山东省聊城四中2022届高三数学上学期期中试卷含解析

2022-2022学年山东省聊城四中高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1．设U={2，5，7，8}，A={2，5，8}，B={2，7，8}，则∁U（A∪B）等于()A．{2，8}B．∅C．{5，7，8}D．{2，5，7，8}2．“a＞0”是“|a|＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设命题p：∅=0，q：∈R，则下列结论正确的是()A．p∧q为真B．p∨q为真C．p为真D．￢p为真4．若a、b是任意实数，且a＞b，则()A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0D．5．设m=a2+a﹣2，n=2a2﹣a﹣1，其中a∈R，则()A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n6．函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为()A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．R7．函数f（x）=2x2﹣mx+3，在x∈时为减函数，则f（1）等于()A．﹣3B．13C．7D．由m的值而定8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件-12-\n故选A【点评】本题根据充要条件的概念考查充要条件的判断，是基础题．3．设命题p：∅=0，q：∈R，则下列结论正确的是()A．p∧q为真B．p∨q为真C．p为真D．￢p为真【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∅=0是假命题，命题q：∈R是真命题，故p∨q是真命题，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查集合问题，是一道基础题．4．若a、b是任意实数，且a＞b，则()A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0D．【考点】不等式比较大小．【专题】综合题．【分析】由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．【解答】解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．【点评】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．5．设m=a2+a﹣2，n=2a2﹣a﹣1，其中a∈R，则()A．m＞nB．m≥nC．m＜nD．m≤n【考点】不等式比较大小．-12-\n【专题】应用题；整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】先作差，再配方，即可比较大小．【解答】解：n﹣m=2a2﹣a﹣1﹣a2﹣a+2=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，故m≤n，故选：D．【点评】本题考查了利用作差法比较大小，属于基础题．6．函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为()A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．R【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．7．函数f（x）=2x2﹣mx+3，在x∈时为减函数，则f（1）等于()A．﹣3B．13C．7D．由m的值而定【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得，对称轴方程与x=﹣2相等，求出m再代入计算f（1）即可．【解答】解：因为二次函数单调区间的分界点为其对称轴方程，所以x==﹣2，∴m=﹣8⇒f（1）=2×12﹣（﹣8）×1+3=13．故选B【点评】本题考查二次函数图象的对称性，是基础题．二次函数是在中学阶段研究最透彻的函数之一，二次函数的图象是抛物线，在解题时要会根据二次函数的图象分析问题，如二次函数的对称轴方程，顶点坐标等．-12-\n8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在【解答】解：sin•cos=，可得sinx=．sin（π﹣x）=sinx=．故选：A．【点评】本题考查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力．13．已知角α终边经过点P（﹣5，﹣12），则tanα的值是()A．B．﹣C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：由于角α终边经过点P（﹣5，﹣12），则tanα==，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14．已知=﹣5，那么tanα的值为()A．﹣2B．2C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．-12-\n【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．15．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则（+）•（﹣）的值是()A．xB．1C．0D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据⊥求出x，代入计算．【解答】解：∵⊥，∴=x﹣2=0，x=2，∴2=5，2=5，∴（+）•（﹣）=2﹣2=0．故选C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．16．如果函数y=2x2+（2a﹣b）x+b，当y＜0时，有1＜x＜2，则a、b的值为()A．a=﹣1，b=﹣4B．a=﹣，b=2C．a=﹣1，b=4D．a=1，b=﹣4【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由已知可得1，2是方程2x2+（2a﹣b）x+b=0的两根，由韦达定理得：，解得答案．【解答】解：∵当y＜0时，有1＜x＜2，∴1，2是方程2x2+（2a﹣b）x+b=0的两根，由韦达定理得：，解得：a=﹣1，b=4，故选：C．-12-\n【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．17．已知tanθ=2，则sinθcosθ=()A．B．C．±D．±【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinθcosθ的值．【解答】解：∵tanθ=2，则sinθcosθ===，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．18．把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为()A．y=cos2xB．y=﹣sin2xC．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式．【解答】解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象故选A【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键．19．在△ABC中，已知AB=AC，∠B=30°，则∠A=()-12-\nA．45°B．15°C．45°或135°D．15°或105°【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理可解得sinC，结合范围C∈（0，180°），可得C，利用三角形内角和定理即可求A的值．【解答】解：∵AB=AC，∠B=30°，∴由正弦定理，可得：sinC===，∴由C∈（0，180°），可得：C=45°，或135°．∴可得：A=180°﹣B﹣C=105°，或15°．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质，属于基础题．20．数列{an}满足a1=1，Sn=n，则a2022=()A．1B．2022C．2022D．2022【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】求出数列的通项公式，即可得到结果．【解答】解：数列{an}满足a1=1，Sn=n，可得an=1，则a2022=1．故选：A．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查计算能力．二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答案卷相应题号的横线上）22．等差数列{an}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则S9=27．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a4=5，a6=1，进而可得a5=3，而S9=9a5，计算可得．-12-\n【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a4+a7=3a4=15，a3+a6+a9=3a6=3，解之可得a4=5，a6=1，故a4+a6=6，即2a5=6，a5=3，故S9===27故答案为：27【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题．23．等比数列{an}中，a1=9，a5=4，则a3=6．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】直接利用等比中项公式求解即可．【解答】解：等比数列{an}中，a1=9，a5=4，则a3=±=±6．a3=﹣6（舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的性质，等比中项的求法，是易错题．24．设=（，sinα），=（cosα，），且，则锐角α为．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】由已知中=（，sina），=（cosa，），，我们易构造一个三角方程，解方程即可求出锐角a的大小．【解答】解：∵=（，sina），=（cosa，），又∵，∴sina•cosa﹣•=0即sina•cosa=即sin2a=1又∵α为锐角-12-\n故α=故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据向量平行的充要条件，构造三角方程，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共40分.请在答案卷相应的题号处写出解答过程）26．等比数列{an}中，a1+a4=20，a2+a5=40，求它的前6项和s6．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a4=20，a2+a5=40，∴q（a1+a4）=20q=40，解得q=2，=20，解得a1=．∴S6==140．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．27．已知等差数列{an}中，公差d＞0，且a2、a6是一元二次方程x2﹣8x+14=0的根．（1）求数列{an}的通项公式an．（2）求数列{an}的前10项和．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由韦达定理得a2=2，a2=14，由此利用等差数列通项公式能求出首项和公差，由此能求出通项公式．（2）由等差数列的首项和公差，能求出数列{an}的前10项和．【解答】解：（1）由题意得：一元二次方程的根为2，14，∵公差d＞0，∴a2=2，a2=14，…-12-\n即，…解得a1=﹣1，d=3，…∴通项公式an=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4．…（2）∵得a1=﹣1，d=3，∴S10==125．…【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．28．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C成等差数列，且，．求：（1）求∠A，∠C的大小．（2）求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由等差数列的性质及三角形内角和定理可求∠B=60°，由正弦定理可求sinA，∠A，即可得解．（2）利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵∠A、∠B、∠C成等差数列，∴2∠B=∠A+∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°．∴∠B=60°．…由正弦定理得：，…解得：sinA=，…所以∠A=45°或∠A=135°，…因为135°+60°＞180°，所以∠A=135°应舍去，即∠A=45°．所以∠C=180°﹣45°﹣60°=75°…（2）…-12-\n=3…【点评】本题主要考查了等差数列的性质及三角形内角和定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．29．一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为P=160﹣2x，生产x件的成本R=500+30x元．（1）该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）设该厂的月获利为y，则y=（160﹣2x）x﹣（500+30x）=﹣2x2+130x﹣500，解不等式﹣2x2+130x﹣500≥1300；（2）由（1）知，利用配方法求y=﹣2x2+130x﹣500=﹣2（x﹣）2+1612.5的最大值及最大值点．【解答】解：（1）设该厂的月获利为y，由题意得，y=（160﹣2x）x﹣（500+30x）=﹣2x2+130x﹣500，由y≥1300得，﹣2x2+130x﹣500≥1300，∴x2﹣65x+900≤0，∴（x﹣20）（x﹣45）≤0，解得20≤x≤45；∴当月产量在20～45件之间时，月获利不少于1300元．（2）由（1）知y=﹣2x2+130x﹣500=﹣2（x﹣）2+1612.5∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元．【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了配方法求函数的最值，属于中档题．-12-\n30．已知（1）将函数化为正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的形式；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换，化简函数的解析式．（2）根据函数的解析式再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：（1）∵=sin2x+cos2x=sin（2x+）．（2）根据y=sin（2x+），求得它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得它的单调递增区间为：，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．-12-