n（3）设bn=（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N+，都有Tn＜．21．（14分）设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）﹣ax+ex＞0．-19-\n2022-2022学年山东省聊城一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求.）1．设复数z满足z•（1+i）=2i+1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用分的代数形式的混合运算求出复数z，得到复数的对应点，判断所在象限即可．【解答】解：复数z满足z•（1+i）=2i+1（i为虚数单位），∴z====+i．复数对应点（，）在第一象限，故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．2．已知A是数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】已知A是数集，“A∩{0，1}={0}”说明集合A中必有0元素，不含有1元素，利用子集的性质进行求解；【解答】解：若“A={0}”，可得“A∩{0，1}={0}∩{0，1}={0}”，若“A∩{0，1}={0}”，可得集合A中，0∈A，1∉A，可以取A={﹣1，0}也满足题意，∴“A={0}”⇒“A∩{0，1}={0}”∴“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件，故选B；【点评】此题主要考查充分必要条件的定义以及子集的性质，是一道基础题；3．若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】由题意，可先由条件|，（2+）•=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项【解答】解：由题意（2+）•=0∴2•+=0，即2||||cos＜，＞+=0-19-\n又||=||∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π∴则与的夹角为120°故选C【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值4．已知f（x）=sinx﹣x，命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，则()A．P是假命题，B．P是假命题，C．P是真命题，D．P是真命题，【考点】全称命题．【专题】简易逻辑．【分析】先判断命题P的真假性，再写出该命题的否定命题即可．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣x，∴f′（x）=cosx﹣1≤0∴f（x）是定义域上的减函数，∴f（x）≤f（0）=0∴命题P：∀x∈（0，），f（x）＜0，是真命题；∴该命题的否定是．故选：D．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了命题与命题的否定之间的关系，是基础题．5．已知函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上是奇函数，且是增函数，则函数g（x）=loga（x﹣k）的大致图象是()-19-\nA．B．C．D．【考点】函数的图象；奇偶性与单调性的综合．【专题】数形结合；函数的性质及应用．【分析】本题考查的知识点是奇偶性的应用，求出k=1，关键单调性求出a的范围，利用对数函数y=logax左右平移即可【解答】解：因为f（x）=kax﹣a﹣x为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即ka﹣x﹣ax=﹣（kax﹣a﹣x），得（k﹣1）（a﹣x+ax）=0所以k=1，又f（x）=ax﹣a﹣x是增函数，所以a＞1将y=logax向右平移一个的单位即得g（x）=loga（x﹣1）的图象故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，要求熟练掌握函数奇偶性的性质，以及对数函数的图象和性质．6．设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tan2α=()A．B．﹣C．D．﹣【考点】二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由三角函数的定义可得x的方程，解方程可得cosα，再由同角三角函数的基本关系可得tanα，由二倍角的正切公式可得．【解答】解：由三角函数的定义可得cosα=，又∵cosα=x，∴=x，又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x=﹣3∴cosα=﹣，sinα==，-19-\n∴tanα==﹣∴tan2α==故选：A【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及三角函数的定义和同角三角函数的基本关系，属基础题．7．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则()A．a5+a7＞a4+a8B．a5+a7＜a4+a8C．a5+a7=a4+a8D．|a5+a7|＞|a4+a8|【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，知此等比数列是一个负项数列，各项皆为负，观察四个选项，比较的是a5+a7，a4+a8两组和的大小，可用作差法进行探究，比较大小【解答】解：∵a6＜0，q＞0∴a5，a7，a8，a4都是负数∴a5+a7﹣a4﹣a8=a4（q﹣1）+a7（1﹣q）=（q﹣1）（a4﹣a7）若0＜q＜1，则q﹣1＜0，a4﹣a7＜0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0若q＞1，则q﹣1＞0，a4﹣a7＞0，则有a5+a7﹣a4﹣a8＞0∴a5+a7＞a4+a8故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将y=f（x）的图象()A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向心平移个单位【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象可知其周期T，从而可求得ω，继而可求得φ，利用三角函数的图象变换及可求得答案．-19-\n【解答】解：依题意，f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的周期T=2×（﹣）=π=，∴ω=2，又2×+φ=π，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）；∴f（x+）=cos[2（x+）﹣]=cos（2x+）；∴为了得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．故选C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查推理分析与运算能力，属于中档题．9．已知点M（a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N（a+b，a﹣b）所在平面区域的面积是()A．1B．2C．4D．8【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】压轴题．【分析】将点的坐标设出，据已知求出点的横坐标、纵坐标满足的约束条件，画出可行域，求出图象的面积．【解答】解：令s=x+y，t=x﹣y，则P（x+y，x﹣y）为P（s，t）由s=x+y，t=x﹣y可得2x=s+t，2y=s﹣t因为x，y是正数，且x+y≤2有在直角坐标系上画出P（s，t）s横坐标，t纵坐标，即可得知面积为4故选C-19-\n【点评】求出点满足的约束条件，画出不等式组表示的平面区域，求出图象的面积，属于基础题．10．已知函数f（x）=ex﹣（x＜0）与g（x）=ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是()A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象，结合图象解题．【解答】解：函数f（x）与g（x）图象上存在关于y轴有对称的点，就是f（﹣x）=g（x）有解，也就是函数y=f（﹣x）与函数y=g（x）有交点，在同一坐标系内画函数y=f（﹣x）==（x＜0）与函数y=g（x）=ln（x+a）的图象：∴函数y=g（x）=ln（x+a）的图象是把由函数y=lnx的图象向左平移且平移到过点（0，）后开始，两函数的图象有交点，-19-\n把点（0，）代入y=ln（x+a）得，=lna，∴a==，∴a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象，把方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，体现了数形结合的思想．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知等差数列{an}的首项a1=1，前五项之和S5=25，则{an}的通项an=2n﹣1．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵首项a1=1，前五项之和S5=25，∴5+d=25，解得d=2．则{an}的通项an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知f（x）=|log3x|，若f（a）=f（b）且a≠b．则的取值范围是[2，+∞）．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意，先求函数f（x）的定义域，再由f（a）=f（b）可得|log3a|=|log3b|，由对数的运算性质分析可得ab=1，又由a、b＞0且a≠b，结合基本不等式的性质，可得=b+≥2，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于f（x）=|log3x|，有x＞0，若f（a）=f（b），则|log3a|=|log3b|，又由a≠b，则有log3a=﹣log3b，即log3a+log3b=log3ab=0，则ab=1，又由a、b＞0且a≠b，∴=b+≥2，当且仅当b=取等号，即的取值范围是[2，+∞）；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意a≠b的条件．属于基础题．13．曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为4﹣ln3．【考点】定积分在求面积中的应用．-19-\n【专题】导数的综合应用．【分析】由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．【解答】解：根据利用定积分的几何意义，得：由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：S=（3﹣）dx+=（3x﹣lnx）|﹣2=3﹣1﹣1n3+2=4﹣ln3．故答案为：4﹣ln3【点评】本题主要考查定积分求曲边梯形的面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基础题．14．已知平面向量=（﹣2，m），=（1，），且（﹣）⊥，则实数m的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求得﹣的坐标，结合（﹣）⊥，列式求得m的值．【解答】解：∵=（﹣2，m），=（1，），∴﹣=（﹣3，m﹣），又（﹣）⊥，∴1×（﹣3）+（m﹣）=0，解得：m=2．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标表示，是基础的计算题．15．设定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件时称f（x）为“友谊函数”：（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则下列判断正确的序号有①②③．①f（x）为“友谊函数”，则f（0）=0；②函数g（x）=x在区间[0，1]上是“友谊函数”；③若f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，则f（x1）≤f（x2）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑．-19-\n【分析】①直接取x1=x2=0，利用f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）可得：f（0）≤0，再结合已知条件f（0）≥0即可求得f（0）=0；②按照“友谊函数”的定义进行验证；③由0≤x1＜x2≤1，则0＜x2﹣x1＜1，故有f（x2）=f（x2﹣x1+x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）≥f（x1），即得结论成立．【解答】解：①∵f（x）为“友谊函数”，则取x1=x2=0，得f（0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，又由f（0）≥0，得f（0）=0，故①正确；②g（x）=x在[0，1]上满足：（1）g（x）≥0；（2）g（1）=1，若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有g（x1+x2）﹣[g（x1）+g（x2）]=（x1+x2）﹣（x1+x2）=0，即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2），满足（3）．故g（x）=x满足条件（1）﹑（2）﹑（3），∴g（x）=x为友谊函数．故②正确；③∵0≤x1＜x2≤1，∴0＜x2﹣x1＜1，∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）≥f（x1），故有f（x1）≤f（x2）．故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．设命题p：函数的定义域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围．【解答】解：要使函数的定义域为R，则不等式ax2﹣x+对于一切x∈R恒成立，若a=0，则不等式等价为﹣x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．若a≠0，则满足条件，即，解得，即a＞2，所以p：a＞2．∵g（x）=3x﹣9x=﹣（），∴要使3x﹣9x＜a对一切的实数x恒成立，则a，即q：a．-19-\n要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．当p，q都为真命题时，满足，即a＞2，∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，即实数a的取值范围是a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧．17．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．【考点】等差数列的通项公式；等比数列；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1．由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．则bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．-19-\n所以=．【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．18．已知函数f（x）=（2cosωx+sinωx）sinωx﹣sin2（+ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由条件利用三家恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性求ω的值和函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间上的值域．【解答】解：（Ⅰ）==．由函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，知=，即ω=1，所以．令，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅱ）因为，所以所以，所以﹣1≤f（x）≤2，所以函数f（x）的值域为[﹣1，2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（Ⅰ）求的值；-19-\n（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由余弦定理和题设条件求得cosB的值，进而利用诱导公式和二倍角公式对化简整理，最后把cosB的值代入即可求得答案．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中cosB的值，可求得sinB的值，进而通过．利用基本不等式求得ac的范围，最后利用三角形面积公式，求得三角形面积最大值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理：===（Ⅱ）由cosB=，得sinB=．∵b=2，∴，从而故（当且仅当a=c时取等号）【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的化简求值．考查了学生分析推理和基本运算的能力．20．（13分）数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1﹣an（n∈N+）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．（3）设bn=（n∈N+），数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N+，都有Tn＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出；（2）对an≥0，an＜0，讨论，再利用等差数列的前n项和公式即可；（3）利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．-19-\n【解答】解：（1）∵数列{an}满足an+2=2an+1﹣an（n∈N+），∴数列{an}是等差数列，公差为d．∵a1=8，a4=2，∴2=8+3d，解得d=﹣2．∴an=8﹣2（n﹣1）=10﹣2n．（2）设数列{an}的前n项和为An，则An==n（9﹣n）．令an≥0，解出n≤5．∴当n≤5时，Sn=An=n（9﹣n），当n≥6时，Sn=A5﹣a6﹣a6﹣…﹣an=2A5﹣An=2×5×（9﹣5）﹣n（9﹣n）=n2﹣9n+40．∴Sn=．（3）证明：bn===，∴数列{bn}的前n项和Tn=+++…++=＜．∴对于任意的n∈N+，都有Tn＜．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x＞0时，求证：f（x）﹣ax+ex＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；导数的综合应用．-19-\n【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数并求出切点，运用点斜式方程写出切线方程并化为一般式，对照条件求出a；（Ⅱ）求出导数f'（x），对a讨论，分a≤0，a＞0，分别求出单调区间，注意定义域：（0，+∞）；（Ⅲ）运用分析法证明：f（x）﹣ax+ex＞0．首先化简左边并构造函数：g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需要证明g（x）＞0，通过导数g'（x）的单调性，运用零点存在定理证明g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设为t，由导函数g'（x）的单调性，得到g'（x）在（0，t）上小于0，在（t，+∞）上大于0，从而得到g（x）在x＞0上的单调性，从而得出g（x）的极小值也是最小值g（t），证明g（t）不小于0，由＜t＜1得g（t）＞0，从而原不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（x＞0），∴f'（x）=a﹣=，又f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey﹣2e=0，∴f'（e）=a﹣=，故a=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）=a﹣=（x＞0），当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上是单调减函数，当a＞0时，令f'（x）=0，则x=，令f'（x）＜0，则0＜x＜，f'（x）＞0，则x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上可得：当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞），当a＞0时，f（x）的单调减区间为（0，），f（x）的单调增区间为（，+∞）；（Ⅲ）当x＞0时，要证f（x）﹣ax+ex＞0，即证ex﹣lnx﹣2＞0，令g（x）=ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需证g（x）＞0，∵g'（x）=ex﹣，由指数函数和幂函数的单调性知，g‘（x）在（0，+∞）上递增，又g'（1）=e﹣1＞0，g'（）=﹣3＜0，∴g'（1）•g'（）＜0，∴g'（x）在（，1）内存在唯一的零点，则g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点，设g'（x）的零点为t，则g'（t）=et﹣=0，即et=（＜t＜1），由g'（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g'（x）＜g'（t）=0，当x∈（t，+∞）时，g'（x）＞g'（t）=0，∴g（x）在（0，t）上为减函数，在（t，+∞）上为增函数，-19-\n∴当x＞0时，g（x）≥g（t）=et﹣lnt﹣2=﹣ln﹣2=+t﹣2≥2﹣2=0，又＜t＜1，等号不成立，∴g（x）＞0，∴当x＞0时，f（x）﹣ax+ex＞0．【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求曲线上某一点处的切线方程，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，考查构造函数和分类讨论的数学思想方法，运用分析法证明不等式的重要方法，是一道综合题．-19-